VidĂ©o : Produit de Wallis pour 𝜋, prouvĂ© gĂ©omĂ©triquement

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Produit de Wallis pour 𝜋, prouvĂ© gĂ©omĂ©triquement

25:00

Transcription de vidéo

D’accord, je pense que vous allez aimer ça. Je veux vous montrer un beau rĂ©sultat qui rĂ©vĂšle un lien surprenant entre une simple sĂ©rie de fractions et la gĂ©omĂ©trie des cercles. Mais, contrairement Ă  certains autres rĂ©sultats de ce type que vous avez peut-ĂȘtre dĂ©jĂ  vus, celui-ci implique de multiplier les Ă©lĂ©ments au lieu de les additionner. Maintenant, la vidĂ©o que vous ĂȘtes sur le point de regarder est particuliĂšrement excitante pour notre ensemble 3blue1brown car elle est apparue un peu diffĂ©remment pour la plupart des vidĂ©os que nous avons rĂ©alisĂ©es.

Si vous prenez du recul et rĂ©flĂ©chissez-y, la valeur de tout type de prĂ©sentation mathĂ©matique dĂ©coule de la combinaison des mathĂ©matiques sous-jacentes, puis de tous les choix qui entrent dans la maniĂšre de les communiquer. Et pour presque tout le contenu de ce canal, les mathĂ©matiques sous-jacentes sont bien connues sur le terrain. C’est soit basĂ© sur la thĂ©orie gĂ©nĂ©rale ou un papier particulier. Et mon espoir, c’est que la nouveautĂ© provienne de la moitiĂ© de la communication. Et avec cette vidĂ©o, le rĂ©sultat que nous discutons, un produit infini trĂšs cĂ©lĂšbre pour 𝜋 connu sous le nom du produit Wallis, est en effet mathĂ©matique bien connu. Cependant, ce que nous prĂ©senterons est, Ă  notre connaissance, une preuve plus originale de ce rĂ©sultat.

Pour le contexte, aprĂšs avoir regardĂ© notre vidĂ©o sur le problĂšme de BĂąle, Sridhar, le nouveau membre de 3b1b dont certains d’entre vous se souviennent sĂ»rement de la vidĂ©o sur la couleur et les chiffres sinistres, eh bien, il a passĂ© un certain temps Ă  rĂ©flĂ©chir Ă  l’approche adoptĂ©e dans cette vidĂ©o ainsi qu’à penser au lien entre le problĂšme de BĂąle et le produit Wallis. Et il a trĂ©buchĂ© dans une nouvelle preuve de la relation entre le produit Wallis et 𝜋. Je veux dire, je laisserai ouverte la possibilitĂ© qu’un argument de ce style soit cachĂ© quelque part dans la littĂ©rature au-delĂ  de ce que nos recherches ont mis en place. Mais je peux au moins dire que cela a Ă©tĂ© trouvĂ© indĂ©pendamment. Et que s’il existe, il a fait un travail fantastique en se cachant du public. Alors sans plus tarder, plongeons dans les mathĂ©matiques.

ConsidĂ©rez le produit deux fois sur une fois quatre fois sur trois fois six fois sur cinq, et ainsi de suite. Eh bien, ce que nous faisons consiste Ă  inclure tous les nombres pairs en tant que numĂ©rateurs et les nombres impairs en tant que dĂ©nominateurs. Bien entendu, tous les facteurs ici sont plus importants qu’un. Ainsi, Ă  mesure que vous parcourez la sĂ©rie, en multipliant chaque nouveau facteur un par un, le rĂ©sultat ne cesse de grandir. En fait, il s’avĂšre qu’elle finit par dĂ©passer une limite finie. Donc, dans ce sens, ce n’est pas super intĂ©ressant. Ça explose Ă  l’infini.

