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Vidéo de question : Calculer le périmètre d’un triangle à partir des coordonnées de ses sommets à l’aide de la formule de la distance Mathématiques

Soient 𝐴 (4; 5), 𝐵 (5; 5) et 𝐶 (-4; -7). Quel est le périmètre du triangle 𝐴𝐵𝐶 ?

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Transcription de vidéo

Soient 𝐴 le point de coordonnées quatre, cinq, 𝐵 le point de coordonnées cinq, cinq et 𝐶 le point de coordonnées moins quatre, moins sept ; quel est le périmètre du triangle 𝐴𝐵𝐶 ?

Commençons par rappeler que l’on peut calculer la distance entre deux points quelconques de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux grâce au théorème de Pythagore. La longueur du côté horizontal de ce triangle rectangle est égale à 𝑥 deux moins 𝑥 un, et la longueur du côté vertical est égale à 𝑦 deux moins 𝑦 un.

Le segment 𝐴𝐵 est l’hypoténuse de ce triangle. Si on suppose qu’il mesure 𝑑 unités de longueur, alors en appliquant le théorème de Pythagore, on a 𝑑 au carré égale 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré. En prenant la racine carrée des deux membres de cette équation et en rappelant que 𝑑 doit être positive, on obtient la formule de la longueur d’un segment entre deux points dans un repère orthonormé à deux dimensions. Nous allons donc utiliser cette formule pour calculer le périmètre du triangle 𝐴𝐵𝐶.

Nous connaissons les coordonnées des trois points. Et comme le périmètre est la longueur du contour du triangle, nous devons calculer la longueur des segments 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐴. Il peut être utile de remarquer que 𝐴 et 𝐵 ont ici la même ordonnée. Cela signifie qu’ils se situent sur une droite horizontale. Donc nous n’avons pas besoin de la formule de la distance pour calculer la longueur du segment 𝐴𝐵. Elle est simplement égale à la différence entre leurs abscisses. Cinq moins quatre égale un, et ce sera la longueur du côté 𝐴𝐵 de notre triangle.

Pour calculer la longueur du côté 𝐵𝐶, on suppose tout d’abord que 𝑥 un, 𝑦 un sont les coordonnées du point 𝐵 et que 𝑥 deux, 𝑦 deux sont celles du point 𝐶. En substituant les coordonnées dans la formule de la distance, on a 𝐵𝐶 égale racine carrée de moins quatre moins cinq le tout au carré plus moins sept moins cinq le tout au carré. Moins quatre moins cinq égale moins neuf, et moins neuf au carré égale 81. Moins sept moins cinq égale moins 12, et moins 12 au carré égale 144. 𝐵𝐶 est donc égal à racine carrée de 225. 225 est un carré parfait car il est égal à 15 au carré. Cela signifie que racine carrée de 225 égale 15. La longueur du côté 𝐵𝐶 est donc de 15 unités de longueur.

Nous allons maintenant répéter ce calcul pour la longueur du côté 𝐶𝐴, où on suppose cette fois que le point 𝐴 a les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un. 𝐶𝐴 est donc égal à racine carrée de moins quatre moins quatre le tout au carré plus moins sept moins cinq le tout au carré. Cela est égal à racine carrée de 64 plus 144, ce qui se simplifie par racine carrée de 208. On peut le simplifier davantage en utilisant les propriétés des racines. Puisque 16 fois 13 égale 208, racine carrée de 208 peut être reformulé comme racine carrée de 16 fois racine carrée de 13. Et on sait que racine carrée de 16 égale quatre. 𝐶𝐴 est donc égal à quatre racine carrée de 13.

Nous avons maintenant les longueurs des trois côtés de notre triangle. Le périmètre est égal à la somme de celles-ci. C’est-à-dire un plus 15 plus quatre racine carrée de 13. Ce qui peut se simplifier par 16 plus quatre racine carrée de 13. Et il s’agit du périmètre du triangle 𝐴𝐵𝐶 en unités de longueur.

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