Transcription de la vidéo
Dans cette vidĂ©o, nous parlons de lâĂ©quilibre dâun corps rigide. Nous allons voir que pour un corps ou un objet rigide, comme les
différentes parties de ce pont suspendu, lorsque la force totale et
le moment total de la force agissant sur un corps donné égalent
zéro, on dit que ce corps est en équilibre. Ce sont des conditions que nous allons pouvoir utiliser pour analyser
différents exemples.
Pour commencer, nous pouvons définir un corps rigide comme un objet qui
ne se plie pas, ne fléchit pas et ne change pas de forme de quelque
maniĂšre que ce soit. Et lâĂ©quilibre signifie quâun tel corps ne subit ni mouvement de
translation ni mouvement de rotation. Par exemple, nous considérons cette barre au repos sur le sol. Les seules forces agissant sur cette barre sont la force de son poids
agissant vers le bas, et une réaction ou une force normale agissant
vers le haut, sâannulant ainsi mutuellement, de sorte que la force
nette subie par notre barre est nulle. Cela nous indique que cet objet nâaccĂ©lĂšre pas et quâil est donc en
Ă©quilibre de translation. Cependant, comme nous lâavons mentionnĂ©, ce nâest quâun aspect de
lâĂ©quilibre.
En considérant une fois de plus les forces agissant sur cette barre
reposant sur le sol, nous pouvons voir quâelles agissent selon la
mĂȘme ligne dâaction Ă travers notre objet. Cela signifie que si nous rĂ©flĂ©chissons Ă la tendance de lâune ou lâautre
de ces forces Ă faire tourner cette barre â en dâautres termes, Ă
crĂ©er un moment non nul autour dâun point donnĂ© â alors nous pouvons
voir que, quel que soit le point que nous choisissons comme axe de
rotation potentiel, tant que ce point se trouve le long de lâaxe de
la barre, alors le moment de force, ou juste le moment, créé par
lâune ou lâautre de nos deux forces autour de ce point particulier
sera exactement contrebalancĂ© par le moment crĂ©Ă© par lâautre
force.
Par exemple, disons que nous choisissons comme axe de rotation le point
sur lâextrĂ©mitĂ© gauche de cette barre. Sachant quâen gĂ©nĂ©ral un moment de force est Ă©gal Ă la composante
perpendiculaire dâune force donnĂ©e multipliĂ©e par la distance entre
son point dâaction et un Ă©ventuel axe de rotation, nous pouvons voir
que pour notre barre, cette distance pour nos deux forces est cette
distance ici. Câest-Ă -dire que câest la mĂȘme dans chaque cas. Et puisque la force de rĂ©action đ
est égale et opposée à la force du
poids, nous pouvons donc dire que tout moment que la force đ
tend Ă
créer autour de ce point est contrebalancé par le moment créé par la
force đ€.
Il sâavĂšre que câest la deuxiĂšme condition de lâĂ©quilibre. Lorsque le moment net sur un corps rigide est Ă©gal Ă zĂ©ro, cela signifie
quâil est en Ă©quilibre de rotation. Et lorsque ces deux conditions sont remplies, nous disons quâil est
simplement en Ă©quilibre. Cela est vrai pour notre barre. Et notez que câest le cas quel que soit le point le long de lâaxe de la
barre autour duquel nous choisissons dâenvisager des rotations. Ce sont les deux conditions sur lesquelles nous nous appuierons pour
rĂ©pondre aux questions sur les corps rigides et lâĂ©quilibre. Une fois quâon nous dit quâun objet donnĂ© est en Ă©quilibre, nous savons
quâelles sont toutes deux vraies.