Et maintenant, si vous dĂ©calez lĂ©gĂšrement les choses, si vous divisez par deux, divisĂ© par trois, par quatre, par cinq, par six, par sept, etc., tous ces facteurs sont infĂ©rieurs Ă  un. Donc, le rĂ©sultat devient de plus en plus petit. Et cette fois, la sĂ©rie se rapproche de zĂ©ro. Mais si on mĂ©langeait les deux ? Si vous regardiez deux fois plus une fois deux fois trois fois quatre fois sur quatre fois sur cinq, et ainsi de suite, oĂč les produits partiels continuent de monter, puis de baisser, puis de monter, puis de monter un peu puis un peu moins jusqu’à ce que tous ces sauts et ces chutes ne subissent presque aucun changement.

Alors maintenant, il doit converger vers une sorte de valeur finie positive. Mais quelle est cette valeur ? Croyez-le ou non, nous allons dĂ©couvrir que cela Ă©quivaut Ă  𝜋 divisĂ© par deux. Et pour comprendre le lien qui existe entre ce produit, apparemment sans rapport avec les cercles, et 𝜋, nous devrons procĂ©der Ă  une lĂ©gĂšre digression Ă  travers quelques outils gĂ©omĂ©triques. C’est une digression productive, car ce sont des idĂ©es utiles Ă  avoir dans votre ceinture d’outils de rĂ©solution de problĂšmes pour toutes sortes d’autres mathĂ©matiques. La configuration ici comprend un cercle avec de nombreux points diffĂ©rents uniformĂ©ment espacĂ©s, puis un point spĂ©cial supplĂ©mentaire.

Cela ressemble Ă  ce que nous avions dans la vidĂ©o sur le problĂšme de BĂąle, oĂč nous dĂ©crivions ces points espacĂ©s de maniĂšre uniforme comme des phares et considĂ©rions ce point spĂ©cial comme un observateur. À l’époque, la quantitĂ© qui nous importait consistait Ă  regarder la distance entre l’observateur et chaque phare, puis Ă  prendre le carrĂ© inverse de chacune de ces distances et Ă  les additionner. C’est pourquoi nous avions tout le rĂ©cit avec les phares, car la loi des carrĂ©s inverses donnait une trĂšs belle interprĂ©tation physique Ă  cette quantitĂ©. C’était la quantitĂ© totale de lumiĂšre reçue par cet observateur. Mais malgrĂ© cette belle interprĂ©tation physique, l’ajout de distances inversĂ©es au carrĂ© n’a rien de magique. C’est justement ce qui s’est avĂ©rĂ© utile pour rĂ©soudre ce problĂšme particulier.

Maintenant, pour aborder notre nouveau problĂšme de deux fois plus d’une fois, deux fois, trois fois, quatre fois, trois fois, quatre fois plus que cinq fois, etc., nous allons faire quelque chose de similaire, mais diffĂ©rent dans les dĂ©tails. Au lieu d’utiliser les distances inversĂ©es au carrĂ©, il suffit de regarder directement les distances elles-mĂȘmes. Et au lieu de les additionner, nous les multiplierons, donnant une quantitĂ© que je qualifierai de produit de distance pour l’observateur. Ça va ĂȘtre important. Et mĂȘme si ce produit de distance n’a plus une belle analogie physique, je veux quand mĂȘme vouloir l’illustrer avec des phares et un observateur car, eh bien, je ne sais pas, c’est joli. Et aussi, c’est juste plus amusant que des points gĂ©omĂ©triques abstraits.

Maintenant, pour cette preuve du produit Wallis, nous allons avoir besoin de deux faits essentiels sur ce produit de distance, deux petits lemmes. PremiĂšrement, si l’observateur est placĂ© Ă  mi-distance entre deux phares du cercle, ce produit de distance, ce que l’on obtient en multipliant ensemble la longueur de toutes ces lignes, est exactement Ă©gal Ă  deux, quel que soit le nombre de phares. Et deuxiĂšmement, si vous enlevez l’un de ces phares et mettez l’observateur Ă  sa place, la distance entre tous les phares restants correspond au nombre de phares par lequel vous avez commencĂ©. Encore une fois, peu importe le nombre de phares.

