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Vidéo de question : Identifier la concavité et la monotonicité d’une fonction à partir de sa courbe représentative Mathématiques

On donne la courbe représentative de la fonction 𝑦 = 𝑓 (𝑥). En quel point les quantités d𝑦 / d𝑥 et d²𝑦 / d𝑥² sont toutes les deux strictement positives ?

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Transcription de vidéo

On donne la courbe représentative de la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. En quel point les quantités d𝑦 sur d𝑥 et d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré sont toutes les deux strictement positives ?

En regardant le graphique, nous voyons que nous avons cinq points à choisir parmi les points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸. Et nous voulons savoir en lequel de ces points d𝑦 sur d𝑥 et d carré de 𝑦 d𝑥 carré sont tous deux positifs. Commençons par considérer d𝑦 sur d𝑥. Nous avons besoin que cela soit positif. Est-ce positif au point 𝐴 ? Si nous esquissons ou même imaginons simplement les tangentes à la courbe au point 𝐴, nous pouvons voir que sa pente est négative. Et la valeur de cette pente est d𝑦 sur d𝑥 en 𝐴. Nous voyons donc que d𝑦 sur d𝑥 est négatif en 𝐴. Or d𝑦 sur d𝑥 doit être positif au point que nous recherchons. On peut donc éliminer 𝐴. Ce n’est pas notre réponse.

Et pour le point 𝐵 ? Eh bien ici, la valeur de d𝑦 sur d𝑥, la pente de la tangente à la courbe, en 𝐵 est positive. Nous pouvons le voir même sans esquisser la tangente en 𝐵. La fonction augmente dans un intervalle convenablement petit autour de 𝐵. Et donc le taux de variation instantané en 𝐵, d𝑦 sur d𝑥 en 𝐵, est positif. Avec la tangente indiquée, il est clair que cette pente est positive. Mais bien sûr, pour esquisser la tangente, nous devions le savoir. Comme d𝑦 sur d𝑥 est positif en 𝐵, ce pourrait être notre réponse.

Regardons 𝐶 maintenant. Tout comme en 𝐵, nous pouvons voir que d𝑦 sur d𝑥 est positif en 𝐶. Comme la tangente en 𝐶 a une pente positive, 𝐶 est également une possibilité pour notre réponse. Le point 𝐷 se situe au maximum local où la tangente est horizontale, et donc d𝑦 sur d𝑥 est nul en 𝐷. Zéro n’est pas un nombre positif, et donc d𝑦 sur d𝑥 n’est pas positif en 𝐷 et nous pouvons éliminer 𝐷. Ce n’est pas notre réponse. Et enfin en 𝐸, un peu comme en 𝐴, la dérivée d𝑦 sur d𝑥 est négative. Comme la tangente en 𝐸 a une pente négative, 𝐸 n’est donc pas non plus notre réponse.

Nous avons donc éliminé trois options, notre réponse est 𝐵 ou 𝐶. Et nous allons choisir entre les options 𝐵 et 𝐶, en considérant la dérivée seconde, d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré. N’oubliez pas que ceci doit aussi être positif. Effaçons notre diagramme afin d’avoir de l’espace pour travailler. Nous pouvions dire où d𝑦 sur d𝑥 était positif ou négatif ou même nul simplement en regardant le graphique. C’est parce que nous savons que d𝑦 sur d𝑥 est la fonction donnant la pente, et nous sommes capables de voir où la pente est positive négative ou nulle. Pouvons-nous faire quelque chose de similaire pour d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré ? Pouvons-nous le relier à un concept que nous pouvons reconnaître sur un graphique de la même manière que nous avons lié d𝑦 sur d𝑥 au concept de pente ?

