Pop Video: Produit de Wallis pour 𝜋, prouvé géométriquement

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D’accord, je pense que vous allez aimer ça. Je veux vous montrer un beau résultat qui révèle un lien surprenant entre une simple série de fractions et la géométrie des cercles. Mais, contrairement à certains autres résultats de ce type que vous avez peut-être déjà vus, celui-ci implique de multiplier les éléments au lieu de les additionner. Maintenant, la vidéo que vous êtes sur le point de regarder est particulièrement excitante pour notre ensemble 3blue1brown car elle est apparue un peu différemment pour la plupart des vidéos que nous avons réalisées.

Si vous prenez du recul et réfléchissez-y, la valeur de tout type de présentation mathématique découle de la combinaison des mathématiques sous-jacentes, puis de tous les choix qui entrent dans la manière de les communiquer. Et pour presque tout le contenu de ce canal, les mathématiques sous-jacentes sont bien connues sur le terrain. C’est soit basé sur la théorie générale ou un papier particulier. Et mon espoir, c’est que la nouveauté provienne de la moitié de la communication. Et avec cette vidéo, le résultat que nous discutons, un produit infini très célèbre pour 𝜋 connu sous le nom du produit Wallis, est en effet mathématique bien connu. Cependant, ce que nous présenterons est, à notre connaissance, une preuve plus originale de ce résultat.

Pour le contexte, après avoir regardé notre vidéo sur le problème de Bâle, Sridhar, le nouveau membre de 3b1b dont certains d’entre vous se souviennent sûrement de la vidéo sur la couleur et les chiffres sinistres, eh bien, il a passé un certain temps à réfléchir à l’approche adoptée dans cette vidéo ainsi qu’à penser au lien entre le problème de Bâle et le produit Wallis. Et il a trébuché dans une nouvelle preuve de la relation entre le produit Wallis et 𝜋. Je veux dire, je laisserai ouverte la possibilité qu’un argument de ce style soit caché quelque part dans la littérature au-delà de ce que nos recherches ont mis en place. Mais je peux au moins dire que cela a été trouvé indépendamment. Et que s’il existe, il a fait un travail fantastique en se cachant du public. Alors sans plus tarder, plongeons dans les mathématiques.

Considérez le produit deux fois sur une fois quatre fois sur trois fois six fois sur cinq, et ainsi de suite. Eh bien, ce que nous faisons consiste à inclure tous les nombres pairs en tant que numérateurs et les nombres impairs en tant que dénominateurs. Bien entendu, tous les facteurs ici sont plus importants qu’un. Ainsi, à mesure que vous parcourez la série, en multipliant chaque nouveau facteur un par un, le résultat ne cesse de grandir. En fait, il s’avère qu’elle finit par dépasser une limite finie. Donc, dans ce sens, ce n’est pas super intéressant. Ça explose à l’infini.

Et maintenant, si vous décalez légèrement les choses, si vous divisez par deux, divisé par trois, par quatre, par cinq, par six, par sept, etc., tous ces facteurs sont inférieurs à un. Donc, le résultat devient de plus en plus petit. Et cette fois, la série se rapproche de zéro. Mais si on mélangeait les deux ? Si vous regardiez deux fois plus une fois deux fois trois fois quatre fois sur quatre fois sur cinq, et ainsi de suite, où les produits partiels continuent de monter, puis de baisser, puis de monter, puis de monter un peu puis un peu moins jusqu’à ce que tous ces sauts et ces chutes ne subissent presque aucun changement.

Alors maintenant, il doit converger vers une sorte de valeur finie positive. Mais quelle est cette valeur ? Croyez-le ou non, nous allons découvrir que cela équivaut à 𝜋 divisé par deux. Et pour comprendre le lien qui existe entre ce produit, apparemment sans rapport avec les cercles, et 𝜋, nous devrons procéder à une légère digression à travers quelques outils géométriques. C’est une digression productive, car ce sont des idées utiles à avoir dans votre ceinture d’outils de résolution de problèmes pour toutes sortes d’autres mathématiques. La configuration ici comprend un cercle avec de nombreux points différents uniformément espacés, puis un point spécial supplémentaire.

