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Vidéo : Équilibre d’un corps rigide

Dans cette leçon, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur l’équilibre de corps rigides en 2D, où la somme des forces et la somme des moments égale zéro.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous parlons de l’équilibre d’un corps rigide. Nous allons voir que pour un corps ou un objet rigide, comme les différentes parties de ce pont suspendu, lorsque la force totale et le moment total de la force agissant sur un corps donné égalent zéro, on dit que ce corps est en équilibre. Ce sont des conditions que nous allons pouvoir utiliser pour analyser différents exemples.

Pour commencer, nous pouvons définir un corps rigide comme un objet qui ne se plie pas, ne fléchit pas et ne change pas de forme de quelque manière que ce soit. Et l’équilibre signifie qu’un tel corps ne subit ni mouvement de translation ni mouvement de rotation. Par exemple, nous considérons cette barre au repos sur le sol. Les seules forces agissant sur cette barre sont la force de son poids agissant vers le bas, et une réaction ou une force normale agissant vers le haut, s’annulant ainsi mutuellement, de sorte que la force nette subie par notre barre est nulle. Cela nous indique que cet objet n’accélère pas et qu’il est donc en équilibre de translation. Cependant, comme nous l’avons mentionné, ce n’est qu’un aspect de l’équilibre.

En considérant une fois de plus les forces agissant sur cette barre reposant sur le sol, nous pouvons voir qu’elles agissent selon la même ligne d’action à travers notre objet. Cela signifie que si nous réfléchissons à la tendance de l’une ou l’autre de ces forces à faire tourner cette barre – en d’autres termes, à créer un moment non nul autour d’un point donné – alors nous pouvons voir que, quel que soit le point que nous choisissons comme axe de rotation potentiel, tant que ce point se trouve le long de l’axe de la barre, alors le moment de force, ou juste le moment, créé par l’une ou l’autre de nos deux forces autour de ce point particulier sera exactement contrebalancé par le moment créé par l’autre force.

Par exemple, disons que nous choisissons comme axe de rotation le point sur l’extrémité gauche de cette barre. Sachant qu’en général un moment de force est égal à la composante perpendiculaire d’une force donnée multipliée par la distance entre son point d’action et un éventuel axe de rotation, nous pouvons voir que pour notre barre, cette distance pour nos deux forces est cette distance ici. C’est-à-dire que c’est la même dans chaque cas. Et puisque la force de réaction 𝑅 est égale et opposée à la force du poids, nous pouvons donc dire que tout moment que la force 𝑅 tend à créer autour de ce point est contrebalancé par le moment créé par la force 𝑤.

Il s’avère que c’est la deuxième condition de l’équilibre. Lorsque le moment net sur un corps rigide est égal à zéro, cela signifie qu’il est en équilibre de rotation. Et lorsque ces deux conditions sont remplies, nous disons qu’il est simplement en équilibre. Cela est vrai pour notre barre. Et notez que c’est le cas quel que soit le point le long de l’axe de la barre autour duquel nous choisissons d’envisager des rotations. Ce sont les deux conditions sur lesquelles nous nous appuierons pour répondre aux questions sur les corps rigides et l’équilibre. Une fois qu’on nous dit qu’un objet donné est en équilibre, nous savons qu’elles sont toutes deux vraies.

Avant de voir quelques exemples d’exercices, nous allons présenter une approche de solution que nous pouvons adopter pour les corps rigides en équilibre. Dans un tel scénario, notre première étape peut être de tracer un diagramme de corps libre, qui montre toutes les forces agissant sur notre objet. Dans le cas de notre barre, nous avons déjà esquissé toutes ces forces. Notre prochaine étape est de mettre en place des conventions de signes, à la fois pour les forces et les moments. Nous pourrions dire, par exemple, qu’une force agissant verticalement vers le haut est positive, et qu’une force agissant vers le bas est donc négative. Et puisque les forces verticales et horizontales sont indépendantes les unes des autres, il peut également être utile de définir le positif et le négatif dans cette deuxième dimension. En plus des forces positives et négatives, nous pouvons avoir des moments positifs et négatifs.

