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Vidéo de question : Intérêts composés au taux hebdomadaire et trimestriel Mathématiques

Lequel des taux suivants est le plus important annuellement, et de combien : 18,2% par an composé hebdomadairement ou 18,5% par an composé trimestriellement ?

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Transcription de vidéo

Lequel des taux suivants est le plus important annuellement, et de combien : 18,2% par an composé hebdomadairement ou 18,5% par an composé trimestriellement ?

À première vue, il s’agit d’un problème très simple. Nous avons le choix entre 18,2% d’intérêts par an et 18,5% d’intérêts par an. Sûrement, il s’agit d’une évidence. Vous optez pour le taux d’intérêt plus élevé. Cependant, les choses ne sont pas aussi simples. Le plan d’investissement avec un taux d’intérêt de 18,2 pour cent par an est composé chaque semaine. Cela signifie que des intérêts sont versés chaque semaine au compte. Puisqu’il y a 52 semaines chaque année, à peu près, cela signifie que les intérêts sont ajoutés 52 fois par an. En revanche, le plan qui offre un taux d’intérêt de 18,5 pour cent est composé trimestriellement. Cela signifie que les intérêts sont ajoutés chaque trimestre ou quatre fois par an.

Nous pourrions maintenant penser qu’il serait préférable d’ajouter des intérêts 52 fois par an plutôt que quatre fois par an. Bien sûr, cela dépend des intérêts versés à chaque fois. Il existe une formule pour le solde du compte bancaire en fonction du montant initialement investi, appelé capital ; le taux annuel, 𝑟 ; le nombre de fois que les intérêts sont composés par an, 𝑛 et la période de temps en années où l’argent est investi, 𝑡. Nous pouvons voir qu’en définissant 𝑛 égal à un, nous obtenons la formule normale d’intérêts composés où les intérêts sont versés une fois par an.

Remplaçons cette formule pour trouver le taux annuel du premier plan. Notre solde 𝐴 sera égal au capital que nous investissons fois un plus le taux d’intérêt par an, que nous convertissons en un nombre décimal, divisé par le nombre de fois que les intérêts sont composés annuellement. Nous composons chaque semaine, nous faisons donc cela 52 fois par an. Nous devons également élever à la puissance 52. Puisque nous recherchons le taux annuel effectif, nous voulons trouver le solde après un an. Ainsi, 𝑡 est un. Pour clarifier les choses, nous devrions peut-être appeler 𝑟 le taux d’intérêt par an et non le taux annuel, ce qui signifie autre chose dans ce contexte.

Si nous tapons maintenant cette valeur dans nos calculatrices, nous obtenons 1,19923 etc. Ainsi, après un an, le solde de notre compte sera de 1,19923 etc fois la valeur principale que nous avons investie. Le taux d’intérêt est donné par cette partie fractionnaire. Nous gagnons 0,19923 fois notre 𝑃, capital principal, à l’année. Nous avons donc 19,923 etc pour cent de l’argent que nous n’avions investi au début de l’année. Soit un taux annuel effectif de 19,923etc pour cent. Il s’agit du taux d’intérêt dont vous auriez besoin pour un compte où les intérêts sont composés une fois par an pour être équivalents au compte de 18,2% composé hebdomadairement.

Nous réalisons exactement la même démarche pour l’autre plan, composé à 18,5% trimestriellement. Notre valeur de 𝑟 est de 0,185, car le taux d’intérêt annuel de ce compte est de 18,5 pour cent. Notre valeur de 𝑛 est de quatre parce que nous composons trimestriellement. Soit quatre fois par an comme mentionné précédemment. 𝑡, le temps en années où nous investissons notre valeur principale, est toujours égal à un. Ainsi, nous n’avons pas besoin de multiplier l’exposant quatre par quoi que ce soit. Quatre fois un vaut quatre.

Nous tapons cette expression dans nos calculatrices. Nous obtenons 1,19823 etc. Nous avons donc 19,823 etc pour cent fois plus d’argent qu’au début de l’année pour un taux annuel effectif de 19,823 etc.

Maintenant que nous avons les taux annuels effectifs des deux plans, nous pouvons les comparer pour voir lequel est le meilleur. 19,923 etc pour cent est un taux annuel effectif plus élevé que 19,823 etc pour cent. Ainsi, le plan avec le taux d’intérêt de 18,2% composé hebdomadairement est meilleur. À quel point est-ce mieux ? Pas de beaucoup. La différence entre les taux annuels effectifs est d’environ 0,1 pour cent. Néanmoins, c’est mieux. Cela pourrait être surprenant, si vous pensiez que le plan de 18,5 pour cent par an serait automatiquement meilleur que le plan de 18,2 pour cent.

Nous avons vu que la qualité d’un compte bancaire ou d’un plan d’investissement dépend non seulement du taux d’intérêt annoncé, mais également de la fréquence à laquelle cet intérêt est composé. Les plans avec un taux annoncé inférieur peuvent en fait être meilleurs que ceux avec un taux annoncé plus élevé, s’ils sont composés plus fréquemment.

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