Et si ces deux faits semblent fous, je suis d’accord. Je veux dire, il n’est mĂȘme pas Ă©vident que le produit de distance ici devienne un entier dans les deux cas. Et aussi, il semble trĂšs difficile de calculer toutes les distances et de les multiplier ensemble comme ceci. Mais il s’avĂšre qu’il existe une astuce dans ce calcul compliquĂ© qui le rend assez simple. L’idĂ©e principale est que la propriĂ©tĂ© gĂ©omĂ©trique de ces points rĂ©guliĂšrement espacĂ©s autour d’un cercle correspond Ă  une trĂšs belle propriĂ©tĂ© algĂ©brique, si nous imaginons qu’il s’agit du cercle unitaire dans le plan complexe, chacun de ces phares Ă©tant situĂ© sur un nombre complexe spĂ©cifique.

Certains d’entre vous reconnaĂźtront peut-ĂȘtre ces racines de l’unitĂ©. Mais laissez-moi passer rapidement en revue cette idĂ©e au cas oĂč l’un de vous ne serait pas familier. Pensez au carrĂ© de l’un de ces nombres. Il a un module de 1, donc ça restera le mĂȘme. Mais l’angle qu’il fait avec l’horizontale va doubler. C’est ainsi que fonctionne la quadrature des nombres complexes. De la mĂȘme façon, ce nombre au cube va tripler l’angle qu’il fait avec l’horizontale. Et en gĂ©nĂ©ral, Ă©lever Ă  la puissance 𝑛 multiplie l’angle par 𝑛. Ainsi, par exemple, Ă  l’écran en ce moment, il y a sept points rĂ©guliĂšrement espacĂ©s autour du cercle unitĂ©, que je vais appeler 𝑙 zĂ©ro, 𝑙 un, 𝑙 deux, et ainsi de suite. Et ils sont pivotĂ©s de maniĂšre Ă  ce que 𝑙 zĂ©ro soit situĂ© au premier rang Ă  droite.

Donc, parce que l’angle que chacun d’entre eux fait avec l’horizontale est un multiple entier d’un septiĂšme de tour, le fait d’élever l’un de ces nombres Ă  la puissance sept vous fait tourner pour atterrir sur le nombre un. En d’autres termes, toutes les solutions de l’équation polynomiale đ‘„ au septiĂšme moins un sont Ă©gales Ă  zĂ©ro.

Mais d’autre part, nous pourrions construire un polynĂŽme qui a ces chiffres que les racines d’une maniĂšre totalement diffĂ©rente, en prenant đ‘„ moins 𝑙 zĂ©ro fois đ‘„ moins 𝑙 un, sur et et, jusqu’à đ‘„ moins 𝑙 six. Je veux dire, vous connectez n’importe lequel de ces nombres et ce produit devra ĂȘtre Ă©gal Ă  zĂ©ro. Et comme ces deux polynĂŽmes de degrĂ© sept ont les mĂȘmes sept racines distinctes et le mĂȘme terme principal, c’est juste đ‘„ Ă  la puissance sept dans les deux cas, ils sont en fait un seul et mĂȘme.

Maintenant, prenez un moment pour apprĂ©cier Ă  quel point c’est un fait merveilleux. Ce cĂŽtĂ© droit semble ĂȘtre un vĂ©ritable cauchemar pour l’expansion. Non seulement y a-t-il beaucoup de termes, mais noter exactement chacun de ces nombres complexes va nous mener Ă  un fouillis de sinus et de cosinus. Mais Ă  cause de la symĂ©trie de la structure, nous savons que lorsque toute la poussiĂšre algĂ©brique se sera dissipĂ©e, la situation deviendra plus simple, jusqu’à ĂȘtre đ‘„ puissance sept moins un. Tous les autres termes seront annulĂ©s. Et bien sĂ»r, il n’y a rien de spĂ©cial Ă  propos de sept ici. Si vous avez 𝑛 points uniformĂ©ment rĂ©partis autour d’un cercle comme celui-ci, ce sont les racines de đ‘„ puissance 𝑛 moins un Ă©gal Ă  zĂ©ro.