Pour les moments, établissons la convention selon laquelle un moment qui tend à faire tourner un objet dans le sens antihoraire est positif. Ainsi, si nous revenons à notre axe de rotation autour du point sur l’extrémité gauche de notre barre, cela signifie que le moment créé par la force de réaction 𝑅 serait positif, tandis que celui créé par la force du poids serait négatif. Une troisième étape, aussi connexe, dans notre approche de la solution consiste à établir un cadre de coordonnées. Nous pouvons dire, par exemple, que les forces vers la droite sont dans la direction positive de 𝑥, et celles qui sont dirigées vers le haut sont dans la direction positive de 𝑦.

Notre dernière étape, et elle est importante, consiste à établir puis à résoudre des systèmes d’équations avec des valeurs inconnues. Nous obtenons ces systèmes d’équations à partir de ces conditions d’équilibre. Par exemple, la première condition peut conduire à deux équations indépendantes, une pour les forces verticales et une pour les forces horizontales. La deuxième condition peut donner lieu à une troisième équation indépendante, ce qui signifie qu’une fois que nous avons écrit notre système, nous pouvons résoudre jusqu’à trois inconnues. La meilleure façon de voir comment tout cela fonctionne est de s’entraîner. Voyons maintenant un exemple d’exercice.

Sur la figure donnée, déterminez l’intensité de la force 𝐹 qui met la barre en équilibre, sachant que l’intensité de la force donnée est de sept newtons et que cos 𝜃 égale quatre cinquièmes.

En regardant notre figure, nous voyons cette barre verticale, et on nous dit qu’elle est en équilibre. Deux forces agissent sur la barre, l’une d’une intensité de sept newtons et l’autre est une force inconnue 𝐹. Nous savons cependant que ce ne sont pas les seules forces qui agissent sur cette barre. Si l’on considère le point où la barre rencontre la surface sur laquelle elle repose, il s’agit du point 𝐴. Nous savons qu’une force de poids agissant vers le bas est exercée sur ce point, et qu’il existe également une force de réaction agissant dans le sens opposé ; appelons-la 𝑅. Notez que l’intensité de cette force de réaction est supérieure à celle de 𝑤 car elle doit contrecarrer les composantes de la force de sept newtons agissant vers le bas et la force inconnue 𝐹.

En plus de ces forces, il y en a encore une qui agit sur cette barre. Nous le savons car si nous considérons la rotation de la barre autour de ce point ici ou de ce point ici, où l’une de nos deux forces horizontales agit, en ne considérant que les forces que nous avons tracées jusqu’à présent, nous pouvons voir qu’en fait cette barre ne serait pas en équilibre de rotation. C’est-à-dire qu’elle aurait un moment non nul. Ce problème est résolu si nous supposons qu’une force de frottement, nous l’appellerons 𝑧, agit sur l’extrémité gauche de notre barre, au point 𝐴. Et maintenant, notre diagramme de corps libre montrant toutes les forces agissant sur notre barre est complet.

Sachant cela, nous pouvons rappeler les deux conditions qui doivent être remplies pour qu’un corps rigide soit en équilibre. Premièrement, la force nette agissant sur le corps doit être nulle. Cela permet d’assurer l’équilibre en translation. Ensuite, le moment net agissant sur un corps en équilibre doit également être nul. Cela garantit l’équilibre en rotation. En appliquant ces conditions à notre situation, on obtient des équations de force et de moment. Par exemple, nous pouvons voir que nous avons des composantes de force qui sont à la fois verticales et horizontales, ce qui donnerait donc deux équations équilibrées de force.

De plus, comme plusieurs de nos forces créeraient un moment autour de l’axe vertical de cette barre, nous pouvons appliquer la deuxième condition pour obtenir une autre équation d’équilibre. Rappelons que c’est l’intensité de cette force inconnue 𝐹 que nous voulons trouver. Nous pourrions commencer par appliquer l’une ou l’autre de ces conditions d’équilibre. Mais remarquez que si nous appliquons la deuxième condition selon laquelle le moment net de cette barre doit être nul, et si nous choisissons le point 𝐴 comme le point autour duquel nous calculons les moments, alors ce choix de point éliminera de la considération à la fois les force de poids, de frottement et de réaction. Et cela parce que ces trois forces agissent en ce point et ont donc une distance de zéro entre leurs lignes d’actions et cet axe de rotation.

