Vidéo de la leçon: Inéquations en une seule étape : multiplication et division Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre les inéquations du premier degré en une seule étape en utilisant la multiplication ou la division. Une inéquation est une expression mathématique qui contient l’un des symboles suivants. Strictement supérieur, strictement inférieur, supérieur ou égal à, ou inférieur ou égal à. Ces symboles nous indiquent qu’un côté de la phrase mathématique est plus grand que l’autre. Dans une équation, les deux côtés sont égaux. Et dans une inéquation, un côté est plus grand que l’autre.

Une inéquation peut avoir une variable comme celle-ci. Trois fois 𝑥 est strictement inférieur à 15. Nous voulons donc savoir comment résoudre pour cette variable manquante. Pour le savoir, revoyons la balance que nous avons vue sur l’écran d’ouverture.

Si nous avons l’inéquation trois fois 𝑥 est strictement inférieur à 15 sur une balance, le côté des trois 𝑥s serait plus léger que celui du 15. Trois valeurs inconnues sont strictement inférieures à 15. Et si trois valeurs inconnues sont strictement inférieures à 15, alors une valeur inconnue serait inférieure à quoi ?

Eh bien, pour passer de trois valeurs inconnues à une valeur inconnue, on divise par trois. Mais tout comme pour une équation, si nous divisons par trois d’un côté, alors nous devons diviser par trois de l’autre côté. 15 divisé par trois, c’est cinq. Et donc nous disons que si trois valeurs inconnues sont strictement inférieures à 15, une valeur inconnue doit être strictement inférieure à cinq. Sur notre balance, nous pouvons montrer que 15 est égal à trois cinq. Et si nous enlevons deux des 𝑥s et deux des cinq, la balance restera à la même position.

Écrivons donc mathématiquement ce qui s’est passé. Nous divisons les deux côtés par trois. Trois 𝑥 divisé par trois égale 𝑥. Et 15 divisé par trois égale cinq. Nous avons trouvé que 𝑥 est strictement inférieur à cinq. Et cela signifie que nous avons résolu l’inéquation. Résoudre l’inéquation, c’est trouver les valeurs de 𝑥 qui rendent l’inéquation réelle, ce qui est un processus similaire à la résolution d’équations. Voyons un autre exemple.

Résolvez l’inéquation suivante. Moins deux est supérieur ou égal à 𝑥 sur 0.8. Dans cette inéquation, à gauche, nous avons moins deux. Et cette valeur doit être supérieure ou égale à 𝑥 sur 0.8. Une autre façon de montrer cela serait de diviser 𝑥 par 0.8.

Notre objectif est de résoudre cette inéquation. Il faut trouver une valeur ou des valeurs qui vérifient l’inéquation. Et pour ce faire, il faut isoler 𝑥. Comme à droite nous avons 𝑥 divisé par une valeur, pour isoler 𝑥, nous avons besoin de la réciproque. Il faut faire l’inverse. L’inverse de la division par 0.8 est la multiplication par 0.8. Et si nous multiplions le côté droit par 0.8, alors nous devons multiplier le côté gauche par 0.8. 0.8 fois moins deux est moins 1.6.

Maintenant, 𝑥 divisé par 0.8 fois 0.8 serait égal à 𝑥 fois un. Diviser par 0.8 fois 0.8 donne un. Et 𝑥 fois un égale 𝑥. Nous faisons descendre notre symbole d’inéquation. Et nous trouvons que moins 1.6 est supérieur ou égal à 𝑥.

Cependant, ce n’est pas une façon très courante d’écrire les inéquations. Si nous voulons l’inverser, nous pouvons mettre le 𝑥 à gauche. Mais pour ce faire, nous devons inverser le signe. Une façon de vérifier est de voir si la pointe de la flèche est dans la même direction. Elle pointait vers le 𝑥. Elle doit donc continuer à pointer vers le 𝑥. Et ensuite, faites descendre moins 1.6. Il est tout à fait correct de dire que moins 1.6 est supérieur ou égal à 𝑥. Mais la notation la plus courante est que 𝑥 est inférieur ou égal à moins 1.6.