Et maintenant, vous verrez peut-ĂȘtre pourquoi cela donnerait une astuce simplificatrice pour calculer le produit de distance que nous avons dĂ©fini il y a un instant. Si vous considĂ©rez que l’observateur est un autre nombre complexe, pas nĂ©cessairement sur le cercle, et que vous branchez ce nombre pour đ‘„, le membre de droite vous donne un nouveau nombre complexe dont la magnitude est le produit des distances entre l’observateur et chaque phare. Mais regardez Ă  gauche, c’est un moyen beaucoup plus simple de comprendre en quoi ce produit va ĂȘtre simplifiĂ©. Étonnamment, cela signifie que si notre observateur est situĂ© dans le mĂȘme cercle que les phares, le nombre rĂ©el de phares, eh bien ce ne sera pas important. Ce n’est que la fraction du chemin entre les phares adjacents qui dĂ©crit notre observateur qui entrera en jeu.

Si cette fraction est 𝑓, alors observateur puissance 𝑛 place 𝑓 sur le chemin autour d’un cercle complet. Ainsi, le module du nombre complexe de l’observateur puissance 𝑛 moins un est la distance entre le nombre un et un point 𝑓 de la route autour du cercle unitĂ©. Par exemple, Ă  l’écran en ce moment, nous avons sept phares et l’observateur est situĂ© au tiers du chemin entre le premier et le second. Ainsi, lorsque vous augmentez le nombre complexe associĂ© Ă  cet observateur Ă  la septiĂšme puissance, ils se retrouvent au tiers du cercle complet. Ainsi, le module de l’observateur puissance sept moins un serait la longueur de cette corde ici, qui pour un tiers du cercle est d’environ 1.73.

Et rappelez-vous, cette valeur est remarquablement identique au produit de distance complet qui nous tient Ă  cƓur. Nous pourrions augmenter ou diminuer le nombre de phares. Et peu importe, tant que cet observateur est Ă  un tiers du chemin entre les phares, nous aurions toujours la longueur de cette mĂȘme corde que notre produit de distance. En gĂ©nĂ©ral, nous allons dĂ©finir une fonction spĂ©ciale pour nous-mĂȘmes, corde de 𝑓, ce qui signifiera pour toute fraction 𝑓, la longueur d’une corde correspondant Ă  cette fraction d’un cercle unitĂ©. Ainsi, par exemple, ce que nous venons de voir Ă©tait une corde d’un tiers. En fait, ce n’est pas si difficile de voir que des cordes de 𝑓 sont la mĂȘme chose que deux fois le sinus de 𝑓 sur deux fois deux 𝜋, ce qui est deux fois le sinus de 𝑓𝜋. Mais, il est parfois plus facile de penser juste comme corde de 𝑓. Le rĂ©sultat que nous venons de montrer est que, pour un observateur 𝑓 qui se trouve entre deux phares, le produit de la distance totale, aussi compliquĂ© que cela puisse paraĂźtre, correspond exactement Ă  la corde de 𝑓, quel que soit le nombre de phares.

Donc, en particulier, pensez Ă  une corde de moitiĂ©. C’est la distance entre deux points aux extrĂ©mitĂ©s opposĂ©es d’un cercle unitaire, qui est deux. Nous voyons donc que peu importe le nombre de phares rĂ©partis Ă©galement autour du cercle d’unitĂ©s, placer un observateur exactement Ă  mi-chemin du cercle entre deux d’entre eux donne un produit de distance de exactement deux. Et c’est notre premier fait clĂ©, alors rangez-le.

Pour le prochain fait important, imaginez que l’observateur se trouve directement sur l’un des phares. Bien sĂ»r, le produit de distance est zĂ©ro. Le phare de distance zĂ©ro finit par anĂ©antir tous les autres facteurs. Mais supposons que nous venions de nous dĂ©barrasser de ce phare gĂȘnant et de ne considĂ©rer que les contributions de tous les autres. Quel serait le produit Ă  distance ? Eh bien, maintenant au lieu de considĂ©rer l’observateur polynĂŽme Ă  la puissance 𝑛 moins un, ce qui a une racine Ă  toutes ces 𝑛 racines de l’unitĂ©, nous cherchons Ă  l’observateur polynomiale au 𝑛 moins un divisĂ© par observateur moins un, qui a racine Ă  toutes les racines de l’unitĂ© Ă  l’exception du nombre un lui-mĂȘme.