Avant de voir quelques exemples dâexercices, nous allons prĂ©senter une
approche de solution que nous pouvons adopter pour les corps rigides
en Ă©quilibre. Dans un tel scĂ©nario, notre premiĂšre Ă©tape peut ĂȘtre de tracer un
diagramme de corps libre, qui montre toutes les forces agissant sur
notre objet. Dans le cas de notre barre, nous avons déjà esquissé toutes ces
forces. Notre prochaine Ă©tape est de mettre en place des conventions de signes, Ă
la fois pour les forces et les moments. Nous pourrions dire, par exemple, quâune force agissant verticalement
vers le haut est positive, et quâune force agissant vers le bas est
donc négative. Et puisque les forces verticales et horizontales sont indépendantes les
unes des autres, il peut Ă©galement ĂȘtre utile de dĂ©finir le positif
et le négatif dans cette deuxiÚme dimension. En plus des forces positives et négatives, nous pouvons avoir des moments
positifs et négatifs.
Pour les moments, Ă©tablissons la convention selon laquelle un moment qui
tend Ă faire tourner un objet dans le sens antihoraire est
positif. Ainsi, si nous revenons Ă notre axe de rotation autour du point sur
lâextrĂ©mitĂ© gauche de notre barre, cela signifie que le moment crĂ©Ă©
par la force de rĂ©action đ
serait positif, tandis que celui créé
par la force du poids serait négatif. Une troisiÚme étape, aussi connexe, dans notre approche de la solution
consiste à établir un cadre de coordonnées. Nous pouvons dire, par exemple, que les forces vers la droite sont dans
la direction positive de đ„, et celles qui sont dirigĂ©es vers le
haut sont dans la direction positive de đŠ.
Notre derniĂšre Ă©tape, et elle est importante, consiste Ă Ă©tablir puis Ă
rĂ©soudre des systĂšmes dâĂ©quations avec des valeurs inconnues. Nous obtenons ces systĂšmes dâĂ©quations Ă partir de ces conditions
dâĂ©quilibre. Par exemple, la premiĂšre condition peut conduire Ă deux Ă©quations
indépendantes, une pour les forces verticales et une pour les forces
horizontales. La deuxiĂšme condition peut donner lieu Ă une troisiĂšme Ă©quation
indĂ©pendante, ce qui signifie quâune fois que nous avons Ă©crit notre
systĂšme, nous pouvons rĂ©soudre jusquâĂ trois inconnues. La meilleure façon de voir comment tout cela fonctionne est de
sâentraĂźner. Voyons maintenant un exemple dâexercice.
Sur la figure donnĂ©e, dĂ©terminez lâintensitĂ© de la force đč qui met la
barre en Ă©quilibre, sachant que lâintensitĂ© de la force donnĂ©e est
de sept newtons et que cos đ Ă©gale quatre cinquiĂšmes.
En regardant
notre figure, nous voyons cette barre verticale, et on nous dit
quâelle est en Ă©quilibre. Deux forces agissent sur la barre, lâune dâune intensitĂ© de sept newtons
et lâautre est une force inconnue đč. Nous savons cependant que ce ne sont pas les seules forces qui agissent
sur cette barre. Si lâon considĂšre le point oĂč la barre rencontre la surface sur laquelle
elle repose, il sâagit du point đŽ. Nous savons quâune force de poids agissant vers le bas est exercĂ©e sur ce
point, et quâil existe Ă©galement une force de rĂ©action agissant dans
le sens opposĂ© ; appelons-la đ
. Notez que lâintensitĂ© de cette force de rĂ©action est supĂ©rieure Ă celle
de đ€ car elle doit contrecarrer les composantes de la force de sept
newtons agissant vers le bas et la force inconnue đč.
En plus de ces forces, il y en a encore une qui agit sur cette barre. Nous le savons car si nous considérons la rotation de la barre autour de
ce point ici ou de ce point ici, oĂč lâune de nos deux forces
horizontales agit, en ne considérant que les forces que nous avons
tracĂ©es jusquâĂ prĂ©sent, nous pouvons voir quâen fait cette barre ne
serait pas en Ă©quilibre de rotation. Câest-Ă -dire quâelle aurait un moment non nul. Ce problĂšme est rĂ©solu si nous supposons quâune force de frottement, nous
lâappellerons đ§, agit sur lâextrĂ©mitĂ© gauche de notre barre, au
point đŽ. Et maintenant, notre diagramme de corps libre montrant toutes les forces
agissant sur notre barre est complet.