Dans les deux exemples précédents, nous avons déjà utilisé des règles de multiplication et de division pour les inéquations. Mais à ce point, il pourrait être utile de les écrire pour que nous puissions voir ce qui se passe. Une inéquation reste vraie lorsque les deux côtés de l’inéquation sont multipliés ou divisés par le même nombre positif.

Dans les deux exemples précédents que nous avons vus, nous avons divisé ou multiplié les deux côtés de l’équation par un nombre positif. Ainsi, si 𝑎 est strictement inférieur à 𝑏 et 𝑐 est strictement supérieur à zéro, si 𝑐 est positif, alors 𝑎 fois 𝑐 est toujours strictement inférieur à 𝑏 fois 𝑐. Et 𝑎 divisé par 𝑐 est strictement inférieur à 𝑏 divisé par 𝑐. Sur une balance qui ressemblerait à ceci, si 𝑎 est strictement inférieur à 𝑏, alors 𝑎 fois 𝑐 sera strictement inférieur à 𝑏 fois 𝑐. Et 𝑎 divisé par 𝑐 sera strictement inférieur à 𝑏 divisé par 𝑐.

N’oubliez pas que cela se fait à condition que 𝑐 soit positif. Alors comment multiplier par un nombre négatif ? Eh bien, multiplier un nombre ou diviser un nombre par une valeur négative ne peut être représenté par une balance parce que nous n’aurions jamais de poids négatifs. Donc, pour envisager une inéquation où il faudrait multiplier ou diviser par un nombre négatif afin de la résoudre, nous allons en fait regarder une droite numérique.

Considérons l’inéquation 𝑥 est supérieur ou égal à deux. Sur une droite numérique, cela signifierait un cercle rempli au-dessus du deux et la flèche pointant vers la droite. 𝑥 peut être égal à deux ou tout ce qui est supérieur à deux. Maintenant, quel serait l’opposé de 𝑥 ici ? Moins 𝑥. Si 𝑥 est supérieur ou égal à deux et que l’opposé de 𝑥 est moins 𝑥. Nous savons également que l’opposé d’un nombre se trouve sur la droite numérique à la même distance de zéro mais de l’autre côté. 𝑥 est supérieur ou égal à deux commence à deux places à droite de zéro. Son opposé commencerait à deux places à gauche de zéro. Et sa flèche pointerait vers la gauche. Les opposés sont les miroirs l’un de l’autre sur une droite numérique.

Et comment écrire ce qui est représenté par cette inéquation orange ? Elle devrait montrer que 𝑥 est inférieur ou égal à moins deux. Voyons ce qui arrive à nos inéquations lorsque nous faisons cela.

Pour trouver le contraire de 𝑥, nous l’avons multiplié par moins un. Et comme nous avons multiplié un côté de l’inéquation par moins un, nous l’avons fait de l’autre côté. Et nous avons fait une étape de plus. Nous avons inversé le symbole de l’inéquation. C’est ainsi que nous avons obtenu cette règle. Lorsque les deux côtés d’une inéquation sont multipliés ou divisés par le même nombre négatif, alors le symbole d’inéquation doit changer d’orientation pour que l’inéquation reste vraie. Et cela signifie que si 𝑎 est strictement inférieur à 𝑏 et que 𝑐 égale la valeur absolue de moins 𝑐. C’est juste une façon de dire que 𝑐 est négatif. Alors 𝑎 multiplié par cette valeur négative sera strictement supérieur à 𝑏 multiplié par cette valeur négative. Les signes ont changé. Et il en serait de même pour la division. Essayons un exemple de ce type.

Laquelle des inéquations suivantes équivaut à moins quatre 𝑥 est inférieur ou égal à moins un ? A) 𝑥 égale un quart. B) 𝑥 est supérieur ou égal à un quart. C) 𝑥 est supérieur ou égal à quatre. D) 𝑥 est inférieur ou égal à un quart. Ou E) 𝑥 est strictement inférieur à un quart.