Cela signifie que si nous considérons le moment net des forces sur cette barre autour du point 𝐴, nous devons seulement prendre en compte notre force de sept newtons, qui agit sur la barre à cet endroit, et notre force inconnue 𝐹, qui agit ici. En rappelant que le moment dû à une certaine force est égal à la distance entre le point où cette force est appliquée et l’axe de rotation multipliée par la composante de la force perpendiculaire à cette ligne, nous pouvons voir que nous nous intéresserons à la composante horizontale de notre force de sept newtons et à celle de notre force inconnue 𝐹, ainsi qu’aux distances perpendiculaires entre ces forces et le point 𝐴.

En commençant à écrire notre équation d’équilibre des moments, selon laquelle le moment net sur cette barre est nul, établissons la convention selon laquelle tout moment qui entraîne une rotation dans le sens antihoraire autour du point 𝐴 sera considéré comme positif. Cela signifie qu’un moment engendrant une rotation dans l’autre sens est considéré comme négatif. Ainsi, nous pouvons voir que le moment causé par la force de sept newtons sera positif, tandis que celui causé par notre force inconnue 𝐹 sera négatif. Nous pouvons écrire que sept newtons fois cos de 30 degrés – en prenant ce cos, nous isolons la composante horizontale de la force de sept newtons – fois la distance entre l’endroit où cette force est appliquée et le point 𝐴 – nous pouvons voir qu’elle est de 4,7 mètres plus 2,1 mètres, soit un total de 6,8 mètres – moins, parce qu’il génère un moment que nous avons dit négatif, l’intensité de la force 𝐹 multipliée par le cos de l’angle inconnu 𝜃 fois 2,1 mètres, soit la distance entre l’endroit où 𝐹 est appliquée et le point 𝐴, est tout égal à zéro.

Juste pour savoir pourquoi nous avons multiplié notre force 𝐹 par cos 𝜃, notez que 𝜃 est cet angle donné ici, et que comme angle alterne-interne, c’est aussi 𝜃. Par conséquent, la composante horizontale de 𝐹 est effectivement 𝐹 fois cos 𝜃. Maintenant, dans notre énoncé du problème, on nous dit que cos 𝜃 est égal à quatre cinquièmes. Et nous pouvons également reconnaître que cos 30 degrés est la racine carrée de trois sur deux. En faisant ces substitutions, nous sommes maintenant prêts à réorganiser et à résoudre pour la force 𝐹. Si nous additionnons 𝐹 fois quatre cinquièmes fois 2,1 mètres aux deux membres de cette équation, alors nous obtenons ce résultat. Déplaçons un peu l’équation, divisons maintenant les deux membres de cette équation par quatre divisé par cinq fois par 2,1 mètres.

De là, nous voyons que les unités de mètres s’annulent du numérateur et du dénominateur. Et si nous multiplions ensuite le numérateur et le dénominateur de notre membre gauche par cinq divisé par quatre, nous obtenons alors cette expression pour l’intensité de la force 𝐹. Celle-ci est égale à 35 divisé par huit fois 68 divisé par 21 fois la racine carrée de trois newtons. Et si nous multiplions ensemble et simplifions autant que possible ces deux fractions, nous constatons qu’elles se simplifient à 85 divisé par six, ce qui signifie que l’intensité de la force 𝐹 est de quatre-vingt-cinq sixièmes fois la racine carrée de trois newtons.

Voyons maintenant un exemple avec un objet en équilibre incliné d’un angle.

Une barre uniforme 𝐴𝐵 d’un poids de 10 newtons et d’une longueur de 12,5 mètres repose avec son extrémité 𝐴 sur un plan rugueux horizontal et le point 𝐶, entre 𝐴 et 𝐵, repose sur un clou lisse horizontal, qui se trouve à 5,7 mètres au-dessus du plan horizontal. Si la barre est sur le point de glisser lorsqu’elle est inclinée sur l’horizontale d’un angle dont la tangente est de trois quarts, déterminez le coefficient de frottement entre la barre et le plan horizontal.