Cela ressemble à ce que nous avions dans la vidéo sur le problème de Bâle, où nous décrivions ces points espacés de manière uniforme comme des phares et considérions ce point spécial comme un observateur. À l’époque, la quantité qui nous importait consistait à regarder la distance entre l’observateur et chaque phare, puis à prendre le carré inverse de chacune de ces distances et à les additionner. C’est pourquoi nous avions tout le récit avec les phares, car la loi des carrés inverses donnait une très belle interprétation physique à cette quantité. C’était la quantité totale de lumière reçue par cet observateur. Mais malgré cette belle interprétation physique, l’ajout de distances inversées au carré n’a rien de magique. C’est justement ce qui s’est avéré utile pour résoudre ce problème particulier.

Maintenant, pour aborder notre nouveau problème de deux fois plus d’une fois, deux fois, trois fois, quatre fois, trois fois, quatre fois plus que cinq fois, etc., nous allons faire quelque chose de similaire, mais différent dans les détails. Au lieu d’utiliser les distances inversées au carré, il suffit de regarder directement les distances elles-mêmes. Et au lieu de les additionner, nous les multiplierons, donnant une quantité que je qualifierai de produit de distance pour l’observateur. Ça va être important. Et même si ce produit de distance n’a plus une belle analogie physique, je veux quand même vouloir l’illustrer avec des phares et un observateur car, eh bien, je ne sais pas, c’est joli. Et aussi, c’est juste plus amusant que des points géométriques abstraits.

Maintenant, pour cette preuve du produit Wallis, nous allons avoir besoin de deux faits essentiels sur ce produit de distance, deux petits lemmes. Premièrement, si l’observateur est placé à mi-distance entre deux phares du cercle, ce produit de distance, ce que l’on obtient en multipliant ensemble la longueur de toutes ces lignes, est exactement égal à deux, quel que soit le nombre de phares. Et deuxièmement, si vous enlevez l’un de ces phares et mettez l’observateur à sa place, la distance entre tous les phares restants correspond au nombre de phares par lequel vous avez commencé. Encore une fois, peu importe le nombre de phares.

Et si ces deux faits semblent fous, je suis d’accord. Je veux dire, il n’est même pas évident que le produit de distance ici devienne un entier dans les deux cas. Et aussi, il semble très difficile de calculer toutes les distances et de les multiplier ensemble comme ceci. Mais il s’avère qu’il existe une astuce dans ce calcul compliqué qui le rend assez simple. L’idée principale est que la propriété géométrique de ces points régulièrement espacés autour d’un cercle correspond à une très belle propriété algébrique, si nous imaginons qu’il s’agit du cercle unitaire dans le plan complexe, chacun de ces phares étant situé sur un nombre complexe spécifique.

Certains d’entre vous reconnaîtront peut-être ces racines de l’unité. Mais laissez-moi passer rapidement en revue cette idée au cas où l’un de vous ne serait pas familier. Pensez au carré de l’un de ces nombres. Il a un module de 1, donc ça restera le même. Mais l’angle qu’il fait avec l’horizontale va doubler. C’est ainsi que fonctionne la quadrature des nombres complexes. De la même façon, ce nombre au cube va tripler l’angle qu’il fait avec l’horizontale. Et en général, élever à la puissance 𝑛 multiplie l’angle par 𝑛. Ainsi, par exemple, à l’écran en ce moment, il y a sept points régulièrement espacés autour du cercle unité, que je vais appeler 𝑙 zéro, 𝑙 un, 𝑙 deux, et ainsi de suite. Et ils sont pivotés de manière à ce que 𝑙 zéro soit situé au premier rang à droite.

Donc, parce que l’angle que chacun d’entre eux fait avec l’horizontale est un multiple entier d’un septième de tour, le fait d’élever l’un de ces nombres à la puissance sept vous fait tourner pour atterrir sur le nombre un. En d’autres termes, toutes les solutions de l’équation polynomiale 𝑥 au septième moins un sont égales à zéro.

Mais d’autre part, nous pourrions construire un polynôme qui a ces chiffres que les racines d’une manière totalement différente, en prenant 𝑥 moins 𝑙 zéro fois 𝑥 moins 𝑙 un, sur et et, jusqu’à 𝑥 moins 𝑙 six. Je veux dire, vous connectez n’importe lequel de ces nombres et ce produit devra être égal à zéro. Et comme ces deux polynômes de degré sept ont les mêmes sept racines distinctes et le même terme principal, c’est juste 𝑥 à la puissance sept dans les deux cas, ils sont en fait un seul et même.

