Vidéo de la leçon: Variables aléatoires discrètes Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons nous entraîner à identifier des variables aléatoires discrètes et à déterminer la loi de probabilité en utilisant des tableaux.

Commençons par voir ce que signifie le terme variable aléatoire discrète. Une variable désigne une quantité qui peut prendre plusieurs valeurs distinctes. Le terme Aléatoire signifie que la valeur est déterminée par le résultat d’un événement ou d’une expérience aléatoire. On peut dire qu’il y a l’intervention du hasard. Notez bien le mot discret, qui signifie qu’on ne peut prendre qu’un ensemble fini de valeurs données. C’est l’ensemble numérique des valeurs prises par une variable aléatoire discrète. Un exemple de variable aléatoire discrète est le nombre de faces obtenues lors du lancer de deux pièces de monnaie. Les valeurs qu’elle peut pendre sont zéro, un et deux car on peut obtenir zéro, une ou deux faces. Il s’agit d’un ensemble fini ou dénombrable de valeurs, et donc X, le nombre de faces lors du lancer de deux pièces, est une variable aléatoire discrète.

Essayons de comprendre maintenant ce que c’est la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète, et supposons que nous ayons une variable aléatoire discrète 𝑋 parcourant l’ensemble des valeurs 𝑥 un, 𝑥 deux, jusqu’à 𝑥 𝑛. Maintenant, il est important de préciser la convention que nous suivons. Nous utilisons des majuscules pour représenter la variable elle-même. Et nous utilisons des lettres minuscules pour représenter l’ensemble des valeurs qu’elle prend. Supposons maintenant que nous ayons aussi une fonction 𝑓 telle que 𝑓 de 𝑥 𝑖 soit égale à la probabilité que la variable aléatoire 𝑋 prenne la valeur 𝑥 𝑖, pour 𝑖 allant de un jusqu’à 𝑛. Pour toutes les valeurs 𝑥 𝑖 prises par la variable aléatoire discrète 𝑋 majuscule. Alors, cette fonction est appelée la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋.

On représente généralement la loi de probabilité d’une variable aléatoire à l’aide d’un tableau donnant sur la première ligne les valeurs que prend la variable aléatoire X et, sur la seconde ligne, la probabilité que X prenne chaque valeur donné. Plus simplement, on peut voir la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète comme l’ensemble de toutes les valeurs que la variable peut prendre ainsi que les probabilités associées. Une caractéristique importante de la loi de probabilité est que, comme la variable aléatoire discrète ne peut prendre que les valeurs de son ensemble et aucune autre valeur, la somme de toutes les probabilités doit être égale à un.

À titre d’exemple de la loi de probabilité d’une variable aléatoire, prenons cette roue. Soit 𝑋 la variable aléatoire discrète représentée par le numéro obtenu lorsqu’on tourne la roue. Cette roue possède huit sections égales, trois portant le numéro un, une le numéro deux, deux le numéro trois et les deux dernières le numéro quatre. Cela signifie que l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire discrète 𝑋 est l’ensemble qui correspond à un, deux, trois et quatre car ce sont les seules valeurs que 𝑋 peut prendre.

On peut écrire la loi de probabilité pour cette variable aléatoire discrète ; rappelez-vous, sur la première ligne nous avons les valeurs qu’elle peut prendre, et sur la seconde ligne les probabilités associées. Les valeurs de l’ensemble sont, nous l’avons déjà dit, un, deux, trois et quatre. Comme notre roue possède huit sections égales, donc toutes les probabilités seront des fractions avec huit au dénominateur. Trois sections portent le numéro un, une le numéro deux, deux le numéro trois et deux le numéro quatre. La probabilité d’obtenir trois ou quatre, est deux huitièmes, qui peut se simplifier, si on préfère, en un quart.

On a donc écrit la loi de probabilité pour la variable aléatoire discrète 𝑋. Nous avons l’ensemble de toutes les valeurs qu’elle peut prendre dans la première ligne, et les probabilités associées dans la seconde. Notez que la somme de toutes les probabilités obtenues de notre fonction vaut effectivement un. Cette caractéristique permet de déterminer si nous sommes face à une loi de probabilité ou non, comme nous le verrons dans l’exemple qui suit.

