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Vidéo question :: Trouver deux racines d'une équation cubique étant donné la valeur de la troisième racine Mathématiques • Troisième préparatoire

Étant données 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 3𝑥² - 13𝑥 - 15 et 𝑓(-1) = 0, déterminez les autres racines de 𝑓(𝑥).

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Transcription de la vidéo

Étant données 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré moins 13𝑥 moins 15 et que 𝑓 de moins un est nul, déterminez les autres racines de 𝑓 de 𝑥.

Nous avons ici une équation cubique. Et on sait que lorsque 𝑥 égale moins un la fonction elle-même est nulle. On va commencer par factoriser complètement notre expression de 𝑓 de 𝑥. Et pour y arriver, on rappelle le théorème de factorisation. Si 𝑓 de 𝑎 égale zéro, alors 𝑥 moins 𝑎 doit être un facteur de 𝑓 de 𝑥. Cela nous dit que 𝑥 plus un doit être un facteur de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Comment trouver les autres facteurs ? On peut utiliser la division euclidienne de polynômes.

On pourrait diviser 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré moins 13 𝑥 moins 15 par 𝑥 plus un. On peut aussi dire que 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré moins 13𝑥 moins 15 est 𝑥 plus un fois une certaine équation du second degré : 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. On développe ensuite les parenthèses en s'assurant de multiplier chacun des termes 𝑥 et un par 𝑎𝑥 carré, 𝑏𝑥 et 𝑐 respectivement. En procédant ainsi, nous trouvons que 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré moins 13𝑥 moins 15 égale 𝑎𝑥 au cube plus 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐𝑥 plus 𝑐.

On va maintenant mettre en équation les coefficients. On commence par s'intéresser aux termes en 𝑥 au cube. Dans le membre de gauche, le coefficient de 𝑥 au cube est égal à un. Et dans le membre de droite, on voit qu'il est égal à 𝑎. On a donc trouvé la valeur de 𝑎. C’est un. Puis, on met en équation les termes en 𝑥 au carré. Dans le membre de gauche, le coefficient de 𝑥 au carré est de trois. Et du côté droit, c'est 𝑎 plus 𝑏. On vient juste de trouver que 𝑎 est égal à un. On peut donc dire que trois égale un plus 𝑏, ce qui signifie que 𝑏 doit être égal à deux.

On va répéter ce processus avec le coefficient de 𝑥 puissance un. Du côté gauche, c'est moins 13. Et à droite, c'est 𝑏 plus 𝑐. On vient de calculer que 𝑏 est égale à deux. Donc on peut dire que moins 13 doit être égale à deux plus 𝑐. En soustrayant deux des deux côtés, on obtient 𝑐 égale moins 15. Et on peut effectivement vérifier cela en égalisant le coefficient de 𝑥 puissance zéro. Ce sont les constantes. Et on constate à nouveau que moins 15 est effectivement égale 𝑐. On peut maintenant dire que 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré moins 13𝑥 moins 15 doit être égale à 𝑥 plus un fois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 15.

On trouve les racines de notre fonction en mettant toute cette équation égale à zéro et en déterminant 𝑥. On sait que pour que cette affirmation soit vraie, soit 𝑥 plus un doit être égal à zéro, soit 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 15 est égal à zéro. On sait déjà que moins un est une racine. On passe donc à la résolution de l'équation 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 15 égale zéro. C'est une équation du second degré dont le coefficient de 𝑥 au carré est un. On aura donc un 𝑥 et un 𝑥.

Il nous faut deux nombres dont le produit est moins 15 et dont la somme est deux. C'est donc cinq et moins trois. Ainsi, pour que le produit de ces deux expressions soit nul, on peut dire que soit 𝑥 plus cinq est nul, soit 𝑥 moins trois est nul. Ensuite, si on soustrait cinq des deux côtés de notre première équation, on trouve que 𝑥 est égal à moins cinq. En ajoutant trois à notre deuxième équation, on trouve que 𝑥 est égale à trois. Ce sont les autres racines de 𝑓 de 𝑥.

Il est pratique de vérifier ces solutions. Si on substitue 𝑥 égale moins cinq et 𝑥 égale trois dans notre fonction originale, on doit obtenir zéro. Et vous pouvez le vérifier par vous-même. Mais on obtient effectivement zéro. Ainsi, 𝑥 égale moins cinq et 𝑥 égale trois sont les autres racines de 𝑓 de 𝑥.

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