Vidéo de la leçon: Vecteurs unitaires

Transcription de la vidéo

Nous savons déjà qu’un vecteur est un ensemble de nombres qui peuvent être représentés dans un espace approprié par un segment de droite avec une longueur et une direction spécifiques. Nous pouvons les utiliser pour représenter des forces ou la vitesse ou toute autre chose qui a une quantité et une direction spécifique qui lui sont associées.

Dans cette vidéo, nous allons regarder le concept de vecteurs unitaires, qui sont essentiellement des segments de droite de longueur unité pointant dans une direction spécifique. Ici, nous avons le vecteur 𝐴𝐵, qui est quatre, trois. Cela signifie que le voyage de 𝐴 à 𝐵 implique un mouvement de plus quatre dans la direction 𝑥 et de plus trois dans la direction 𝑦. C’est donc de là que viennent ces nombres.

Donc, ce que nous avons fini ici est un triangle rectangle parce que l’axe des 𝑥 et l’axe des 𝑦 sont orthogonaux, donc cet angle ici est de quatre-vingt-dix degrés. Nous avons donc un petit triangle et nous voulons vraiment calculer la longueur de ce vecteur ici, 𝐴𝐵, à côté, nous allons donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer cette longueur, l’hypoténuse de ce triangle.

Donc, un peu de terminologie, nous allons calculer la norme de 𝐴𝐵 ; c’est-à-dire la longueur du vecteur 𝐴𝐵. Et la notation que nous allons utiliser pour la norme du vecteur 𝐴𝐵 est ces droites verticales ici, de sorte que la notation est standard. Donc, en écrivant le théorème de Pythagore, la norme de 𝐴𝐵 le tout au carré, donc la longueur de l’hypoténuse ici le tout au carré, est égale à la somme des carrés de l’autre côté.

Donc 𝐴𝐵, la norme de 𝐴𝐵 au carré est égale à quatre au carré plus trois au carré. Et quatre au carré est 16 ; trois au carré est neuf ; ajoutez ces deux ensemble, nous obtenons 25. Donc, la norme de 𝐴𝐵 au carré est 25. Donc, si je prends maintenant les racines carrées des deux côtés, cela me laisse avec la norme de 𝐴𝐵 égale la racine carrée de 25, qui est cinq. Nous venons donc de comprendre que la longueur du vecteur 𝐴𝐵 est de cinq unités.

Donc, si je voulais générer un vecteur unitaire dans la même direction que le vecteur 𝐴𝐵, je peux prendre le vecteur 𝐴𝐵 et le diviser simplement par la longueur de lui-même. Et la longueur en elle-même est la norme du vecteur, nous avons donc le vecteur 𝐴𝐵 divisé par la norme du vecteur 𝐴𝐵, et nous venons de calculer cinq. Donc, le vecteur unitaire dans la direction de 𝐴𝐵 est le vecteur 𝐴𝐵 divisé par cinq.

Maintenant, cela signifie que nous devons prendre la composante 𝑥 et le diviser par cinq, et nous devons prendre la composante 𝑦 et le diviser par cinq. La composante 𝑥 était de quatre ; la composante 𝑦 était de trois. Donc, le vecteur unitaire dans la direction de 𝐴𝐵 est cette chose ici : les quatre cinquièmes sont la composante 𝑥 ; les trois cinquièmes sont la composante 𝑦. Cela aura une longueur unité.

Donc, ce vecteur rouge ici, allant d’ici à là, est le vecteur unitaire dans la direction 𝐴𝐵. C’est un cinquième de la longueur du vecteur 𝐴𝐵. C’est un vecteur qui a une composante 𝑥 de quatre cinquièmes et une composante 𝑦 de trois cinquièmes. Évidemment, je n’ai pas dessiné cela très précisément ici, mais c’est essentiellement à quoi ressemblerait le vecteur. Donc, le vecteur unitaire dans la direction 𝐴𝐵, si 𝐴𝐵 était quatre, trois, est fondamentalement un vecteur qui commence à 𝐴 et a une longueur de un, mais va dans la même direction que 𝐴𝐵.

Donc, dans ce cas, nous nous sommes retrouvés avec des vecteurs quatre cinquièmes, trois cinquièmes. Alors vérifions simplement qu’en fait la longueur de ce côté ici est un. Nous pouvons donc refaire le théorème de Pythagore. Donc, cette longueur au carré est de quatre cinquièmes au carré plus les trois cinquièmes au carré, ce qui correspond à seize vingt-cinquièmes plus neuf vingt-cinquièmes, soit vingt-cinq sur vingt-cinq qui est un. Donc, si je prends la racine carrée de cela, cela me donnera la longueur réelle, et la racine carrée de un est égale à un. Cette longueur est donc égale à un. C’est là que l’idée de vecteur unitaire entre en jeu.