Maintenant, prenez un moment pour apprécier à quel point c’est un fait merveilleux. Ce côté droit semble être un véritable cauchemar pour l’expansion. Non seulement y a-t-il beaucoup de termes, mais noter exactement chacun de ces nombres complexes va nous mener à un fouillis de sinus et de cosinus. Mais à cause de la symétrie de la structure, nous savons que lorsque toute la poussière algébrique se sera dissipée, la situation deviendra plus simple, jusqu’à être 𝑥 puissance sept moins un. Tous les autres termes seront annulés. Et bien sûr, il n’y a rien de spécial à propos de sept ici. Si vous avez 𝑛 points uniformément répartis autour d’un cercle comme celui-ci, ce sont les racines de 𝑥 puissance 𝑛 moins un égal à zéro.

Et maintenant, vous verrez peut-être pourquoi cela donnerait une astuce simplificatrice pour calculer le produit de distance que nous avons défini il y a un instant. Si vous considérez que l’observateur est un autre nombre complexe, pas nécessairement sur le cercle, et que vous branchez ce nombre pour 𝑥, le membre de droite vous donne un nouveau nombre complexe dont la magnitude est le produit des distances entre l’observateur et chaque phare. Mais regardez à gauche, c’est un moyen beaucoup plus simple de comprendre en quoi ce produit va être simplifié. Étonnamment, cela signifie que si notre observateur est situé dans le même cercle que les phares, le nombre réel de phares, eh bien ce ne sera pas important. Ce n’est que la fraction du chemin entre les phares adjacents qui décrit notre observateur qui entrera en jeu.

Si cette fraction est 𝑓, alors observateur puissance 𝑛 place 𝑓 sur le chemin autour d’un cercle complet. Ainsi, le module du nombre complexe de l’observateur puissance 𝑛 moins un est la distance entre le nombre un et un point 𝑓 de la route autour du cercle unité. Par exemple, à l’écran en ce moment, nous avons sept phares et l’observateur est situé au tiers du chemin entre le premier et le second. Ainsi, lorsque vous augmentez le nombre complexe associé à cet observateur à la septième puissance, ils se retrouvent au tiers du cercle complet. Ainsi, le module de l’observateur puissance sept moins un serait la longueur de cette corde ici, qui pour un tiers du cercle est d’environ 1.73.

Et rappelez-vous, cette valeur est remarquablement identique au produit de distance complet qui nous tient à cœur. Nous pourrions augmenter ou diminuer le nombre de phares. Et peu importe, tant que cet observateur est à un tiers du chemin entre les phares, nous aurions toujours la longueur de cette même corde que notre produit de distance. En général, nous allons définir une fonction spéciale pour nous-mêmes, corde de 𝑓, ce qui signifiera pour toute fraction 𝑓, la longueur d’une corde correspondant à cette fraction d’un cercle unité. Ainsi, par exemple, ce que nous venons de voir était une corde d’un tiers. En fait, ce n’est pas si difficile de voir que des cordes de 𝑓 sont la même chose que deux fois le sinus de 𝑓 sur deux fois deux 𝜋, ce qui est deux fois le sinus de 𝑓𝜋. Mais, il est parfois plus facile de penser juste comme corde de 𝑓. Le résultat que nous venons de montrer est que, pour un observateur 𝑓 qui se trouve entre deux phares, le produit de la distance totale, aussi compliqué que cela puisse paraître, correspond exactement à la corde de 𝑓, quel que soit le nombre de phares.

Donc, en particulier, pensez à une corde de moitié. C’est la distance entre deux points aux extrémités opposées d’un cercle unitaire, qui est deux. Nous voyons donc que peu importe le nombre de phares répartis également autour du cercle d’unités, placer un observateur exactement à mi-chemin du cercle entre deux d’entre eux donne un produit de distance de exactement deux. Et c’est notre premier fait clé, alors rangez-le.

Pour le prochain fait important, imaginez que l’observateur se trouve directement sur l’un des phares. Bien sûr, le produit de distance est zéro. Le phare de distance zéro finit par anéantir tous les autres facteurs. Mais supposons que nous venions de nous débarrasser de ce phare gênant et de ne considérer que les contributions de tous les autres. Quel serait le produit à distance ? Eh bien, maintenant au lieu de considérer l’observateur polynôme à la puissance 𝑛 moins un, ce qui a une racine à toutes ces 𝑛 racines de l’unité, nous cherchons à l’observateur polynomiale au 𝑛 moins un divisé par observateur moins un, qui a racine à toutes les racines de l’unité à l’exception du nombre un lui-même.