La fonction donnée par ce tableau peut-elle présenter une loi de probabilité ?

Alors, ce que nous voyons là ressemble beaucoup à une loi de probabilité. Dans la première ligne du tableau, nous avons un ensemble fini de valeurs, qui pourrait être l’ensemble des valeurs que prend une variable aléatoire discrète. Et dans la deuxième ligne, nous avons des valeurs décimales, qui pourraient être les probabilités associées. Pour vérifier si ce tableau peut vraiment représenter une loi de probabilité, il faut examiner les probabilités de plus près. Rappelons-nous que la somme de toutes les probabilités pour une variable aléatoire est égale à un.

Si on regarde la deuxième ligne du tableau, rien qu’en observant les deux valeurs du milieu, on peut voir que la somme de 0,43 et 0,69 est supérieure à un. Bien sûr, si on additionne les quatre valeurs, le nombre obtenu sera encore plus grand : 1,65. Par conséquent, notre exemple ne représente pas une loi de probabilité, car si une variable aléatoire discrète pouvait prendre chacune des valeurs zéro, un, quatre et cinq avec ces probabilités associées, on aurait une probabilité totale supérieure à un, ce qui est impossible. Donc, la réponse est non.

Prenons maintenant un exemple qui demande de calculer une probabilité manquante dans notre ensemble de probabilités.

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs deux, six, sept et huit. Étant donné que la probabilité que 𝑋 égale deux est égale à la probabilité que 𝑋 égale six, qui est égale à trois sur 22, et que la probabilité que 𝑋 égale sept est de quatre sur onze, trouvez la probabilité que 𝑋 égale huit. Répondez sous forme de fraction.

Commençons par représenter les informations qui nous ont été données dans un format légèrement différent. Utilisons un tableau pour représenter cette loi de probabilité. Sur la première ligne, écrivons les quatre valeurs que prend cette variable aléatoire discrète, à savoir deux, six, sept et huit. Sur la deuxième ligne, notons les probabilités indiquées : trois sur 22 pour deux et six, et quatre sur 11 pour sept. Il nous manque une des probabilités : la probabilité que 𝑋 soit égal à huit. Et c’est la valeur que nous devons trouver.

Pour la trouver, rappelons que la somme de toutes les probabilités d’une variable aléatoire est égale à un car la variable aléatoire discrète ne peut prendre que l’ensemble des valeurs données. On peut donc écrire une équation et utiliser les trois probabilités données par l’énoncé. En écrivant quatre sur 11 comme fraction équivalente huit sur 22, on obtient l’équation 14 sur 22 plus la probabilité que 𝑋 égale huit est égal à un. En soustrayant 14 sur 22 de chaque côté, puis en simplifiant 14 sur 22 en sept sur 11, on en déduit que la probabilité que 𝑋 égale huit est égale à un moins sept sur 11, soit quatre sur 11.

Donc, en utilisant le fait que la somme de toutes les probabilités d’une variable aléatoire est égale à un, nous avons trouvé la probabilité manquante. La probabilité que 𝑋 égale huit est de quatre onzièmes.

Passons maintenant à un exemple similaire mais légèrement plus complexe dans lequel toutes les probabilités de notre variable aléatoire sont exprimées algébriquement.

La fonction associée à ce tableau est une représentation de la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Trouvez la valeur de 𝑎.

Notez que chaque probabilité trouvée est exprimée en fonction de la variable 𝑎 dont on nous demande de trouver la valeur. Pour ce faire, rappelons ce point essentiel : la somme de toutes les probabilités d’une variable aléatoire est égale à un. On peut donc écrire une équation en utilisant les quatre valeurs de la deuxième ligne du tableau. Trois 𝑎 plus huit 𝑎 au carré plus quatre 𝑎 au carré plus huit 𝑎 est égal à un. Cela se simplifie en 12 𝑎 au carré plus 11𝑎 est égal à un. Puis, en retranchant un de chaque côté, on obtient une équation du second degré, 12𝑎 au carré plus 11𝑎 moins un est égal à zéro.