Voici donc la méthode en général, puis nous examinerons plus d’exemples par la suite pour vous assurer que vous la comprenez. Disons donc que nous avons un vecteur appelé 𝑉, qui a une composante 𝑥 égale à a et une composante 𝑦 égale à 𝑏. Alors le vecteur unitaire dans la direction du vecteur 𝑉 est le vecteur 𝑉 divisé par la norme du vecteur 𝑉. Donc, quelle que soit la longueur de 𝑉, si je divise cette longueur par elle-même, je vais obtenir un. Donc, ce petit bout force la longueur de ce vecteur unitaire à avoir une norme de un.

Et évidemment, ça va toujours être dans la même direction ; les composantes 𝑥 et 𝑦 seront dans la même proportion que le vecteur d’origine, il va donc se diriger dans la même direction. Donc, pour déterminer la composante 𝑥, j’ai la 𝑥 composante originale, 𝐴, et je la divise par la valeur absolue de la racine carrée de 𝐴 au carré plus 𝐵 au carré, du théorème de Pythagore. Et pour calculer la composante 𝑦 en conséquence, je prends la composante 𝑦 originale et je divise cela par la norme du vecteur, la racine carrée de 𝐴 au carré plus 𝐵 au carré. Ça va me donner mon vecteur unitaire dans la direction du vecteur 𝑉. Maintenant, cela peut sembler un peu intimidant lorsque vous écrivez tout comme ça, mais c’est en fait très facile à appliquer. Voyons donc un exemple.

Nous avons donc obtenu le vecteur unitaire dans la direction 𝐴𝐵, où 𝐴𝐵 est le vecteur cinq, moins six. Donc la première chose que je vais faire est un petit croquis pour que cela soit clair dans ma tête. Donc, il ne doit pas être un diagramme précis à cent pour cent, mais un croquis ici vous donne une sorte d’avant-goût de ce qui se passe. Nous avons donc le vecteur 𝐴𝐵 ; nous allons plus cinq dans la direction 𝑥, moins six dans la direction 𝑦.

La première chose que nous devons faire est de calculer la longueur de ce vecteur 𝐴𝐵 ici. Et puis, si nous divisons ce vecteur par cette longueur, cela va créer un petit vecteur ici, qui commence à 𝐴, qui va dans cette direction, la même direction que 𝐴𝐵, mais il n’aura qu’une longueur égale à un.

J’ai donc un triangle rectangle. Donc, en utilisant le théorème de Pythagore, la norme de 𝐴𝐵, la longueur égale à un vecteur 𝐴𝐵, le tout au carré est égal à la composante 𝑥 au carré, c’est-à-dire cinq au carré, plus la composante 𝑦 au carré, c’est-à-dire moins six au carré. Donc, cinq au carré, c’est 25, moins six au carré, c’est 36. Donc, nous les additionnons ensemble, nous obtenons 61.

Rappelez-vous maintenant que c’était la norme au carré. Donc, en prenant les racines carrées des deux côtés, j’ai la norme du vecteur 𝐴𝐵 est égale à la racine carrée de 61. Nous n’avons pas de « bons » nombres cette fois, nous allons donc laisser cela dans ce format précis, racine 61. Et je peux l’utiliser pour déterminer quel est mon vecteur unitaire dans la direction de 𝐴𝐵. N’oubliez pas que ce serait le vecteur d’origine 𝐴𝐵 divisé par la norme de ce vecteur.

Notre vecteur d’origine était donc cinq, moins six. Et nous devons maintenant diviser chaque composante par la norme du vecteur. Donc cinq divisé par la racine carrée de 61 et moins six divisé par la racine carrée de 61. Et c’est tout. Ce vecteur ici — cinq sur la racine 61, moins six sur la racine 61 — a une longueur égale à un. Et les composantes 𝑥 et 𝑦 sont dans la même proportion que le vecteur d’origine 𝐴𝐵. En d’autres termes, il pointe exactement dans la même direction, c’est donc le vecteur unitaire dans la direction 𝐴𝐵.

D’accord, posons encore une question.

Trouvez le vecteur unitaire dans la direction de 𝑃𝑄. Donc la différence ici est qu’on nous a donné le point 𝑃, on nous a donné le point 𝑄, et nous devons calculer ce que va être le vecteur.

La première chose à faire est donc d’esquisser notre vecteur 𝑃𝑄, donc il va dans cette direction là, et nous devons déterminer ce qu’est le vecteur original 𝑃𝑄. Donc, dans la direction 𝑥, nous commençons avec une coordonnée 𝑥 de trois, et nous descendons à une coordonnée 𝑥 de moins cinq. Nous allons donc trois ici plus cinq ici. C’est moins huit dans la direction 𝑥. Dans la direction 𝑦, nous partons de moins quatre et nous nous déplaçons. Nous allons donc de quatre par ici, puis un autre par ici, donc c’est plus cinq dans la direction 𝑦.