Et un peu d’algèbre montre que cette fraction est la même chose que d’un observateur plus plus observateur au carré, sur et ainsi de suite, jusqu’à observateur puissance 𝑛 moins un. Et donc, si vous branchez un observateur équivaut à un, puisque c’est le nombre sur lequel il est situé, qu’obtenez-vous ? Tous les termes ici deviennent un. Cela correspond donc à 𝑛, ce qui signifie que le produit de la distance totale pour cette configuration est égal au nombre de phares d’origine. Cela dépend du nombre total de phares, mais de manière très simple. Je veux dire, pense à ça. C’est incroyable ! Le produit de la distance totale qu’un observateur situé à l’un des phares reçoit de tous les autres phares est précisément 𝑛, où 𝑛 est le nombre total de phares, y compris le phare ignoré. C’est notre deuxième fait important.

Et d’ailleurs, prouver des faits géométriques avec des polynômes complexes comme celui-ci est assez courant en mathématiques. Et si vous montiez chez votre mathématicien local et que vous lui montriez ces deux faits ou d’autres faits similaires, ils reconnaîtront rapidement à la fois que ces faits sont vrais et comment les prouver, en utilisant les méthodes que nous venons de montrer. Et maintenant, vous aussi. Alors, la prochaine, avec ces deux faits dans notre poche arrière, nous allons voir comment les utiliser pour comprendre le produit qui nous intéresse et comment elle se rapporte à 𝜋.

Prenez cette configuration avec 𝑛 phares uniformément espacés autour d’un cercle d’unités et imaginez deux observateurs distincts, ce que j’appellerai le gardien et le marin. Placez le gardien directement sur l’un des phares. Et placez le marin à mi-chemin entre ce point et le prochain phare. L’idée ici sera d’examiner le produit de distance pour le gardien divisé par le produit de distance pour le marin. Et ensuite, nous allons calculer ce rapport de deux manières différentes. Dès le premier constat, nous savons que le produit de la distance totale pour le marin est de deux. Et le produit de distance pour le gardien, eh bien, c’est zéro, puisqu’il se tient au-dessus d’un. Mais si nous nous sommes débarrassés de ce phare, puis par notre deuxième fait essentiel, le produit de la distance restante pour ce gardien est 𝑛.

Et bien sûr, en nous débarrassant de ce phare, nous nous sommes également débarrassés de sa contribution au produit de distance du marin. Donc, ce dénominateur doit maintenant être divisé par la distance entre les deux observateurs. Et pour simplifier un peu, cela signifie que le rapport entre le produit de distance du gardien et le matelot est égal à 𝑛 fois la distance entre les deux observateurs, tous divisés par deux. Mais nous pourrions aussi calculer ce rapport de manière différente, en considérant chaque phare individuellement.

Pour chaque phare, réfléchissez à sa contribution au produit de distance du gardien, ce qui signifie simplement sa distance au gardien, divisée par sa contribution au produit de distance de ce marin, sa distance au marin. Et lorsque nous multiplions tous ces facteurs sur chaque phare, nous devons finalement obtenir le même rapport, à savoir 𝑛 fois la distance entre les observateurs, divisée par deux. Cela peut sembler un calcul extrêmement compliqué. Mais, à mesure que 𝑛 s’agrandit, cela devient en réalité plus simple pour un phare particulier.

Par exemple, pensez au premier phare après le gardien, dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. C’est un peu plus proche du marin que du gardien. Plus précisément, l’angle entre ce phare et le gardien est exactement le double de l’angle entre ce phare et le marin. Et ces angles ne sont pas exactement proportionnels à ces distances en ligne droite. Mais comme 𝑛 devient plus grand, la correspondance est de mieux en mieux. Et pour un très grand 𝑛, la distance entre le phare et le gardien est presque deux fois plus grande que celle du marin.

Et de la même manière, en regardant le deuxième phare après le gardien, il a un rapport angle / gardien divisé par angle / marin exactement égal à quatre tiers, ce qui est presque identique à la distance par rapport au gardien. divisée par le rapport distance / marin lorsque 𝑛 devient grand. Et ce troisième phare, 𝑙 trois, va contribuer une fraction qui se rapproche de plus en plus des six cinquièmes alors que 𝑛 approche de l’infini. Maintenant, pour cette preuve, nous allons considérer tous les phares au bas du cercle un peu différemment, c’est pourquoi je les ai énumérés : moins un, moins deux, moins trois, etc.

