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Un corps de poids 25 newtons est au repos sur un plan rugueux incliné par rapport à l’horizontale selon un angle dont le cosinus est quatre cinquièmes. Le coefficient de frottement entre le corps et le plan est un cinquième. Une force d’intensité 𝐹 agit sur le corps, le maintenant dans un état d’équilibre. Étant donné que la force agit vers le haut et parallèle à la pente du plan, que peut-on dire avec certitude sur la valeur de 𝐹 ?
Il y a beaucoup d’informations ici. On commence par tracer un schéma. On nous donne un plan rugueux qui est incliné par rapport à l’horizontale, comme indiqué. On a un corps au repos sur ce plan avec un poids de 25 newtons. Cela signifie que le corps exerce une force vers le bas sur le plan de 25 newtons. Il y a une force de réaction, une force du plan sur le corps. Cela agit perpendiculairement au plan comme indiqué.
On nous dit que le plan est incliné selon un angle dont le cosinus est quatre cinquièmes. Appelons donc cet angle 𝛼. Et on peut dire que cos de 𝛼 est égal à quatre cinquièmes. Et en fait, cela nous permet également de déterminer la valeur du sinus de 𝛼. Si l’on construit un petit triangle rectangle avec un angle inclus de 𝛼, et sachant que cos de 𝛼 est le côté adjacent sur l’hypoténuse, on peut écrire l’hypoténuse comme cinq unités et le côté adjacent comme quatre unités.
Le triplet pythagoricien trois carrés plus quatre carrés est égale à cinq carrés nous dit que le troisième côté de ce triangle est de trois unités. C’est le côté opposé à l’angle inclus. Puisque le sin de 𝛼 est le côté opposé sur l’hypoténuse, dans ce cas, le sin de 𝛼 est égal à trois sur cinq ou trois cinquièmes. On est rarement intéressés par la valeur du tan de 𝛼. On va se débarrasser du triangle rectangle.
On nous dit que le coefficient de frottement entre le corps et le plan, rappelez-vous que l’on l’appelle 𝜇, est égal à un cinquième. Et puis on a cette force d’intensité 𝐹 agissant sur le corps. On nous dit qu’elle agit vers le haut et parallèle à la pente du plan, donc dans cette direction et ce sens. Mais on nous dit aussi que le corps reste dans un état d’équilibre. Alors, qu’est-ce que cela signifie ?
Eh bien, pour qu’un corps soit en équilibre, la somme vectorielle de toutes les forces qui agissent sur lui est égale à zéro, tout de même pour ce corps sur un plan rugueux incliné par rapport à l’horizontale. On peut dire que la somme des forces agissant perpendiculairement au plan incliné doit être égale à zéro. Et la somme des forces agissant parallèlement au plan incliné doit également être égale à zéro.
Et on doit envisager une autre force agissant sur le corps. Et c’est la force de frottement. Il y a deux options ici. Si l’on appelle la force de frottement 𝐹𝑟, et si l’on suppose que le corps est en équilibre limite, c’est-à-dire qu’il est sur le point de se déplacer, cela peut être vers le haut du plan. Dans ce cas, la force de frottement va agir dans le sens opposé. Donc, elle va agir vers le bas du plan. Alternativement, il peut être sur le point de glisser vers le bas du plan. Si tel est le cas, la force de frottement agit vers le haut du plan, c’est-à-dire dans le même sens que 𝐹. Et donc on va considérer ces deux scénarios.
Avant de le faire, on va étudier les forces perpendiculaires au plan. Cela va nous aider à trouver la valeur de 𝑅. La force du poids du corps n’agit pas dans la direction parallèle ou perpendiculaire au plan incliné. Et donc on va la décomposer en ses deux composantes en ajoutant un triangle rectangle. Notez que l’angle inclus est également 𝛼. La composante de la force qui agit perpendiculairement au plan est la longueur du côté adjacent dans notre triangle.
On va utiliser le rapport cosinus car on connait la valeur de l’hypoténuse. Elle vaut 25 newtons. On peut donc dire que cos 𝛼 est le côté adjacent sur l’hypoténuse. Remplaçons cos de 𝛼 par quatre cinquièmes, car on nous a dit que le cosinus de l’angle est de quatre cinquièmes, et l’hypoténuse par 25.