La réponse est oui. On sait que d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré est à la concavité ce que d𝑦 sur d𝑥 est à la pente. Comprendre à quoi ressemble la concavité nous aidera à déterminer où d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré est positif et où il est négatif de la même manière que comprendre à quoi ressemblait la pente nous a aidés à déterminer où d𝑦 sur d𝑥 était positif et négatif. Par définition, une fonction 𝑓 est concave vers le haut sur un intervalle 𝐼 si sa dérivée 𝑓 prime est une fonction croissante sur 𝐼. Et 𝑓 est concave vers le bas sur un intervalle 𝐼 si sa dérivée 𝑓 prime est une fonction décroissante sur cet intervalle 𝐼. Comment cela nous aide-t-il à déterminer où d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré est positif ou négatif?

Eh bien, au lieu de cela, nous cherchons où la fonction est concave vers le haut ou concave vers le bas. Imaginez un point sur la courbe de 𝑓 à gauche du point 𝐵. Que se passe-t-il avec la dérivée 𝑓 prime lorsque ce point se déplace de 𝐵 vers la droite de 𝐵 ? Eh bien, 𝑓 prime ou d𝑦 sur d𝑥 est la pente en ce point ou plus précisément la pente de la tangente à ce point. Pouvez-vous voir que la pente a augmenté lorsque nous passons du point orange à gauche de 𝐵 au point violet à droite ?

La pente au point orange est plus progressive que la pente au point violet qui est plus raide. La fonction de pente 𝑓 prime a donc augmenté sur cet intervalle. Il est donc naturel de croire que la pente 𝑓 prime est une fonction croissante sur ce petit intervalle. Si 𝑓 prime est une fonction croissante alors 𝑓 est concave vers le haut. Rappelez-vous que nous avons dit que d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré est à la concavité ce que d𝑦 sur d𝑥 est à la pente. Rendons cela un peu plus précis. Si d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré est positif sur un intervalle 𝐼, alors 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est concave vers le haut sur 𝐼. Et si d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré est négatif sur un intervalle 𝐼, alors 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est concave vers le bas sur 𝐼.

Nous avons déjà vu que notre fonction est concave vers le haut en 𝐵. Et cela suggère fortement que d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré est positif en 𝐵. Mais nous devons être un peu prudents ici. S’il est vrai que si d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré est positif et que la fonction est concave vers le haut, l’inverse n’est pas nécessairement vrai. Il ne s’ensuit pas que si la fonction est concave vers le haut, d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré doit être positif. Nous devons donc voir ce qui se passe en 𝐶. Imaginez un point sur le graphique de la fonction juste à gauche de 𝐶, se déplaçant le long du graphique de 𝐶 vers la droite de 𝐶.

Est-ce que 𝑓 prime augmente ou diminue sur l’intervalle que couvre le point ? Il n’est pas trop difficile de voir que la dérivée 𝑓 prime diminue sur cet intervalle, passant d’un maximum au point orange à un minimum au point violet. Et comme 𝑓 prime est une fonction décroissante sur cet intervalle, 𝑓 est concave vers le bas sur cet intervalle. Maintenant, si d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré est positif comme c’est le cas au point que nous recherchons, alors notre fonction devrait être concave vers le haut. Comme la fonction est concave vers le bas en 𝐶, nous pouvons éliminer 𝐶. Donc 𝐶 n’est pas notre réponse. Notre réponse est donc le seul point restant, le point 𝐵, où la fonction est concave vers le haut. C’est le point où d𝑦 sur d𝑥 et d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré sont positifs.

Notez que les tangentes près de 𝐵 où la fonction est concave vers le haut se trouvent en dessous du graphique de la fonction et les tangentes près de 𝐶 où la fonction est concave vers le haut se trouvent au-dessus du graphique de la fonction. Ce n’est pas une coïncidence. On peut montrer que si la tangente à une courbe représentative en un point se trouve sous la courbe à proximité de ce point, la fonction est concave vers le haut en ce point et si la tangente à la courbe en un point se trouve au-dessus de la courbe à proximité, la fonction est concave vers le bas en ce point.

Ce fait nous permet de dire simplement en regardant le graphique où la fonction est concave vers le haut et où elle est concave vers le bas, et donc de déterminer si d carré de 𝑦 sur d𝑥 carré est positif ou négatif en un point donné sur un graphique.

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