Donc, juste pour résumer, 𝑃𝑄 est moins huit, cinq. Et maintenant, nous pouvons aborder cela comme nous l’avons fait à la question précédente : utilisez ce triangle, appliquez le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur du vecteur 𝑃𝑄 et divisez le vecteur 𝑃𝑄 par cette longueur. Ainsi, la norme de 𝑃𝑄 au carré est moins huit au carré plus cinq au carré, ce qui est de 64 plus 25. Donc, rappelez-vous que c’est 𝑃𝑄 au carré ; la norme de 𝑃𝑄 au carré est égale à 89.

Donc, en prenant la racine carrée des deux côtés, et nous nous sommes retrouvés avec un autre nombre horrible, donc la norme de 𝑃𝑄 est la racine carrée de 89. Je vais donc passer en revue, diviser les composantes de 𝑃𝑄 par la racine 89. Et le vecteur unitaire dans la direction 𝑃𝑄 est simplement le vecteur d’origine 𝑃𝑄 divisé par la longueur de lui-même, donc c’est moins huit est la composante 𝑥 divisé par la racine 89, et cinq était la composante 𝑦, et divisez-le également par la racine 89.

Et voilà, le vecteur unitaire dans la direction 𝑃𝑄.

Nous avons donc de belles astuces que nous pouvons utiliser maintenant, mais pourquoi utilisons-nous des vecteurs unitaires en premier lieu ? Eh bien, ils encapsulent les informations sur la direction, mais leur longueur n’est que un. Ils sont comme des descripteurs de direction prêts à l’emploi que vous pouvez multiplier par un nombre pour indiquer aux gens jusqu’où aller dans cette direction. Et il s’avère également qu’ils sont utiles pour trouver l’angle entre deux vecteurs différents, mais c’est une histoire pour un autre jour.

D’accord, nous ne pouvons pas y résister. Faisons juste un exemple de plus sur les vecteurs unitaires.

Maintenant, vous vous souvenez peut-être, ou j’espère que vous vous en souvenez, que nous avons des vecteurs spéciaux 𝑖 et 𝑗, qui sont des vecteurs unitaires dans la direction de l’axe des 𝑥 positif et de l’axe des 𝑦 positif. Donc 𝑖 va vers la droite, et 𝑗 va vers le haut. Donc 𝑖 est un, zéro et 𝑗 est zéro, un. Donc, si nous avons ce vecteur ici deux 𝑖 moins trois 𝑗, ce ne sont que deux de ces 𝑖 enchaînés, suivis du moins trois des 𝑗 enchaînés.

En d’autres termes, c’est deux dans la direction 𝑥 et moins trois dans la direction 𝑦, mais nous ne va vous inquiétez pas trop sur ce format pour cette question parce que nous allons le faire en fonction des vecteurs unitaires de 𝑖 et 𝑗. Maintenant, bien que nous ayons des 𝑖 et 𝑗 des all partout, le processus est exactement ce que nous venons de faire auparavant. Nous voulons donc déterminer la norme du vecteur. Et pour ce faire, nous allons utiliser le théorème de Pythagore.

Maintenant deux, plus deux, est la composante 𝑥 et moins trois est la composante 𝑦. Nous pouvons donc simplement écrire que la norme de ce vecteur deux 𝑖 moins trois 𝑗 le tout au carré est égale à la somme des carrés de l’autre côté du triangle. Donc, c’est deux au carré plus moins trois au carré, ce qui est évidemment quatre plus neuf, ce qui est 13. Donc rappelez-vous que c’était la norme au carré, donc en prenant des racines carrées des deux côtés, la norme de cette droite est la racine carrée de 13.

Et encore une fois, tout ce que nous devons faire pour travailler le vecteur unitaire dans cette direction est diviser chacune de ces composantes, les composantes 𝑥 et 𝑦, par la norme du vecteur résultant, ce qui était la racine 13. Ainsi, deux divisé par racine 13𝑖 et moins trois divisé par racine 13𝑗.

Donc, même dans le format 𝑖, 𝑗 de nos vecteurs, le processus est toujours le même. Pour déterminer le vecteur unitaire dans la direction d’un vecteur particulier, nous prenons ce vecteur et nous divisons par la norme du vecteur. Nous divisons fondamentalement chacune des composantes tour à tour par la norme du vecteur d’origine, que nous utilisons pour calculer le théorème de Pythagore. J’espère donc que cela vous donne un aperçu de base des vecteurs unitaires.