Sachant cela, nous pouvons rappeler les deux conditions qui doivent ĂȘtre
remplies pour quâun corps rigide soit en Ă©quilibre. PremiĂšrement, la force nette agissant sur le corps doit ĂȘtre nulle. Cela permet dâassurer lâĂ©quilibre en translation. Ensuite, le moment net agissant sur un corps en Ă©quilibre doit Ă©galement
ĂȘtre nul. Cela garantit lâĂ©quilibre en rotation. En appliquant ces conditions Ă notre situation, on obtient des Ă©quations
de force et de moment. Par exemple, nous pouvons voir que nous avons des composantes de force
qui sont Ă la fois verticales et horizontales, ce qui donnerait donc
deux équations équilibrées de force.
De plus, comme plusieurs de nos forces créeraient un moment autour de
lâaxe vertical de cette barre, nous pouvons appliquer la deuxiĂšme
condition pour obtenir une autre Ă©quation dâĂ©quilibre. Rappelons que câest lâintensitĂ© de cette force inconnue đč que nous
voulons trouver. Nous pourrions commencer par appliquer lâune ou lâautre de ces conditions
dâĂ©quilibre. Mais remarquez que si nous appliquons la deuxiĂšme condition selon
laquelle le moment net de cette barre doit ĂȘtre nul, et si nous
choisissons le point đŽ comme le point autour duquel nous calculons
les moments, alors ce choix de point Ă©liminera de la considĂ©ration Ă
la fois les force de poids, de frottement et de réaction. Et cela parce que ces trois forces agissent en ce point et ont donc une
distance de zĂ©ro entre leurs lignes dâactions et cet axe de
rotation.
Cela signifie que si nous considérons le moment net des forces sur cette
barre autour du point đŽ, nous devons seulement prendre en compte
notre force de sept newtons, qui agit sur la barre Ă cet endroit, et
notre force inconnue đč, qui agit ici. En rappelant que le moment dĂ» Ă une certaine force est Ă©gal Ă la distance
entre le point oĂč cette force est appliquĂ©e et lâaxe de rotation
multipliée par la composante de la force perpendiculaire à cette
ligne, nous pouvons voir que nous nous intéresserons à la composante
horizontale de notre force de sept newtons et Ă celle de notre force
inconnue đč, ainsi quâaux distances perpendiculaires entre ces
forces et le point đŽ.
En commençant Ă Ă©crire notre Ă©quation dâĂ©quilibre des moments, selon
laquelle le moment net sur cette barre est nul, Ă©tablissons la
convention selon laquelle tout moment qui entraĂźne une rotation dans
le sens antihoraire autour du point đŽ sera considĂ©rĂ© comme
positif. Cela signifie quâun moment engendrant une rotation dans lâautre sens est
considéré comme négatif. Ainsi, nous pouvons voir que le moment causé par la force de sept newtons
sera positif, tandis que celui causĂ© par notre force inconnue đč
sera nĂ©gatif. Nous pouvons Ă©crire que sept newtons fois cos de 30 degrĂ©s â en prenant
ce cos, nous isolons la composante horizontale de la force de sept
newtons â fois la distance entre lâendroit oĂč cette force est
appliquĂ©e et le point đŽ â nous pouvons voir quâelle est de 4,7
mĂštres plus 2,1 mĂštres, soit un total de 6,8 mĂštres â moins, parce
quâil gĂ©nĂšre un moment que nous avons dit nĂ©gatif, lâintensitĂ© de la
force đč multipliĂ©e par le cos de lâangle inconnu đ fois 2,1
mĂštres, soit la distance entre lâendroit oĂč đč est appliquĂ©e et le
point đŽ, est tout Ă©gal Ă zĂ©ro.
