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Sachant que la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un le tout sur deux et que la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 plus un le tout sur six, utilisez les propriétés de la notation sigma pour déterminer la somme pour 𝑟 allant de cinq à huit de cinq 𝑟 au carré moins 22𝑟.
Dans ce problème, on nous demande d’évaluer la somme d’une série quadratique pour un indice 𝑟 allant de cinq à huit. Pour ce faire, nous devrons utiliser un certain nombre de propriétés de la somme. Comme l’indice de départ 𝑟 est cinq, nous rappelons d’abord la propriété pour les indices de départ supérieurs à un. La somme pour 𝑟 allant de 𝑚 à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟 est égale à la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟 moins la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑚 moins un de 𝑎 indice 𝑟. En appliquant cette propriété, nous obtenons que la somme pour 𝑟 allant de cinq à huit de cinq 𝑟 au carré moins 22𝑟 est égale à la somme pour 𝑟 allant de un à huit de cinq 𝑟 au carré moins 22𝑟 moins la somme pour 𝑟 allant de un à quatre de cinq 𝑟 au carré moins 22𝑟.
Ensuite, comme le terme général de la série est la somme de deux termes, nous utiliserons également la propriété de linéarité de la somme. Elle énonce qu’étant donné les constantes 𝜆 un et 𝜆 deux, la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝜆 un multiplié par 𝑎 indice 𝑟 plus 𝜆 deux multiplié par 𝑏 indice 𝑟 est égale à 𝜆 un multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟 plus 𝜆 deux multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑏 indice 𝑟. En d’autres termes, nous pouvons séparer la somme en deux sommes distinctes et à chaque fois faire ressortir les constantes.
En appliquant cette propriété à notre nouvelle expression de la somme, nous avons que la somme pour 𝑟 allant de cinq à huit de cinq 𝑟 au carré moins 22𝑟 est égale à cinq multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à huit de 𝑟 au carré moins 22 multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à huit de 𝑟. Et de ceci nous soustrayons cinq multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à quatre de 𝑟 au carré moins 22 multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à quatre de 𝑟.
À ce stade, nous devons rappeler les résultats standards pour la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 et pour la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré et qui sont chacun donnés dans la question. En remplaçant 𝑛 par huit, les deux premiers termes deviennent cinq multiplié par huit multiplié par huit plus un multiplié par deux fois huit plus un sur six moins 22 multiplié par huit multiplié par huit plus un sur deux. Et puis, nous remplaçons 𝑛 par quatre pour évaluer les deux seconds termes. L’évaluation nous donne 1020 moins 792 moins 150 plus 220, soit 298.
Ainsi, en rappelant la propriété de la somme d’une série avec un indice de départ supérieur à un, la propriété de linéarité de la somme ainsi que les résultats standards pour la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 et pour la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré, nous avons déterminé que la somme pour 𝑟 allant de cinq à huit de cinq 𝑟 au carré moins 22𝑟 est égale à 298.
