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Vidéo de question : Utilisation de la loi des sinus pour déterminer une longueur inconnue dans un triangle Mathématiques

𝐴𝐵𝐶 est un triangle, où 𝑚∠𝐴 = 46° 11′17″, 𝑚∠𝐵 = 27°4′46 ″ et la longueur 𝑎 = 21,4 cm. Déterminez la longueur du côté le plus petit de 𝐴𝐵𝐶 en donnant la réponse au dixième près.

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Transcription de vidéo

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que l’angle 𝐴 mesure 46 degrés, 11 minutes et 17 secondes ; l’angle 𝐵 mesure 27 degrés, quatre minutes, 46 secondes ; et le côté 𝑎 mesure 21,4 centimètres. Déterminez la longueur du côté le plus petit de 𝐴𝐵𝐶 ; arrondissez la réponse au dixième.

Commençons par tracer le triangle 𝐴𝐵𝐶. On nous dit que l’angle 𝐴 mesure 46 degrés, 11 minutes et 17 secondes et que l’angle 𝐵 mesure 27 degrés, quatre minutes, 46 secondes. On nous dit aussi que le côté 𝑎 mesure 21,4 centimètres. Il s’agit du côté 𝐵𝐶 opposé à l’angle 𝐴.

On nous demande de calculer la longueur du côté le plus petit du triangle. On sait que le côté le plus petit d’un triangle est le côté opposé à l’angle le plus petit. La somme des angles d’un triangle étant égale à 180 degrés, on sait que l’angle 𝐶 est plus grand que les angles 𝐴 et 𝐵, et donc l’angle 𝐵 est le plus petit angle du triangle.

Comme on nous donne les mesures de deux angles du triangle, ainsi que la longueur d’un des côtés, et qu’on doit calculer la longueur d’un autre côté, on peut utiliser la loi des sinus. D’après cette formule, 𝑎 sur sin 𝐴 égale 𝑏 sur sin 𝐵 égale 𝑐 sur sin 𝐶. En remplaçant dans la formule les mesures des angles 𝐴 et 𝐵 et du côté 𝑎, on obtient 𝑏 sur sinus de 27 degrés, quatre minutes et 46 secondes est égal à 21,4 sur le sinus de 46 degrés, 11 minutes et 17 secondes. En multipliant par sin 𝐵, on obtient l’équation suivante.

En utilisant la touche degrés, minutes et secondes, on peut directement entrer cette valeur dans la calculatrice, ce qui donne 𝑏 égale 13,500 et quelques, qui, arrondi au dixième, donne 13,5. Le plus petit côté du triangle 𝐴𝐵𝐶 mesure donc 13,5 centimètres.

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