Notre inéquation est moins quatre 𝑥 est inférieur ou égal à moins un. Et nous voulons réarranger cette équation de sorte que seul 𝑥 se trouve du côté gauche. Actuellement, 𝑥 est multiplié par moins quatre. Pour isoler 𝑥, nous devrons faire l’inverse. Nous devrons diviser par moins quatre. Mais si nous faisons cela à gauche, nous savons que nous devons le faire à droite.

Et tout d’un coup, nous devrions penser que nous divisons par moins un et que nous travaillons avec des inéquations. Et cela signifie que pour que cette inéquation reste vraie, il faut inverser le signe. Moins quatre 𝑥 divisé par moins quatre égale 𝑥. Et moins un divisé par moins quatre égale un quart. Et cela signifie qu’une inéquation équivalente serait 𝑥 est supérieur ou égal à un quart, qui est l’option B.

Nous pouvons vérifier et voir si cela est vrai. Nous venons de dire que 𝑥 peut être tout ce qui est supérieur ou égal à un quart. Nous savons que un est supérieur ou égal à un quart. Donc, si nous prenons notre inéquation initiale, moins quatre 𝑥 inférieur ou égale à moins un, et que nous substituons avec un, nous devrions obtenir une affirmation correcte. Est-ce que moins quatre est inférieur à moins un ? Oui, c’est vrai, ce qui signifie que un est une solution correcte pour 𝑥.

Lorsque nous travaillons sur des inéquations, je vous recommande de vérifier vos solutions, car que faire si vous avez oublié d’inverser le signe ? Si vous aviez oublié, vous obtiendriez 𝑥 est inférieur ou égal à un quart. Si vous aviez fait cela, vous auriez pu choisir quelque chose comme moins un pour vérifier votre solution. Moins un est inférieur à un quart. Mais quand vous substituez avec, moins quatre fois moins un égale quatre. Et quatre n’est pas inférieur à moins un, ce qui vous aurait indiqué que vous avez fait une faute. Et vous devez revenir en arrière et vérifier. Dans ce cas, 𝑥 doit être supérieur ou égal à un quart, ce qui est l’option B.

Voici un autre exemple similaire.

Réécrivez 𝑥 sur six est strictement inférieur à moins deux de sorte que seul 𝑥 apparaisse au côté gauche.

Nous avons 𝑥 sur six est strictement inférieur à moins deux. Avant d’avancer, il est vraiment utile de réfléchir à la manière dont nous multiplions et divisons les inéquations. Lorsque nous multiplions ou divisons avec des valeurs positives, les signes restent les mêmes. Et nous faisons la même opération des deux côtés. Lorsque nous multiplions ou divisons avec des valeurs négatives, le signe est inversé. Et on multiplie ou on divise par la même valeur de chaque côté.

Nous essayons d’isoler 𝑥 au côté gauche. Actuellement, sur la gauche, il y a 𝑥 divisé par six. Et pour se débarrasser de 𝑥 divisé par six, il faut multiplier par six. Six est une valeur positive, ce qui signifie que notre signe ne changera pas. Mais nous devrons toujours multiplier par la même valeur des deux côtés. 𝑥 divisé par six fois six égale 𝑥. Et moins deux fois six égale moins 12. Nous voyons donc que 𝑥 est strictement inférieur à moins 12.

Si nous voulions représenter cela sur notre droite numérique, nous aurions un cercle ouvert. Et la flèche pointerait vers la gauche. Si nous voulons vérifier si c’est vrai, nous pouvons introduire une valeur strictement inférieure à moins 12 dans l’inéquation initiale. Je vais choisir moins 18. Je sais que moins 18 est inférieur à moins 12, et qu’elle est divisible par six. Moins 18 divisé par six, c’est moins trois. C’est vrai que moins trois est strictement inférieur à moins deux, ce qui confirme que 𝑥 est strictement inférieur à moins 12.

Dans cet exemple, nous devrons d’abord écrire notre inéquation avant de la résoudre.

Écrivez une inéquation pour décrire ce qui suit, puis résolvez-la. Moins cinq fois un certain nombre est égal au moins à moins 45.