Cette équation peut se résoudre de différentes façons. Mais la méthode la plus simple pour cette équation particulière est de la factoriser. En effectuant un tâtonnement ou peut-être en factorisant par groupement, on obtient la factorisation 12𝑎 moins un multiplié par 𝑎 plus un. On suit alors la méthode habituelle pour résoudre une équation du second degré en factorisant. Fixons à zéro chacun des facteurs et résolvons l’équation linéaire obtenue, on trouve deux valeurs pour 𝑎 : 𝑎 égale un douzième et 𝑎 égale moins un.

Donc, il existe deux valeurs possibles pour 𝑎 qui sont les deux racines de cette équation du second degré. Mais une seule valeur a du sens dans le contexte de ce problème. En regardant à nouveau le tableau, on voit, par exemple, que la probabilité que 𝑋 égale zéro est de trois 𝑎. Si on prend la valeur un douzième, on obtient trois douzièmes, soit un quart. Mais si on prend la valeur moins un, on obtient moins trois. Rappelez-vous que les probabilités doivent toujours être comprises entre zéro et un, il est donc impossible d’avoir une probabilité de moins trois. Cela signifie que la valeur 𝑎 égale moins un, bien qu’elle soit solution de l’équation du second degré, ne convient pas comme valeur de 𝑎 dans le contexte de ce problème.

On peut vérifier que la valeur un douzième convient en calculant toutes les probabilités. Trois 𝑎 égale trois douzièmes, équivaut à 36 sur 144. De la même manière, on trouve les probabilités sous forme de fractions avec un dénominateur de 144 pour huit 𝑎 au carré, quatre 𝑎 au carré et huit 𝑎. En additionnant ces quatre valeurs, on obtient effectivement 144 sur 144, soit un, ce qui confirme que notre valeur de 𝑎 est correcte. Donc 𝑎 est égal à un douzième.

Dans cet exemple, nous avons énoncé une autre caractéristique essentielle des fonctions qui représente la loi de probabilité d’une variable aléatoire, à savoir que chacune des probabilités doit être comprise entre zéro et un. Nous inclurons cela dans la définition de loi de probabilité d’une variable aléatoire lorsque nous y reviendrons plus tard. Maintenant, voyons comment représenter une loi de probabilité à partir de la description écrite d’une variable aléatoire discrète.

On classe deux garçons et deux filles selon leurs notes dans un examen. Supposons que toutes les notes soient différentes et que tous les classements possibles soient équiprobables. Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire 𝑋 qui donne le meilleur classement obtenu par une fille, par exemple, 𝑋 est égal à deux si l’élève le mieux classé est un garçon et que l’élève de rang deux est une fille.

Nous avons donc quatre élèves qui vont être classés en fonction de leurs notes à un examen. Commençons par énumérer toutes les manières possibles de placer ces deux garçons et ces deux filles dans les quatre positions. Remarquez qu’on ne s’intéresse pas à savoir quelle fille ou quel garçon se trouve dans chaque position, mais uniquement le fait que la personne soit un garçon ou une fille.

Commençons par mettre une fille à la première place. Nous pouvons alors classer l’autre fille en position deux, trois ou quatre. À chaque fois, les deux places restantes seront chacune occupées par des garçons. En revanche, si c’est un garçon qui se place à la première position, alors c’est la même chose, le deuxième garçon peut se trouver à la deuxième, troisième ou quatrième position. Et dans chaque cas, les deux places restantes seront chacune occupées par des filles. Donc on voit qu’il existe six façons différentes d’ordonner deux filles et deux garçons. Rappelez-vous : à chaque fois, nous ne nous intéressons pas à savoir de quel garçon ou fille il s’agit. L’énoncé indique que tous les classements possibles sont équiprobables, ce qui implique que la probabilité associée à chacun de ces classements est d’un sixième.

La variable aléatoire discrète 𝑋 qui nous intéresse est le meilleur classement obtenu par une fille. Dans chacun des trois premiers cas, il y a une fille à la première place, donc la valeur de 𝑋 est un. Dans le quatrième cas, les filles occupent la troisième et quatrième place, donc le meilleur rang obtenu par une fille, la valeur de 𝑋, est de trois. Dans le cinquième cas, les filles sont en deuxième et quatrième place, donc le meilleur rang est deux. Et dans le sixième cas, les filles sont à la deuxième et troisième place. Le meilleur rang est encore deux. La dernière colonne donne les valeurs prises par la variable aléatoire discrète 𝑋. Elle peut prendre les valeurs un, deux ou trois.