On peut trouver la valeur du côté adjacent dans ce triangle en multipliant par 25. Lorsque l’on le fait, on voit que la composante du poids qui agit perpendiculairement au plan est quatre cinquièmes fois 25, soit 20 ou 20 newtons. On est en mesure de calculer les forces perpendiculaires au plan. On sait que la somme vectorielle des forces est égale à zéro parce le corps est dans un état d’équilibre. Dans ce cas, si l’on suppose que la force 𝑅 agit dans le sens positif, on dit que 𝑅 moins 20 doit être égal à zéro. Pour calculer 𝑅, on ajoute 20 aux deux côtés de l’équation. Et on trouve que 𝑅 est égal à 20 ou 20 newtons.
Nous avons maintenant terminé de résoudre les forces perpendiculaires au plan. Ensuite on passe aux forces parallèles au plan. Et on continue à travailler sur l’hypothèse que l’objet est sur le point de bouger vers le haut du plan. Et donc le frottement agit dans le sens opposé à 𝐹.
On va suivre les mêmes pas que l’on a fait pour les forces perpendiculaires au plan incliné. Tout d’abord on trouve la composante du poids qui agit dans cette direction, la direction parallèle au plan incliné. C’est le côté opposé de notre triangle. On connait la valeur de l’hypoténuse. On peut utiliser le rapport sinus. Le sin 𝛼 est le côté opposé sur l’hypoténuse. Et c’est bien la raison pour laquelle l’on a calculé la valeur du sin 𝛼. Ensuite l’on remplace sin 𝛼 par trois cinquièmes et l’hypoténuse par 25.
Multiplions par 25 pour trouver la valeur du côté opposé. Lorsque l’on le fait, on voit que la composante du poids qui agit parallèlement au plan est trois cinquièmes fois 25, soit 15 ou 15 newtons. On va ajouter ceci au schéma. Et maintenant, on est prêt à calculer les forces parallèles au plan. Le corps est en équilibre. La somme de ces forces est donc égale à zéro.
On considère que 𝐹 agit dans le sens positif. Et puis on voit que le frottement et la composante du poids qui agit parallèlement au plan agissent dans le sens opposé. Ainsi, la force résultante est 𝐹 moins 15 moins 𝐹𝑟 pour le frottement. Et cela, bien sûr, est égal à zéro. Mais rappelez-vous, le frottement est 𝜇𝑅. C’est le coefficient de frottement fois la force de réaction normale. On peut donc remplacer 𝐹𝑟 par 𝜇 fois 𝑅. C’est un cinquième fois 20.
Rappelez-vous, on nous a dit que le coefficient de frottement est égal à un cinquième. Et on a calculé 𝑅 au début. Et donc 𝐹 moins 15 moins un cinquième fois 20 est zéro. Un cinquième fois 20 est quatre. Et donc notre équation simplifie à 𝐹 moins 19 est égal à zéro. On ajoute 19 aux deux côtés. Et l’on obtient que, dans notre premier scénario, 𝐹 est égal à 19 ou 19 newtons.
Passons ensuite aux forces parallèles au plan dans notre deuxième scénario. C’est-à-dire lorsque l’objet est sur le point de glisser vers le bas du plan. Le frottement agit dans le même sens que 𝐹. La plupart des forces restent inchangées. Mais comme le frottement agit dans le même sens que 𝐹, il est positif. Donc, notre force totale est 𝐹 moins 15 plus la friction. Autrement dit, 𝐹 moins 15 plus un cinquième fois 20 est zéro. Cette fois, notre équation est 𝐹 moins 15 plus quatre est zéro ou 𝐹 moins 11 est zéro. On ajoute 11 aux deux côtés. Et cette fois, on trouve que 𝐹 est égal à 11.
Et donc on a deux scénarios. Lorsque le corps est en équilibre limite, c’est-à-dire il est au point de glisser vers le haut ou vers le bas du plan, la force 𝐹 peut atteindre 11 newtons ou 19 newtons. Bien sûr, le corps peut ne pas être sur le point de bouger. Il peut être tout simplement en équilibre. Pour que cela soit le cas, 𝐹 peut être compris entre 11 et 19 newtons. On sait avec certitude que la valeur de 𝐹 est supérieure ou égale à 11 newtons et inférieure ou égale à 19 newtons.