Nous allons commencer par écrire l’inéquation. Nous avons moins cinq multiplié par un certain nombre, que nous allons représenter avec la variable 𝑥, est égal au moins à moins 45. Nous savons qu’à l’autre côté il y aura moins 45. Mais quel symbole représente « au moins » ?

Nous devons nous demander si cela pourrait être plus que, égal ou moins que. « Au moins » signifie qu’il pourrait être égal, mais il ne pourrait pas être inférieur. « Au moins » pourrait aussi signifier plus que. Donc c’est égal ou supérieur à. Et mathématiquement, nous représenterions cela par le symbole supérieur ou égal à. Si moins cinq fois un nombre est égale au moins à moins 45, alors moins cinq 𝑥 est supérieur ou égal à moins 45.

C’est la première partie du problème, mais il faut maintenant essayer de résoudre pour 𝑥. Comme c’est une inéquation, nous devrions immédiatement nous rendre compte que si nous multiplions et divisons par des valeurs positives, le signe reste le même. Mais si nous multiplions ou divisons par un nombre négatif, nous devons inverser le signe. 𝑥 est multiplié par moins cinq. Et pour isoler 𝑥, pour résoudre 𝑥, nous devons diviser les deux côtés de l’équation par moins cinq. Puisque nous divisons par un nombre négatif, nous devons inverser le symbole de l’inéquation. Moins cinq 𝑥 divisé par moins cinq équivaut à 𝑥. Le signe est inversé. Et moins 45 divisé par moins cinq donne neuf. Moins cinq 𝑥 est supérieur ou égal à moins 45. Et cela signifie que 𝑥 est inférieur ou égal à neuf.

Dans cet exemple, 𝑥 appartient à l’ensemble des nombres naturels. Voyons comment cela affecte notre solution.

Étant donné que 𝑥 appartient à l’ensemble des nombres naturels, déterminez l’ensemble solution de l’inéquation moins 𝑥 est strictement supérieur à moins 132.

Nous rappelons que ce symbole qui ressemble à un N désigne les nombres naturels, qui sont des entiers positifs. Si 𝑥 appartient à l’ensemble des nombres naturels, alors il ne peut être ni négatif ni fractionnaire. Il doit être un entier positif. Si moins 𝑥 est strictement supérieur à moins 132, alors comment peut-on trouver 𝑥 ?

Si nous multiplions moins 𝑥 par moins un, nous obtiendrons 𝑥. Mais en multipliant ou en divisant avec des inéquations, nous devons nous rappeler que lorsque nous multiplions ou divisons par des nombres négatifs, il faut inverser le signe. Cela signifie que nous multiplierions les deux côtés de l’inéquation par moins un. Moins 132 multiplié par moins un est 132. Et nous inverserions alors l’inéquation.

Nous avons maintenant quelque chose qui dit que 𝑥 est strictement inférieur à 132. Mais nous savons aussi que 𝑥 appartient à l’ensemble des nombres naturels. Cela signifie donc que nous devons d’abord utiliser la notation des ensembles, les accolades. Et deuxièmement, nous ne nous intéressons qu’aux entiers strictement inférieurs à 132. 𝑥 ne peut pas être négatif, ni compris entre des entiers.

La plus petite valeur que 𝑥 pourrait avoir serait zéro. Elle serait ensuite un, deux, trois, ainsi de suite. On peut utiliser une ellipse pour représenter cela. Et la plus grande valeur que 𝑥 peut prendre est 131. Il faut faire très attention ici. Ce n’est pas parce qu’il y a 132 ici que 𝑥 peut être égal à 132. 𝑥 est strictement inférieur à cette valeur. Et donc le plus grand nombre entier qui est strictement inférieur à 132 est 131. Dans ces conditions, 𝑥 peut être tous les entiers positifs entre zéro et 131.

Nous pouvons résumer en deux points essentiels. Une inéquation reste vraie lorsque les deux côtés de l’inéquation sont multipliés ou divisés par le même nombre positif. Lorsque les deux côtés d’une inéquation sont multipliés ou divisés par le même nombre négatif. Le symbole de l’inéquation doit alors changer d’orientation pour que l’inéquation reste vraie.