Et un peu d’algĂšbre montre que cette fraction est la mĂȘme chose que d’un observateur plus plus observateur au carrĂ©, sur et ainsi de suite, jusqu’à observateur puissance 𝑛 moins un. Et donc, si vous branchez un observateur Ă©quivaut Ă  un, puisque c’est le nombre sur lequel il est situĂ©, qu’obtenez-vous ? Tous les termes ici deviennent un. Cela correspond donc Ă  𝑛, ce qui signifie que le produit de la distance totale pour cette configuration est Ă©gal au nombre de phares d’origine. Cela dĂ©pend du nombre total de phares, mais de maniĂšre trĂšs simple. Je veux dire, pense Ă  ça. C’est incroyable ! Le produit de la distance totale qu’un observateur situĂ© Ă  l’un des phares reçoit de tous les autres phares est prĂ©cisĂ©ment 𝑛, oĂč 𝑛 est le nombre total de phares, y compris le phare ignorĂ©. C’est notre deuxiĂšme fait important.

Et d’ailleurs, prouver des faits gĂ©omĂ©triques avec des polynĂŽmes complexes comme celui-ci est assez courant en mathĂ©matiques. Et si vous montiez chez votre mathĂ©maticien local et que vous lui montriez ces deux faits ou d’autres faits similaires, ils reconnaĂźtront rapidement Ă  la fois que ces faits sont vrais et comment les prouver, en utilisant les mĂ©thodes que nous venons de montrer. Et maintenant, vous aussi. Alors, la prochaine, avec ces deux faits dans notre poche arriĂšre, nous allons voir comment les utiliser pour comprendre le produit qui nous intĂ©resse et comment elle se rapporte Ă  𝜋.

Prenez cette configuration avec 𝑛 phares uniformĂ©ment espacĂ©s autour d’un cercle d’unitĂ©s et imaginez deux observateurs distincts, ce que j’appellerai le gardien et le marin. Placez le gardien directement sur l’un des phares. Et placez le marin Ă  mi-chemin entre ce point et le prochain phare. L’idĂ©e ici sera d’examiner le produit de distance pour le gardien divisĂ© par le produit de distance pour le marin. Et ensuite, nous allons calculer ce rapport de deux maniĂšres diffĂ©rentes. DĂšs le premier constat, nous savons que le produit de la distance totale pour le marin est de deux. Et le produit de distance pour le gardien, eh bien, c’est zĂ©ro, puisqu’il se tient au-dessus d’un. Mais si nous nous sommes dĂ©barrassĂ©s de ce phare, puis par notre deuxiĂšme fait essentiel, le produit de la distance restante pour ce gardien est 𝑛.

Et bien sĂ»r, en nous dĂ©barrassant de ce phare, nous nous sommes Ă©galement dĂ©barrassĂ©s de sa contribution au produit de distance du marin. Donc, ce dĂ©nominateur doit maintenant ĂȘtre divisĂ© par la distance entre les deux observateurs. Et pour simplifier un peu, cela signifie que le rapport entre le produit de distance du gardien et le matelot est Ă©gal Ă  𝑛 fois la distance entre les deux observateurs, tous divisĂ©s par deux. Mais nous pourrions aussi calculer ce rapport de maniĂšre diffĂ©rente, en considĂ©rant chaque phare individuellement.

Pour chaque phare, rĂ©flĂ©chissez Ă  sa contribution au produit de distance du gardien, ce qui signifie simplement sa distance au gardien, divisĂ©e par sa contribution au produit de distance de ce marin, sa distance au marin. Et lorsque nous multiplions tous ces facteurs sur chaque phare, nous devons finalement obtenir le mĂȘme rapport, Ă  savoir 𝑛 fois la distance entre les observateurs, divisĂ©e par deux. Cela peut sembler un calcul extrĂȘmement compliquĂ©. Mais, Ă  mesure que 𝑛 s’agrandit, cela devient en rĂ©alitĂ© plus simple pour un phare particulier.