Si vous regardez le premier phare avant le gardien, il a un rapport distance / gardien sur la distance au marin qui approche les deux tiers lorsque 𝑛 approche de l’infini. Et puis, le deuxième phare qui le précède, 𝑙 moins deux ici, contribue à un rapport qui se rapproche de plus en plus des quatre cinquièmes. Et le troisième phare, 𝑙 moins trois, contribue une fraction de plus en plus proche des six septièmes, et ainsi de suite. En combinant tous les phares, nous obtenons le produit deux sur un fois deux sur trois fois quatre sur trois fois quatre sur cinq fois six sur cinq fois six sur sept, et ainsi de suite. C’est le produit que nous voulons étudier. Et dans ce contexte, chacun de ces termes reflète ce que la contribution pour un phare particulier est lorsque 𝑛 tend vers l’infini.

Et quand je dis contribution, je veux dire la contribution à ce rapport de au produit de la distance du marin du produit à distance du gardien, que nous connaissons à chaque étape doit être égale 𝑛 fois la distance entre les observateurs divisé par deux. Alors, quelle est l’approche de la valeur lorsque 𝑛 approche de l’infini ? Eh bien, la distance entre les observateurs est égale à la moitié d’un sur 𝑛 d’un tour complet du cercle. Et puisque c’est un cercle unité, sa circonférence totale est deux 𝜋. Ainsi, la distance entre les observateurs approche 𝜋 divisé par 𝑛. Et donc, 𝑛 fois cette distance divisée par deux approches 𝜋 divisée par deux. Donc là vous l’avez ! Notre produit, deux sur un fois deux sur trois fois quatre sur trois fois quatre sur cinq, et ainsi de suite, doit approcher 𝜋 divisé par deux.

C’est un résultat vraiment merveilleux. Et il s’agit du produit Wallis, du nom du mathématicien du 17ème siècle, John Wallis, qui découvrit ce fait pour la première fois de manière plus compliquée. Et aussi, petit détail, c’est le même gars qui a découvert — ou plutôt inventé — le symbole de l’infini.

Et en fait, si vous revenez sur cet argument, nous avons tiré un peu du tour de passe-passe en matière de formalité ici, que les plus sophistiqués mathématiquement auraient peut-être compris. Ce que nous avons ici est un tas de facteurs que nous avons connu ensemble pour obtenir multiplions 𝑛 fois la distance entre les observateurs divisé par deux. Ensuite, nous avons examiné la limite de chaque facteur individuellement comme si 𝑛 allait à l’infini et avons conclu que le produit de tous ces termes limites devait être égal quelle que soit la limite de 𝑛 fois la distance entre les observateurs divisée par deux. Mais ce que cela suppose, c’est que le produit des limites est égal à la limite des produits, même lorsqu’il existe une infinité de facteurs.

Et ce genre de déplacements de limites en arithmétique de l’infini, eh bien ce n’est pas toujours vrai. Ça tient souvent, mais ça échoue parfois. Ici, permettez-moi de vous montrer un exemple simple d’un cas où ce type de déplacement de limites ne fonctionne pas réellement. Nous avons donc une grille où chaque rangée en contient un, puis sept. Donc, si vous preniez le produit infini de chaque rangée, vous n’en obtenez que sept pour chacune d’elles. Donc, puisque chacun de ces produits a sept ans, la limite des produits est également de sept ans. Mais regardez ce qui se passe si vous prenez les limites en premier. Si vous regardez chaque colonne, la limite d’une colonne donnée sera une, car à un moment donné, ce ne sont que des unités.

Mais ensuite, si vous prenez le produit de ces limites, vous ne prenez que le produit de plusieurs. Vous pouvez donc obtenir une réponse différente; à savoir un. Heureusement, les mathématiciens ont passé beaucoup de temps à réfléchir à ce phénomène. Et ils ont mis au point des outils permettant de déterminer rapidement certaines conditions dans lesquelles cet échange de limites fonctionne réellement. Dans ce cas, un résultat standard particulier connu sous le nom de convergence dominée nous assure rapidement que l’argument que nous venons de montrer ira en toute transparence. Pour ceux d’entre vous qui sont intéressés, Sridhar a écrit un post de blog supplémentaire à cette vidéo qui couvre ces détails ainsi que beaucoup d’autres choses.

Et je devrais également dire que nous devons être un peu prudents sur la façon d’interpréter un produit comme celui-ci. Rappelez-vous que nous avons des contributions des phares du gardien dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, ainsi que des phares du gardien dans le sens des aiguilles d’une montre. Et ce que nous avons fait était de les entrelacer pour obtenir notre produit. Maintenant, les phares du gardien dans le sens antihoraire contribuent avec deux, un sur un, quatre sur trois, six sur cinq, et ainsi de suite. Et ceux dans le sens horaire du gardien contribuent avec deux sur trois, quatre sur cinq, six sur sept. Et comme je l’ai déjà dit, si vous jouez avec ces séries individuelles, vous constaterez que la première devient de plus en plus grande et s’agrandit à l’infini. Et le second devient de plus en plus petit, proche de zéro.

