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Vidéo question :: Définir des fonctions par morceaux Mathématiques • Deuxième secondaire

Déterminez la définition par morceaux de la fonction 𝑔 dont le graphique est donné ci-dessous.

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Déterminez la définition par morceaux de la fonction 𝑔 dont le graphique est donné ci-dessous.

Dans cette question, on nous donne le graphique d’une fonction 𝑔. Nous devons l’utiliser pour déterminer la définition par morceaux de cette fonction. Et nous pouvons le faire en rappelant que les fonctions par morceaux sont définies par un certain nombre de sous-fonctions sur différents sous-ensembles de définition. Et généralement, nous pouvons voir les différents sous-ensembles de définition de la fonction en regardant son graphique. Normalement, nous pouvons simplement regarder le graphique et vérifier s’il semble que plusieurs graphiques différents ont été assemblés. Par exemple, nous pouvons voir sur le côté gauche de ce graphique que nous avons une droite horizontale. Cependant, au milieu du graphique, il semble que nous ayons une parabole. Et enfin, à droite du graphique, nous avons une droite. Il semble donc que 𝑔 soit bien une fonction définie par morceaux avec trois sous-fonctions. Par conséquent, nous pouvons trouver la définition par morceaux de notre fonction 𝑔 en trouvant l’équation de chacune de ces sous-fonctions et en déterminant le sous-ensemble de définition de chacune de ces sous-fonctions.

Commençons par la première sous-fonction. C’est la droite à gauche. Nous pouvons voir qu’il s’agit d’une droite horizontale à la coordonnée 𝑦 égale un. Et nous savons qu’une droite horizontale à la coordonnée 𝑦 égale un est la droite 𝑦 égale un. Nous devons maintenant déterminer le sous-ensemble de définition de cette fonction. Nous devons trouver pour quelles valeurs de 𝑥 la fonction 𝑔 de 𝑥 donne un. Nous pouvons le faire en considérant les coordonnées 𝑥 des points qui se trouvent sur cette droite horizontale. Puisqu’il y a un point rempli à l’extrémité de cette droite horizontale, nous pouvons voir que lorsque 𝑥 égale un, la fonction 𝑔 donne un. Et nous pouvons également voir que la même chose est vraie pour toute valeur de 𝑥 inférieure ou égale à un. Par conséquent, 𝑔 de 𝑥 est égale à un si 𝑥 est inférieur ou égal à un. C’est la première sous-fonction et le premier sous-ensemble de définition. Et nous pouvons ajouter cela à la définition par morceaux de la fonction 𝑔 de 𝑥. On a 𝑔 de 𝑥 égale un si 𝑥 est inférieur ou égal à un.

Passons maintenant à la deuxième sous-fonction. C’est la section parabolique du graphique. Commençons par trouver le sous-ensemble de définition de cette sous-fonction. Nous pouvons voir que cela commence lorsque 𝑥 égale un. Cependant, nous devons être prudents car cette section du graphique commence par un point creux. Cela signifie que 𝑥 égale un n’est pas inclus dans ce sous-ensemble de définition. Déterminons également la partie supérieure de ce sous-ensemble de définition. Nous pouvons voir que c’est quand 𝑥 est égal à quatre, puisque c’est là que la partie parabolique de la courbe se termine. Et il convient de noter ici que nous pouvons inclure 𝑥 égale quatre dans le deuxième sous-ensemble de définition ou dans le troisième. Nous choisirons de l’inclure dans le troisième sous-ensemble de définition. Cela nous donne un sous-ensemble de définition de un inférieur à 𝑥 inférieur à quatre, ou 𝑥 doit être compris dans l’intervalle ouvert de un à quatre.

Nous devons maintenant déterminer l’équation de cette parabole. Et nous pouvons le faire en notant que nous avons les deux racines de la parabole. Par conséquent, nous pouvons écrire cette parabole sous forme factorisée. Elle doit être de la forme 𝑘 multipliée par 𝑥 moins deux fois 𝑥 moins trois. Et bien sûr, nous pouvons également voir sur le diagramme que la parabole s’ouvre vers le haut. Donc, la valeur de 𝑘 doit être positive. Et nous pouvons déterminer la valeur de 𝑘 en considérant les coordonnées d’un autre point qui se trouve sur la courbe. Par exemple, nous pouvons voir que le point avec les coordonnées quatre, deux est sur cette parabole.

Par conséquent, si nous substituons 𝑥 égale quatre et 𝑦 égale deux dans l’équation de la parabole, l’équation doit être vraie. Nous devons avoir que deux est égal à 𝑘 fois quatre moins deux multiplié par quatre moins trois. Et nous pouvons trouver 𝑘. Quatre moins deux est égal à deux, et quatre moins trois est égal à un. Donc, nous obtenons deux égale deux 𝑘, et nous pouvons diviser par deux pour voir que 𝑘 est égal à un. Par conséquent, poser 𝑘 égal à un nous donne l’équation de la section parabolique de ce diagramme. Et nous savons que c’est la deuxième sous-fonction de 𝑔 de 𝑥. On a 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 moins trois si 𝑥 est supérieur à un et inférieur à quatre.

Trouvons enfin la troisième et dernière sous-fonction. Commençons par trouver le sous-ensemble de définition de cette sous-fonction. Rappelez-vous, nous incluons 𝑥 égale quatre dans ce sous-ensemble de définition. Et nous pouvons voir que le graphique de cette sous-fonction se poursuit indéfiniment. Ainsi, toutes les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à quatre sont incluses dans ce sous-ensemble de définition, ce qui signifie que le troisième sous-ensemble de définition de cette sous-fonction est toutes les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à quatre. Et nous pouvons écrire ceci comme quatre étant inférieur ou égal à 𝑥.

Nous devons maintenant trouver l’équation de cette droite. Il y a plusieurs façons de le faire. Nous allons utiliser la forme réduite de la droite. Nous le faisons en notant d’abord que la droite passe par le point quatre, deux, et nous pouvons trouver la pente de la droite à partir du diagramme. Pour chaque unité parcourue vers la droite, la droite se déplace d’une unité vers le haut. Par conséquent, sa pente vaut un.

Nous pouvons alors rappeler que l’équation réduite d’une droite nous indique l’équation d’une droite passant par le point avec les coordonnées 𝑥 indice un, 𝑦 indice un et avec une pente de 𝑚 est 𝑦 moins 𝑦 indice un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 moins un. Et nous savons que la droite a une pente de un et passe par le point avec les coordonnées quatre, deux. En substituant ces valeurs dans l’équation réduite de la droite, nous obtenons 𝑦 moins deux égale un fois 𝑥 moins quatre. Et enfin, nous simplifions et réorganisons cette équation pour obtenir que 𝑦 égale 𝑥 moins deux. Donc 𝑥 moins deux doit être la troisième sous-fonction de 𝑔 de 𝑥, et ceci est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer que la définition par morceaux de la fonction 𝑔 donnée dans le diagramme est 𝑔 de 𝑥 égale un si 𝑥 est inférieur ou égal à un. Puis 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 moins deux fois 𝑥 moins trois si 𝑥 est supérieur à un et inférieur à quatre. Et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 moins deux si 𝑥 est supérieur ou égal à quatre.

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