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Vidéo de question : Utilisation des propriétés des déterminants pour évaluer la somme de deux déterminants Mathématiques

Utilisez les propriétés des déterminants pour évaluer [−4, 5, 13 et 2, 6, −2 et 5, 14, −1] + [−4, −13, 13 et 2, -2, -2 et 5, - 4, -1].

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Transcription de vidéo

Utilisez les propriétés des déterminants pour évaluer la somme du déterminant de la matrice d’éléments moins quatre, cinq, 13, deux, six, moins deux, cinq, 14, moins un et du déterminant de la matrice d’éléments moins quatre, moins 13, 13, deux, moins deux, moins deux et cinq, moins quatre, moins un.

On nous donne une somme impliquant les déterminants de deux matrices carrées trois par trois. Et pour évaluer cette somme, nous rappelons une propriété des déterminants qui nous dit que si deux déterminants diffèrent d’une seule colonne, nous pouvons additionner les déterminants en additionnant simplement ces deux colonnes. Les matrices présentées ont des premières colonnes différentes ; leurs deuxièmes et troisièmes colonnes sont cependant les mêmes. Et donc la somme de leurs déterminants est le déterminant de la matrice dont la première colonne est la somme de leurs deux premières colonnes et les colonnes restantes restent inchangées.

Dans l’expression donnée, nous notons que la première colonne de nos deux déterminants est la même, c’est-à-dire avec les éléments moins quatre, deux et cinq. Et de même, les troisièmes colonnes sont les mêmes avec les éléments 13, moins deux et moins un. Et donc les deux déterminants ne diffèrent que par leur deuxième colonne. Et maintenant, en appliquant la propriété des déterminants que nous avons citée plus tôt, le premier élément de la deuxième colonne de notre déterminant est cinq plus moins 13, le deuxième élément est six plus moins deux et le troisième élément est 14 plus moins quatre. La somme des déterminants est donc maintenant le déterminant de la matrice avec les éléments moins quatre, moins huit, 13, deux, quatre, moins deux et cinq, 10, moins un.

Nous pouvons maintenant également utiliser une autre propriété des déterminants. A savoir que si deux lignes ou deux colonnes d’un déterminant sont proportionnelles alors le déterminant est égal à zéro. Cela signifie que si une ligne ou une colonne est égale à une autre multipliée par une constante, alors le déterminant est égal à zéro. Et dans notre nouveau déterminant de somme, nous voyons que la seconde colonne est en fait deux fois la première colonne. Nous avons en effet que moins huit est deux multiplié par moins quatre, quatre est égal à deux multiplié par deux et 10 est égal à deux fois cinq. Et comme la seconde colonne est égale à deux fois la première colonne, notre déterminant est égal à zéro. En utilisant donc les propriétés des déterminants, nous avons constaté que la somme des déterminants donnés est nulle.

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