Juste pour savoir pourquoi nous avons multipliĂ© notre force đč par cos
đ, notez que đ est cet angle donnĂ© ici, et que comme angle
alterne-interne, câest aussi đ. Par consĂ©quent, la composante horizontale de đč est effectivement đč fois
cos đ. Maintenant, dans notre Ă©noncĂ© du problĂšme, on nous dit que cos đ est
égal à quatre cinquiÚmes. Et nous pouvons également reconnaßtre que cos 30 degrés est la racine
carrĂ©e de trois sur deux. En faisant ces substitutions, nous sommes maintenant prĂȘts Ă rĂ©organiser
et Ă rĂ©soudre pour la force đč. Si nous additionnons đč fois quatre cinquiĂšmes fois 2,1 mĂštres aux deux
membres de cette Ă©quation, alors nous obtenons ce rĂ©sultat. DĂ©plaçons un peu lâĂ©quation, divisons maintenant les deux membres de
cette équation par quatre divisé par cinq fois par 2,1 mÚtres.
De lĂ , nous voyons que les unitĂ©s de mĂštres sâannulent du numĂ©rateur et
du dénominateur. Et si nous multiplions ensuite le numérateur et le dénominateur de notre
membre gauche par cinq divisé par quatre, nous obtenons alors cette
expression pour lâintensitĂ© de la force đč. Celle-ci est Ă©gale Ă 35 divisĂ© par huit fois 68 divisĂ© par 21 fois la
racine carrée de trois newtons. Et si nous multiplions ensemble et simplifions autant que possible ces
deux fractions, nous constatons quâelles se simplifient Ă 85 divisĂ©
par six, ce qui signifie que lâintensitĂ© de la force đč est de
quatre-vingt-cinq sixiÚmes fois la racine carrée de trois
newtons.
Voyons maintenant un exemple avec un objet en Ă©quilibre inclinĂ© dâun
angle.
Une barre uniforme đŽđ” dâun poids de 10 newtons et dâune longueur de
12,5 mĂštres repose avec son extrĂ©mitĂ© đŽ sur un plan rugueux
horizontal et le point đ¶, entre đŽ et đ”, repose sur un clou lisse
horizontal, qui se trouve Ă 5,7 mĂštres au-dessus du plan
horizontal. Si la barre est sur le point de glisser lorsquâelle est inclinĂ©e sur
lâhorizontale dâun angle dont la tangente est de trois quarts,
déterminez le coefficient de frottement entre la barre et le plan
horizontal.
En regardant notre figure, nous voyons cette barre dâextrĂ©mitĂ©s đŽ et đ”,
oĂč lâextrĂ©mitĂ© đŽ est en contact avec un plan rugueux horizontal, et
à mi-chemin entre les extrémités, la barre est soutenue par un clou
lisse horizontal au point đ¶. Nous voulons rĂ©soudre le problĂšme du coefficient de frottement entre la
barre et le plan horizontal, qui nous indique quâil y a une force de
frottement, que nous appellerons đč, agissant dans cette direction
sur la barre au point đŽ. On nous dit aussi que la tangente de lâangle entre le plan horizontal et
la barre est de trois quarts, que le poids de la barre, que nous
appellerons đ€, est de 10 newtons, et que sa longueur totale, que
nous appellerons đ, est de 12,5 mĂštres.
Alors que nous commençons à résoudre pour le coefficient de frottement
impliqué dans cette force de frottement, vidons un peu de place sur
lâĂ©cran et rappelons les deux conditions nĂ©cessaires pour quâun
corps rigide comme notre barre soit en Ă©quilibre. On nous dit que cette barre est sur le point de glisser, ce qui signifie
quâelle est actuellement en Ă©quilibre. La premiĂšre condition dâĂ©quilibre est que la force nette sur un objet
soit nulle. Et la deuxiĂšme est que le moment net agissant sur lâobjet soit nul. Ces deux conditions reposent sur les forces agissant sur lâobjet qui nous
intéresse. Commençons donc par notre solution, en dessinant un diagramme de corps
libre représentant toutes les forces agissant sur notre barre.