En regardant notre figure, nous voyons cette barre d’extrémités 𝐴 et 𝐵, où l’extrémité 𝐴 est en contact avec un plan rugueux horizontal, et à mi-chemin entre les extrémités, la barre est soutenue par un clou lisse horizontal au point 𝐶. Nous voulons résoudre le problème du coefficient de frottement entre la barre et le plan horizontal, qui nous indique qu’il y a une force de frottement, que nous appellerons 𝐹, agissant dans cette direction sur la barre au point 𝐴. On nous dit aussi que la tangente de l’angle entre le plan horizontal et la barre est de trois quarts, que le poids de la barre, que nous appellerons 𝑤, est de 10 newtons, et que sa longueur totale, que nous appellerons 𝑙, est de 12,5 mètres.

Alors que nous commençons à résoudre pour le coefficient de frottement impliqué dans cette force de frottement, vidons un peu de place sur l’écran et rappelons les deux conditions nécessaires pour qu’un corps rigide comme notre barre soit en équilibre. On nous dit que cette barre est sur le point de glisser, ce qui signifie qu’elle est actuellement en équilibre. La première condition d’équilibre est que la force nette sur un objet soit nulle. Et la deuxième est que le moment net agissant sur l’objet soit nul. Ces deux conditions reposent sur les forces agissant sur l’objet qui nous intéresse. Commençons donc par notre solution, en dessinant un diagramme de corps libre représentant toutes les forces agissant sur notre barre.

Nous avons déjà dessiné la force de frottement qui agit au point 𝐴. De plus, à ce point, il y a une force normale ou de réaction verticale agissant vers le haut que nous appellerons 𝑅. Ensuite, nous savons qu’au milieu de la barre, dont nous dirons qu’il se trouve ici, il y a une force agissant vers le bas ; c’est la force du poids. Et enfin, à partir du clou au point 𝐶, il y a une force agissant sur la barre, qui est à angle droit par rapport à la longueur de la barre. Nous le savons car on nous dit que le clou au point 𝐶 est lisse. Par conséquent, il ne peut exercer une force sur la barre que dans cette direction spécifique. Avec nos forces tracées, établissons les conventions de signes selon lesquelles les forces qui pointent vers la droite sont dans la direction positive de 𝑥 et celles qui pointent vers le haut sont dans la direction positive de 𝑦.

De même, on peut dire qu’un moment créé par l’une de ces forces sera considéré comme positif s’il tend à faire tourner la barre dans le sens antihoraire. Avec ces conventions en place, nous pouvons commencer à considérer notre première condition d’équilibre. Et comme les forces verticales et horizontales sont indépendantes l’une de l’autre, cette condition peut en fait générer deux équations indépendantes, une pour les forces agissant horizontalement dans notre scénario et une pour les forces agissant verticalement.

Tout d’abord, les forces horizontales. En les considérant, nous voyons que la force de frottement 𝐹 est dans la direction horizontale positive. La seule autre force agissant horizontalement est une composante de notre force générée par le clou au point 𝐶. Nous appellerons cette intensité de force 𝐹 indice 𝐶. Et pour résoudre sa composante horizontale, celle indiquée par notre flèche bleue, nous aimerions savoir quel est l’angle ici dans ce triangle droit montrant les composantes de 𝐹 indice 𝐶. Pour le savoir, rappelons que cet angle est ici 𝜃. Comme il s’agit de l’un des angles d’un triangle rectangle, nous savons que l’angle intérieur restant ici doit être de 90 degrés moins 𝜃 puisque la somme des trois angles intérieurs est de 180 degrés.

Mais alors, cet angle que nous venons d’indiquer est identique à cet angle ici. Et cela, nous pouvons le voir, plus cet angle intérieur que nous voulons effectivement résoudre doit être égal à 90 degrés. C’est à cause de la force 𝐹 indice 𝐶, comme nous l’avons vu, qui est perpendiculaire à l’axe de la barre. Donc, si cet angle est ici de 90 degrés moins 𝜃, alors cela doit signifier que cet angle intérieur est lui-même 𝜃. Et donc, la composante horizontale de 𝐹 indice 𝐶 est 𝐹 indice 𝐶 fois sin 𝜃. Cela nous permet de compléter notre équation d’équilibre des forces horizontales.