Par exemple, pensez au premier phare aprĂšs le gardien, dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. C’est un peu plus proche du marin que du gardien. Plus prĂ©cisĂ©ment, l’angle entre ce phare et le gardien est exactement le double de l’angle entre ce phare et le marin. Et ces angles ne sont pas exactement proportionnels Ă  ces distances en ligne droite. Mais comme 𝑛 devient plus grand, la correspondance est de mieux en mieux. Et pour un trĂšs grand 𝑛, la distance entre le phare et le gardien est presque deux fois plus grande que celle du marin.

Et de la mĂȘme maniĂšre, en regardant le deuxiĂšme phare aprĂšs le gardien, il a un rapport angle / gardien divisĂ© par angle / marin exactement Ă©gal Ă  quatre tiers, ce qui est presque identique Ă  la distance par rapport au gardien. divisĂ©e par le rapport distance / marin lorsque 𝑛 devient grand. Et ce troisiĂšme phare, 𝑙 trois, va contribuer une fraction qui se rapproche de plus en plus des six cinquiĂšmes alors que 𝑛 approche de l’infini. Maintenant, pour cette preuve, nous allons considĂ©rer tous les phares au bas du cercle un peu diffĂ©remment, c’est pourquoi je les ai Ă©numĂ©rĂ©s : moins un, moins deux, moins trois, etc.

Si vous regardez le premier phare avant le gardien, il a un rapport distance / gardien sur la distance au marin qui approche les deux tiers lorsque 𝑛 approche de l’infini. Et puis, le deuxiĂšme phare qui le prĂ©cĂšde, 𝑙 moins deux ici, contribue Ă  un rapport qui se rapproche de plus en plus des quatre cinquiĂšmes. Et le troisiĂšme phare, 𝑙 moins trois, contribue une fraction de plus en plus proche des six septiĂšmes, et ainsi de suite. En combinant tous les phares, nous obtenons le produit deux sur un fois deux sur trois fois quatre sur trois fois quatre sur cinq fois six sur cinq fois six sur sept, et ainsi de suite. C’est le produit que nous voulons Ă©tudier. Et dans ce contexte, chacun de ces termes reflĂšte ce que la contribution pour un phare particulier est lorsque 𝑛 tend vers l’infini.

Et quand je dis contribution, je veux dire la contribution Ă  ce rapport de au produit de la distance du marin du produit Ă  distance du gardien, que nous connaissons Ă  chaque Ă©tape doit ĂȘtre Ă©gale 𝑛 fois la distance entre les observateurs divisĂ© par deux. Alors, quelle est l’approche de la valeur lorsque 𝑛 approche de l’infini ? Eh bien, la distance entre les observateurs est Ă©gale Ă  la moitiĂ© d’un sur 𝑛 d’un tour complet du cercle. Et puisque c’est un cercle unitĂ©, sa circonfĂ©rence totale est deux 𝜋. Ainsi, la distance entre les observateurs approche 𝜋 divisĂ© par 𝑛. Et donc, 𝑛 fois cette distance divisĂ©e par deux approches 𝜋 divisĂ©e par deux. Donc lĂ  vous l’avez ! Notre produit, deux sur un fois deux sur trois fois quatre sur trois fois quatre sur cinq, et ainsi de suite, doit approcher 𝜋 divisĂ© par deux.

C’est un rĂ©sultat vraiment merveilleux. Et il s’agit du produit Wallis, du nom du mathĂ©maticien du 17Ăšme siĂšcle, John Wallis, qui dĂ©couvrit ce fait pour la premiĂšre fois de maniĂšre plus compliquĂ©e. Et aussi, petit dĂ©tail, c’est le mĂȘme gars qui a dĂ©couvert — ou plutĂŽt inventĂ© — le symbole de l’infini.

