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Vidéo de question : Évaluer l’intégrale d’un polynôme Mathématiques

Évaluez ∫_ (0) ^ (1) ((4/5) 𝑡³ + (3/4) 𝑡² - (2/3) 𝑡) 𝑑𝑡.

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Transcription de vidéo

Évaluez l’intégrale, de t égale zéro à t égale un, de quatre cinquièmes de 𝑡 cube plus trois quarts de 𝑡 carré moins deux tiers de 𝑡.

Lorsqu'on parle d'une intégrale définie, il existe en effet une forme générale qui peut nous aider à trouver la valeur de celle-ci. Donc on sait que si on cherche l'intégrale définie d'une fonction entre les bornes 𝑏 et 𝑎, alors elle sera égale à la primitive calculée entre les bornes 𝑏 et 𝑎. Ce qui signifie en fait la valeur de la primitive pour la borne supérieure, donc 𝑏, moins la valeur de la primitive pour la borne inférieure, c'est-à-dire 𝑎. On substitue ces deux valeurs à nos valeurs 𝑥.

On sait donc maintenant ce qu'on doit faire. Nous allons évaluer notre expression et trouver la valeur de notre intégrale définie. Notre première étape consiste donc à trouver une primitive de quatre cinquièmes de 𝑡 au cube plus trois quarts de 𝑡 au carré moins deux tiers de 𝑡. Et bien, notre premier terme va être quatre 𝑡 à la puissance quatre divisé par cinq fois quatre. Et on a obtenu cela car on a augmenté l'exposant de notre terme 𝑡 de un - donc de trois à quatre. Cela nous a donné quatre 𝑡 à la puissance quatre.

Ensuite, on divise par le nouvel exposant. Mais comme nous avons déjà quatre cinquièmes de 𝑡 au cube, ça signifie que nous allons en fait multiplier cinq par le nouvel exposant, qui est quatre. On obtient donc quatre 𝑡 à la puissance quatre sur cinq fois quatre. Le dénominateur reste sous cette forme parce que ce sera plus facile plus tard, quand je vous montrerai comment simplifier cet exemple particulier.

Notre deuxième terme sera donc trois 𝑡 au cube sur quatre fois trois. Encore une fois, en utilisant la même méthode, nous augmentons l'exposant de un - donc de deux à trois. Puis, on le divise par le nouvel exposant. Ainsi, on obtient quatre fois trois au dénominateur, car nous avons déjà quatre dans le dénominateur étant donné que c'était trois quarts de 𝑡 au carré. Et notre terme final est deux 𝑡 au carré sur trois fois deux. Là encore, on procède exactement de la même manière. On augmente l'exposant de un à deux et on le divise par le nouvel exposant.

Très bien, alors maintenant, on va simplifier tout ça. Le premier terme est 𝑡 à la puissance quatre, divisé par cinq. Comme vous le voyez, c'est parce que nous l'avons divisé par quatre. On a divisé le numérateur et le dénominateur par quatre. En fait, ça se simplifie. On a donc 𝑡 à la puissance quatre, sur cinq. Ensuite c'est 𝑡 au cube, sur quatre. Là encore, si on divise le numérateur et le dénominateur par trois, il nous reste 𝑡 au cube, sur quatre. Et le dernier terme est 𝑡 au carré sur trois. Là encore, en suivant la même méthode, on simplifie le numérateur et le dénominateur par deux. On a donc 𝑡 au carré sur trois.

Très bien, on peut maintenant substituer par nos valeurs aux bornes. Si on regarde la forme générale, on va d'abord substituer la valeur de la borne supérieure. Et ensuite, nous allons soustraire la valeur substituée par la borne inférieure On obtient donc un puissance quatre sur cinq plus un à la puissance trois sur quatre moins un à la puissance deux sur trois moins- et normalement je n'écris pas ça, mais je vais le noter pour montrer le fonctionnement complet. On a zéro à la puissance quatre sur cinq plus zéro à la puissance trois sur quatre moins zéro à la puissance deux sur trois, qui sera juste zéro. Par conséquent, ça sera égal à un cinquième plus un quart moins un tiers.

Ce que nous faisons ensuite, au cas où il faut pas utiliser une calculatrice, est de vérifier qu'ils ont le même dénominateur. Alors un cinquième sera en fait 12 sur 60. Et on a choisi 60 parce que c'est le plus petit commun multiple de cinq, quatre et trois. Et on a 12 sur 60 parce que 12 fois cinq est 60. Puis, notre fraction suivante sera 15 sur 60 parce qu'un quart est 15 sur 60. Et enfin, la dernière fraction est 20 sur 60.

Donc maintenant on a le même dénominateur. On peut donc déterminer la réponse finale. Nous pouvons donc dire que l’intégrale, de t égale zéro à t égale un, de quatre cinquièmes de 𝑡 au cube plus trois quarts de 𝑡 au carré moins deux tiers de 𝑡, vaut sept sur 60.

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