Il faut maintenant indiquer les probabilités associées. Rappelez-vous que la valeur un apparaît trois fois, donc sa probabilité totale est de trois fois un sixième. Trois sixièmes, ça se simplifie à un demi. La valeur deux apparaît deux fois. Donc, sa probabilité totale est de deux sixièmes, c’est-à-dire un tiers. Enfin, la valeur trois n’apparaît qu’une seule fois, donc sa probabilité est d’un sixième. Nous avons donc trouvé la représentation de la loi de probabilité de la variable aléatoire 𝑋. Elle prend pour valeurs un, deux et trois, et les probabilités associées sont un demi, un tiers et un sixième.

Le dernier exemple montrera brièvement comment répondre aux questions qui demandent de trouver la probabilité qu’une variable aléatoire discrète soit supérieure ou inférieure à une valeur donnée.

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs moins deux, deux, quatre et cinq. Étant donné que la probabilité que 𝑋 égale moins deux est de 0,15, la probabilité que 𝑋 égale deux est de 0,43, et la probabilité que 𝑋 égale quatre est de 0,25, trouvez la probabilité que 𝑋 soit supérieur à deux.

Cette question ne demande pas de déterminer la probabilité que la variable aléatoire soit égale à une valeur particulière, mais plutôt la probabilité qu’elle soit supérieure à une valeur donnée. Ça peut paraître un peu déroutant au début, mais l’essentiel est de retenir qu’une variable aléatoire discrète ne peut prendre qu’un ensemble de valeurs et aucune autre. Commençons par noter les informations de la question sous forme d’un tableau. Les valeurs prises par la variable aléatoire discrète sont données dans la première ligne et les probabilités correspondantes dans la deuxième ligne.

Par contre, il nous manque une probabilité, la probabilité que 𝑋 soit égal à cinq, mais nous y reviendrons plus tard si nécessaire. Nous voulons trouver la probabilité que 𝑋 soit supérieur à deux. Rappelez-vous que notre variable aléatoire discrète ne peut prendre que l’ensemble des valeurs indiquées. Si 𝑋 est strictement supérieur à deux, ça veut dire que sa valeur est soit quatre, soit cinq. Il ne peut pas prendre une autre valeur. Donc la probabilité que 𝑋 soit supérieur à deux est égale à la somme de la probabilité que 𝑋 égale quatre et la probabilité que 𝑋 égale cinq.

Mais rappelons que nous ne connaissons pas la probabilité que 𝑋 égale cinq, bien qu’on puisse la calculer facilement en se rappelant que la somme de toutes les probabilités de la distribution est égale à un. Mais il y a une méthode un peu plus facile, il suffit de voir que la probabilité que 𝑋 soit supérieur à deux est égale à un moins la probabilité que 𝑋 soit inférieur ou égal à deux. Donc, on peut simplement soustraire de un les probabilités que 𝑋 soit égal à moins deux et X égal à deux, un moins 0,15 plus 0,43, ce qui est égal à 0,42.

Le point à retenir est qu’une variable aléatoire discrète ne peut prendre que l’ensemble des valeurs données. Donc, si on nous demande une probabilité cumulative comme c’était le cas ici, il suffit de chercher quelles valeurs de l’ensemble vont convenir.

Passons maintenant en revue les points essentiels abordés dans cette vidéo. Une variable aléatoire discrète est une quantité dont la valeur est déterminée par le hasard, et elle ne peut prendre qu’un nombre dénombrable ou fini de valeurs. La loi de probabilités 𝑓 d’une variable aléatoire discrète est une liste ou un tableau de l’ensemble des valeurs possibles ainsi que les probabilités qui leur sont associées. La loi de probabilité a deux propriétés essentielles. Premièrement, comme pour toute probabilité, chaque probabilité est comprise entre zéro et un. Deuxièmement, la somme de toutes les probabilités de la loi de probabilité est égale à un. Nous avons vu à travers des exemples comment écrire une loi de probabilité et comment utiliser ces propriétés pour calculer des valeurs ou probabilités manquantes.