Et en fait, si vous revenez sur cet argument, nous avons tirĂ© un peu du tour de passe-passe en matiĂšre de formalitĂ© ici, que les plus sophistiquĂ©s mathĂ©matiquement auraient peut-ĂȘtre compris. Ce que nous avons ici est un tas de facteurs que nous avons connu ensemble pour obtenir multiplions 𝑛 fois la distance entre les observateurs divisĂ© par deux. Ensuite, nous avons examinĂ© la limite de chaque facteur individuellement comme si 𝑛 allait Ă  l’infini et avons conclu que le produit de tous ces termes limites devait ĂȘtre Ă©gal quelle que soit la limite de 𝑛 fois la distance entre les observateurs divisĂ©e par deux. Mais ce que cela suppose, c’est que le produit des limites est Ă©gal Ă  la limite des produits, mĂȘme lorsqu’il existe une infinitĂ© de facteurs.

Et ce genre de dĂ©placements de limites en arithmĂ©tique de l’infini, eh bien ce n’est pas toujours vrai. Ça tient souvent, mais ça Ă©choue parfois. Ici, permettez-moi de vous montrer un exemple simple d’un cas oĂč ce type de dĂ©placement de limites ne fonctionne pas rĂ©ellement. Nous avons donc une grille oĂč chaque rangĂ©e en contient un, puis sept. Donc, si vous preniez le produit infini de chaque rangĂ©e, vous n’en obtenez que sept pour chacune d’elles. Donc, puisque chacun de ces produits a sept ans, la limite des produits est Ă©galement de sept ans. Mais regardez ce qui se passe si vous prenez les limites en premier. Si vous regardez chaque colonne, la limite d’une colonne donnĂ©e sera une, car Ă  un moment donnĂ©, ce ne sont que des unitĂ©s.

Mais ensuite, si vous prenez le produit de ces limites, vous ne prenez que le produit de plusieurs. Vous pouvez donc obtenir une rĂ©ponse diffĂ©rente; Ă  savoir un. Heureusement, les mathĂ©maticiens ont passĂ© beaucoup de temps Ă  rĂ©flĂ©chir Ă  ce phĂ©nomĂšne. Et ils ont mis au point des outils permettant de dĂ©terminer rapidement certaines conditions dans lesquelles cet Ă©change de limites fonctionne rĂ©ellement. Dans ce cas, un rĂ©sultat standard particulier connu sous le nom de convergence dominĂ©e nous assure rapidement que l’argument que nous venons de montrer ira en toute transparence. Pour ceux d’entre vous qui sont intĂ©ressĂ©s, Sridhar a Ă©crit un post de blog supplĂ©mentaire Ă  cette vidĂ©o qui couvre ces dĂ©tails ainsi que beaucoup d’autres choses.

Et je devrais Ă©galement dire que nous devons ĂȘtre un peu prudents sur la façon d’interprĂ©ter un produit comme celui-ci. Rappelez-vous que nous avons des contributions des phares du gardien dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, ainsi que des phares du gardien dans le sens des aiguilles d’une montre. Et ce que nous avons fait Ă©tait de les entrelacer pour obtenir notre produit. Maintenant, les phares du gardien dans le sens antihoraire contribuent avec deux, un sur un, quatre sur trois, six sur cinq, et ainsi de suite. Et ceux dans le sens horaire du gardien contribuent avec deux sur trois, quatre sur cinq, six sur sept. Et comme je l’ai dĂ©jĂ  dit, si vous jouez avec ces sĂ©ries individuelles, vous constaterez que la premiĂšre devient de plus en plus grande et s’agrandit Ă  l’infini. Et le second devient de plus en plus petit, proche de zĂ©ro.

Il est donc assez dĂ©licat de donner un sens Ă  ce produit global en calculant les deux moitiĂ©s sĂ©parĂ©ment puis en les combinant. Et effectivement, nous verrons que si vous mĂ©langez ces deux moitiĂ©s diffĂ©remment, en prenant par exemple deux fois plus de facteurs de l’un pour l’autre, vous obtiendrez un rĂ©sultat diffĂ©rent pour l’ensemble du produit. Il est seulement quand vous spĂ©cifiquement les combiner dans celui-ci pour une, de façon que vous pouvez obtenir un produit qui converge vers 𝜋 sur deux. C’est quelque chose qui Ă©chappe Ă  la convergence dominĂ©e qui justifie que nous fassions la navette comme nous le faisions. Et encore une fois, pour plus de dĂ©tails, voir le post supplĂ©mentaire. Pourtant, ce ne sont que des dĂ©tails techniques. L’essentiel conceptuel de ce qui se passe ici est exactement ce que nous venons de montrer.