Maintenant, nous allons considérer nos forces verticales. D’après notre diagramme du corps libre, nous voyons que la force de réaction 𝑅 est une force verticale positive, la force de poids 𝑤 est une force négative, et que la force due à notre clou 𝐹 indice 𝐶 a également une composante verticale. Dans ce cas, elle est positive. Et cette composante est 𝐹 indice 𝐶 fois cos 𝜃. Et toutes ces forces additionnées, nous le savons, doivent être nulles car notre barre est en équilibre. Maintenant que nous avons deux équations indépendantes, considérons à nouveau ce que nous voulons résoudre dans cet exercice. Enfin, nous voulons calculer 𝜇, le coefficient de frottement. Ce coefficient de frottement est égal à la force de frottement maximale que notre surface horizontale peut appliquer à la barre avant que la barre ne glisse, divisée par la force de réaction 𝑅.

Donc pour déterminer 𝜇, nous allons avoir besoin de connaître la force de réaction que nous trouvons ici, ainsi que la force de frottement que nous avons appelée 𝐹. Nous voyons cependant que ce ne sont pas les seules inconnues dans ces équations. Nous ne connaissons pas non plus l’intensité de la force 𝐹 indice 𝐶. Pour comprendre tout cela, nous devrons donc résoudre pour trois inconnues, ce qui signifie que nous aurons besoin d’une autre équation dans notre système d’équations. Et nous pouvons obtenir cette équation en appliquant la deuxième condition d’équilibre. Le moment net dû à toutes ces forces sur la barre autour de n’importe quel point le long de l’axe de la barre doit être nul.

Et ce qui est intéressant, c’est que pour tout calcul de moment net, nous pouvons choisir n’importe quel point le long de l’axe de la barre pour notre point de rotation. Choisissons le point 𝐴, où la barre rencontre le plan rugueux horizontal. Parce que le moment dû à une force donnée est égal à la composante perpendiculaire de cette force multipliée par la distance entre l’endroit où la force agit et le point de rotation, ce choix de 𝐴 signifie que nous n’avons pas à tenir compte de la force de réaction ou de la force de frottement dans notre calcul du moment. En effet, pour chacune de ces forces, la distance à 𝐴 est égale à zéro, en connaissant ce moment.

Rappelons que nous avons établi que tout moment tendant à créer une rotation dans le sens antihoraire autour de notre point d’intérêt est positif, nous pouvons voir que le moment créé par 𝐹 indice 𝐶 sera positif, alors que celui créé par la force de poids sera négatif. Le moment dû à 𝐹 indice 𝐶 est égal à 𝐹 indice 𝐶 fois cette distance ici. Maintenant, puisque la tangente de 𝜃 est égale aux trois quarts, si nous considérons le triangle rectangle, maintenant avec les côtés en orange, nous voyons que c’est un exemple de triangle à trois, quatre, cinq, ce qui signifie que l’hypoténuse de ce triangle, la distance qui nous intéresse, est de 5,7 mètres fois cinq tiers.

De ce moment, nous soustrayons la composante de la force de poids perpendiculaire à l’axe de la barre, en notant que dans ce triangle droit de ses composantes, cet angle ici est 𝜃, ce qui signifie que cette composante est 𝑤 fois cos 𝜃. Et nous multiplions ce résultat par la longueur de la barre sur deux. Et en raison de l’équilibre, la somme est égale à zéro. Sachant 𝑤, que cos 𝜃 est de quatre cinquièmes, et que 𝑙 est de 12,5 mètres, nous pouvons maintenant résoudre cette équation d’équilibre du moment pour la force 𝐹 indice 𝐶. Lorsque nous le faisons, nous constatons qu’il s’agit de cent dix-neuvièmes, que nous pouvons alors substituer dans notre équation de force horizontale pour résoudre 𝐹, et dans notre équation de force verticale pour résoudre 𝑅. 𝜇 est égal à 𝐹 max sur 𝑅. Et parce que la barre est sur le point de glisser, nous savons que la force de frottement 𝐹 est égale à 𝐹 max. Nous pouvons donc utiliser cette valeur pour trouver que 𝜇 est égal à six onzièmes. C’est le coefficient de frottement.

Résumons maintenant en utilisant quelques points clés. Dans cette leçon, nous avons appris les conditions qu’un corps rigide en équilibre doit satisfaire. Et enfin, vous avez appris un processus de solution pour les exercices d’équilibre.

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