Il est donc assez délicat de donner un sens à ce produit global en calculant les deux moitiés séparément puis en les combinant. Et effectivement, nous verrons que si vous mélangez ces deux moitiés différemment, en prenant par exemple deux fois plus de facteurs de l’un pour l’autre, vous obtiendrez un résultat différent pour l’ensemble du produit. Il est seulement quand vous spécifiquement les combiner dans celui-ci pour une, de façon que vous pouvez obtenir un produit qui converge vers 𝜋 sur deux. C’est quelque chose qui échappe à la convergence dominée qui justifie que nous fassions la navette comme nous le faisions. Et encore une fois, pour plus de détails, voir le post supplémentaire. Pourtant, ce ne sont que des détails techniques. L’essentiel conceptuel de ce qui se passe ici est exactement ce que nous venons de montrer.

Et en fait, après tout ce travail, il serait dommage de ne pas prendre un instant pour parler d’un autre résultat qui ressort de cet argument. On peut dire que c’est la partie la plus cool de toute la preuve. Vous voyez, nous pouvons généraliser toute cette discussion. Pensez à quand nous avons découvert notre premier fait essentiel, où nous avons vu que vous ne pouviez pas considérer que placer le marin précisément à mi-chemin entre les phares, mais toute fraction 𝑓 du chemin entre les phares adjacents. Dans ce contexte plus général, le produit de distance pour le marin n’était pas nécessairement deux. Mais c’était une corde de 𝑓, où 𝑓 est la fraction du chemin entre les phares.

Et si nous suivons le même raisonnement que celui que nous venons de faire avec le marin à cet endroit et que nous ne changeons rien, nous constatons que le rapport entre le produit de distance du gardien et le produit de distance du marin est maintenant égal à 𝑛 fois la distance entre divisé par la corde de 𝑓, qui se rapproche 𝑓 fois deux 𝜋 divisé par corde de 𝑓 lorsque 𝑛 devient plus grande. Et, de la même manière que précédemment, vous pouvez également calculer cela en prenant en compte les contributions de chaque phare. Si vous prenez le temps de nous en sortir, le 𝑘 e phare après le gardien contribuera un facteur de 𝑘 divisé par 𝑘 moins 𝑓 à ce rapport. Et tous les phares avant le gardien, ils contribuent la même chose. Mais vous avez juste de donner des valeurs négatives pour 𝑘.

Si vous combinez tous ces contributions sur tous les entiers non nuls 𝑘, où de la même manière qu’auparavant vous devez faire attention à la façon dont vous regroupez les termes positifs et négatifs 𝑘 ensemble, ce que vous obtenez est que le produit de 𝑘 divisé par 𝑘 moins 𝑓 sur tous les entiers non nuls 𝑘 va être égal à 𝑓 fois deux 𝜋 divisé par corde de 𝑓. Autrement dit, étant donné que la corde de 𝑓 est deux fois le sinus de 𝑓𝜋, ce produit est le même que 𝑓 fois deux 𝜋 divisé par deux fois sinus de 𝑓𝜋, qui est 𝑓𝜋 sur sinus de 𝑓𝜋.

Maintenant, en réécrivant un peu plus, vous obtenez un fait assez intéressant. Sinus de 𝑓 fois 𝜋 est égal à 𝑓𝜋 fois ce produit vraiment grand, le produit d’un moins 𝑓 sur 𝑘 sur tous les entiers non nuls 𝑘. Donc, ce que nous avons trouvé est un moyen d’exprimer sinus de 𝑥 comme un produit infini, ce qui est vraiment cool si vous pensez à ce sujet. Donc, non seulement cette preuve nous donne le produit Wallis, qui est incroyable en soi, mais elle généralise également pour nous donner la formule du produit pour le sinus. Et ce qui est intéressant, c’est qu’il est lié à la manière dont Euler a initialement résolu le problème de Bâle, somme que nous avons vue dans la vidéo précédente. Il regardait ce produit très infini pour sine. Je veux dire, la connexion de ces formules pour 𝜋 à des cercles est une chose, mais les relier les uns aux autres est tout autre chose.