Et en fait, aprĂšs tout ce travail, il serait dommage de ne pas prendre un instant pour parler d’un autre rĂ©sultat qui ressort de cet argument. On peut dire que c’est la partie la plus cool de toute la preuve. Vous voyez, nous pouvons gĂ©nĂ©raliser toute cette discussion. Pensez Ă  quand nous avons dĂ©couvert notre premier fait essentiel, oĂč nous avons vu que vous ne pouviez pas considĂ©rer que placer le marin prĂ©cisĂ©ment Ă  mi-chemin entre les phares, mais toute fraction 𝑓 du chemin entre les phares adjacents. Dans ce contexte plus gĂ©nĂ©ral, le produit de distance pour le marin n’était pas nĂ©cessairement deux. Mais c’était une corde de 𝑓, oĂč 𝑓 est la fraction du chemin entre les phares.

Et si nous suivons le mĂȘme raisonnement que celui que nous venons de faire avec le marin Ă  cet endroit et que nous ne changeons rien, nous constatons que le rapport entre le produit de distance du gardien et le produit de distance du marin est maintenant Ă©gal Ă  𝑛 fois la distance entre divisĂ© par la corde de 𝑓, qui se rapproche 𝑓 fois deux 𝜋 divisĂ© par corde de 𝑓 lorsque 𝑛 devient plus grande. Et, de la mĂȘme maniĂšre que prĂ©cĂ©demment, vous pouvez Ă©galement calculer cela en prenant en compte les contributions de chaque phare. Si vous prenez le temps de nous en sortir, le 𝑘 e phare aprĂšs le gardien contribuera un facteur de 𝑘 divisĂ© par 𝑘 moins 𝑓 Ă  ce rapport. Et tous les phares avant le gardien, ils contribuent la mĂȘme chose. Mais vous avez juste de donner des valeurs nĂ©gatives pour 𝑘.

Si vous combinez tous ces contributions sur tous les entiers non nuls 𝑘, oĂč de la mĂȘme maniĂšre qu’auparavant vous devez faire attention Ă  la façon dont vous regroupez les termes positifs et nĂ©gatifs 𝑘 ensemble, ce que vous obtenez est que le produit de 𝑘 divisĂ© par 𝑘 moins 𝑓 sur tous les entiers non nuls 𝑘 va ĂȘtre Ă©gal Ă  𝑓 fois deux 𝜋 divisĂ© par corde de 𝑓. Autrement dit, Ă©tant donnĂ© que la corde de 𝑓 est deux fois le sinus de 𝑓𝜋, ce produit est le mĂȘme que 𝑓 fois deux 𝜋 divisĂ© par deux fois sinus de 𝑓𝜋, qui est 𝑓𝜋 sur sinus de 𝑓𝜋.

Maintenant, en rĂ©Ă©crivant un peu plus, vous obtenez un fait assez intĂ©ressant. Sinus de 𝑓 fois 𝜋 est Ă©gal Ă  𝑓𝜋 fois ce produit vraiment grand, le produit d’un moins 𝑓 sur 𝑘 sur tous les entiers non nuls 𝑘. Donc, ce que nous avons trouvĂ© est un moyen d’exprimer sinus de đ‘„ comme un produit infini, ce qui est vraiment cool si vous pensez Ă  ce sujet. Donc, non seulement cette preuve nous donne le produit Wallis, qui est incroyable en soi, mais elle gĂ©nĂ©ralise Ă©galement pour nous donner la formule du produit pour le sinus. Et ce qui est intĂ©ressant, c’est qu’il est liĂ© Ă  la maniĂšre dont Euler a initialement rĂ©solu le problĂšme de BĂąle, somme que nous avons vue dans la vidĂ©o prĂ©cĂ©dente. Il regardait ce produit trĂšs infini pour sine. Je veux dire, la connexion de ces formules pour 𝜋 Ă  des cercles est une chose, mais les relier les uns aux autres est tout autre chose.

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