Nous avons dĂ©jĂ dessinĂ© la force de frottement qui agit au point đŽ. De plus, Ă ce point, il y a une force normale ou de rĂ©action verticale
agissant vers le haut que nous appellerons đ
. Ensuite, nous savons quâau milieu de la barre, dont nous dirons quâil se
trouve ici, il y a une force agissant vers le bas ; câest la force
du poids. Et enfin, Ă partir du clou au point đ¶, il y a une force agissant sur la
barre, qui est Ă angle droit par rapport Ă la longueur de la
barre. Nous le savons car on nous dit que le clou au point đ¶ est lisse. Par consĂ©quent, il ne peut exercer une force sur la barre que dans cette
direction spécifique. Avec nos forces tracées, établissons les conventions de signes selon
lesquelles les forces qui pointent vers la droite sont dans la
direction positive de đ„ et celles qui pointent vers le haut sont
dans la direction positive de đŠ.
De mĂȘme, on peut dire quâun moment crĂ©Ă© par lâune de ces forces sera
considĂ©rĂ© comme positif sâil tend Ă faire tourner la barre dans le
sens antihoraire. Avec ces conventions en place, nous pouvons commencer à considérer notre
premiĂšre condition dâĂ©quilibre. Et comme les forces verticales et horizontales sont indĂ©pendantes lâune
de lâautre, cette condition peut en fait gĂ©nĂ©rer deux Ă©quations
indépendantes, une pour les forces agissant horizontalement dans
notre scénario et une pour les forces agissant verticalement.
Tout dâabord, les forces horizontales. En les considĂ©rant, nous voyons que la force de frottement đč est dans la
direction horizontale positive. La seule autre force agissant horizontalement est une composante de notre
force gĂ©nĂ©rĂ©e par le clou au point đ¶. Nous appellerons cette intensitĂ© de force đč indice đ¶. Et pour rĂ©soudre sa composante horizontale, celle indiquĂ©e par notre
flĂšche bleue, nous aimerions savoir quel est lâangle ici dans ce
triangle droit montrant les composantes de đč indice đ¶. Pour le savoir, rappelons que cet angle est ici đ. Comme il sâagit de lâun des angles dâun triangle rectangle, nous savons
que lâangle intĂ©rieur restant ici doit ĂȘtre de 90 degrĂ©s moins đ
puisque la somme des trois angles intérieurs est de 180 degrés.
Mais alors, cet angle que nous venons dâindiquer est identique Ă cet
angle ici. Et cela, nous pouvons le voir, plus cet angle intérieur que nous voulons
effectivement rĂ©soudre doit ĂȘtre Ă©gal Ă 90 degrĂ©s. Câest Ă cause de la force đč indice đ¶, comme nous lâavons vu, qui est
perpendiculaire Ă lâaxe de la barre. Donc, si cet angle est ici de 90 degrĂ©s moins đ, alors cela doit
signifier que cet angle intĂ©rieur est lui-mĂȘme đ. Et donc, la composante horizontale de đč indice đ¶ est đč indice đ¶ fois
sin đ. Cela nous permet de complĂ©ter notre Ă©quation dâĂ©quilibre des forces
horizontales.
Maintenant, nous allons considĂ©rer nos forces verticales. DâaprĂšs notre diagramme du corps libre, nous voyons que la force de
rĂ©action đ
est une force verticale positive, la force de poids đ€
est une force nĂ©gative, et que la force due Ă notre clou đč indice
đ¶ a Ă©galement une composante verticale. Dans ce cas, elle est positive. Et cette composante est đč indice đ¶ fois cos đ. Et toutes ces forces additionnĂ©es, nous le savons, doivent ĂȘtre nulles
car notre barre est en Ă©quilibre. Maintenant que nous avons deux Ă©quations indĂ©pendantes, considĂ©rons Ă
nouveau ce que nous voulons rĂ©soudre dans cet exercice. Enfin, nous voulons calculer đ, le coefficient de frottement. Ce coefficient de frottement est Ă©gal Ă la force de frottement maximale
que notre surface horizontale peut appliquer Ă la barre avant que la
barre ne glisse, divisĂ©e par la force de rĂ©action đ
.
Donc pour dĂ©terminer đ, nous allons avoir besoin de connaĂźtre la force
de réaction que nous trouvons ici, ainsi que la force de frottement
que nous avons appelĂ©e đč. Nous voyons cependant que ce ne sont pas les seules inconnues dans ces
Ă©quations. Nous ne connaissons pas non plus lâintensitĂ© de la force đč indice
đ¶. Pour comprendre tout cela, nous devrons donc rĂ©soudre pour trois
inconnues, ce qui signifie que nous aurons besoin dâune autre
Ă©quation dans notre systĂšme dâĂ©quations. Et nous pouvons obtenir cette Ă©quation en appliquant la deuxiĂšme
condition dâĂ©quilibre. Le moment net dĂ» Ă toutes ces forces sur la barre autour de nâimporte
quel point le long de lâaxe de la barre doit ĂȘtre nul.
Et ce qui est intĂ©ressant, câest que pour tout calcul de moment net, nous
pouvons choisir nâimporte quel point le long de lâaxe de la barre
pour notre point de rotation. Choisissons le point đŽ, oĂč la barre rencontre le plan rugueux
horizontal. Parce que le moment dû à une force donnée est égal à la composante
perpendiculaire de cette force multipliée par la distance entre
lâendroit oĂč la force agit et le point de rotation, ce choix de đŽ
signifie que nous nâavons pas Ă tenir compte de la force de rĂ©action
ou de la force de frottement dans notre calcul du moment. En effet, pour chacune de ces forces, la distance Ă đŽ est Ă©gale Ă zĂ©ro,
en connaissant ce moment.
Rappelons que nous avons établi que tout moment tendant à créer une
rotation dans le sens antihoraire autour de notre point dâintĂ©rĂȘt
est positif, nous pouvons voir que le moment crĂ©Ă© par đč indice đ¶
sera positif, alors que celui créé par la force de poids sera
nĂ©gatif. Le moment dĂ» Ă đč indice đ¶ est Ă©gal Ă đč indice đ¶ fois cette distance
ici. Maintenant, puisque la tangente de đ est Ă©gale aux trois quarts, si nous
considérons le triangle rectangle, maintenant avec les cÎtés en
orange, nous voyons que câest un exemple de triangle Ă trois,
quatre, cinq, ce qui signifie que lâhypotĂ©nuse de ce triangle, la
distance qui nous intéresse, est de 5,7 mÚtres fois cinq tiers.
De ce moment, nous soustrayons la composante de la force de poids
perpendiculaire Ă lâaxe de la barre, en notant que dans ce triangle
droit de ses composantes, cet angle ici est đ, ce qui signifie que
cette composante est đ€ fois cos đ. Et nous multiplions ce rĂ©sultat par la longueur de la barre sur deux. Et en raison de lâĂ©quilibre, la somme est Ă©gale Ă zĂ©ro. Sachant đ€, que cos đ est de quatre cinquiĂšmes, et que đ est de 12,5
mĂštres, nous pouvons maintenant rĂ©soudre cette Ă©quation dâĂ©quilibre
du moment pour la force đč indice đ¶. Lorsque nous le faisons, nous constatons quâil sâagit de cent
dix-neuviĂšmes, que nous pouvons alors substituer dans notre Ă©quation
de force horizontale pour rĂ©soudre đč, et dans notre Ă©quation de
force verticale pour rĂ©soudre đ
. đ est Ă©gal Ă đč max sur đ
. Et parce que la barre est sur le point de glisser, nous savons que la
force de frottement đč est Ă©gale Ă đč max. Nous pouvons donc utiliser cette valeur pour trouver que đ est Ă©gal Ă
six onziĂšmes. Câest le coefficient de frottement.
RĂ©sumons maintenant en utilisant quelques points clĂ©s. Dans cette leçon, nous avons appris les conditions quâun corps rigide en
Ă©quilibre doit satisfaire. Et enfin, vous avez appris un processus de solution pour les exercices
dâĂ©quilibre.