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Vidéo de question : Étude du mouvement d’un corps sur un plan incliné lisse sous l’action d’une force pour une certaine durée Mathématiques

Un corps de masse de 10√3 kg est placé sur un plan lisse incliné à 30° par rapport à l’horizontale. Une force horizontale de 126 N dirigée vers le plan agit sur le corps de sorte que la ligne d’action de la force et la ligne de la pente du plan se trouvent dans le même plan vertical. Après bouger pendant 7 secondes, le corps atteint une vitesse 𝑣, l’instant auquel la force cesse d’agir, et le corps continue à bouger jusqu’à ce qu’il s’arrête momentanément 𝑡 secondes après que la force a cessé d’agir. Trouvez 𝑣 et 𝑡. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Un corps de masse 10 fois racine de trois kilogrammes est placé sur un plan lisse incliné à 30 degrés par rapport à l’horizontale. Une force horizontale de 126 newtons dirigée vers le plan agit sur le corps de sorte que la ligne d’action de la force et la ligne de la pente du plan se trouvent dans le même plan vertical. Après bouger pendant sept secondes, le corps atteint une vitesse 𝑣, l’instant auquel la force cesse d’agir. Et le corps continue à bouger jusqu’à ce qu’il s’arrête momentanément 𝑡 secondes après que la force a cessé d’agir. Trouvez 𝑣 et 𝑡. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde carrée.

Pour répondre à cette question, on va commencer par faire un schéma. On a un plan lisse incliné à 30 degrés par rapport à l’horizontale. Et attention, le fait qu’il soit lisse est important. Cela signifie qu’il n’y a pas de forces de frottement sur le corps. On nous dit qu’un corps de masse 10 fois racine de trois kilogrammes est placé sur ce plan. En utilisant la formule force est égale à la masse multipliée par l’accélération, on voit que le corps exerce une force vers le bas sur le plan de 10 fois racine de trois fois 𝑔, où 𝑔 est l’accélération de la pesanteur. La force vers le bas du corps sur le plan incliné est de 10 fois racine de trois fois 𝑔 newtons.

On nous dit alors qu’une force horizontale de 126 newtons agit également sur le corps. Et ceux sont presque toutes les forces qui agissent sur le corps dans notre schéma. Bien sûr on doit tenir compte du fait qu’il existe une force de réaction normale du plan sur le corps. Cette force agit perpendiculairement au plan et s’éloigne de celui-ci, comme indiqué. Alors, que sait-on encore à leur sujet ? Eh bien, on sait que le corps est initialement au repos. Ainsi, sa vitesse ou son vecteur vitesse de départ, que l’on va appeler 𝑢, doit être égal à zéro. Après un mouvement pendant sept secondes, il atteint une vitesse 𝑣, donc on fait le temps 𝑡 égal à sept et 𝑣 égal à 𝑣 mètres par seconde.

Pour trouver 𝑣, on doit calculer l’accélération du corps. Et donc on revient à notre formule précédente, force est égale à la masse multipliée par l’accélération. On peut utiliser notre schéma de forces pour calculer l’accélération du corps, en supposant, bien sûr, qu’il se déplace vers le haut du plan. Alors, l’accélération est parallèle au plan. Donc on doit déterminer les composantes des forces qui agissent sur le corps dans cette direction. Pour les trouver, on doit ajouter deux triangles rectangles à nos schémas. On ajoute ces triangles aux forces que l’on a. Et puis on cherche à calculer la composante de ces forces qui est parallèle au plan.

Commençons par regarder la force horizontale de 126 newtons. On a étiqueté le côté que l’on essaie de trouver 𝑥 newtons. Et puisque les angles correspondants sont égaux, l’angle inclus ici est de 30 degrés. C’est le côté adjacent du triangle. Et on sait que l’hypoténuse vaut 126 newtons. Puisque le rapport cosinus relie l’hypoténuse et le côté adjacente, l’on a que cos de 30, qui est le côté adjacent sur l’hypoténuse, est 𝑥 sur 126. En multipliant les deux côtés de cette équation par 126, on trouve que 𝑥 est égal à 126 fois cos de 30. Et donc on a une force agissant vers le haut du plan, que l’on va prendre comme le sens positif, de 126 cos 30.

Ensuite on passe à la force vers le bas du poids du corps. Encore une fois, l’angle inclus est de 30 degrés. On veut trouver le côté opposé dans ce triangle, et on connait la valeur de l’hypoténuse. Donc, on utilise le rapport sinus. sin 𝜃 est le côté opposé sur l’hypoténuse. Donc, sin 30 est 𝑦 sur 10 fois racine de trois 𝑔. Si l’on multiplie les deux côtés de cette équation par 10 fois racine de trois 𝑔, on obtient que 𝑦 est égal à 10 fois racine de trois 𝑔 fois sin 30. Cela agit vers le bas du plan, donc on dit que cette force est négative. Cela signifie que la somme des forces doit être de 126 cos 30 moins 10 racine trois 𝑔 sin 30. Cela nous donne une valeur de 14 fois racine de trois ou 14 fois racine de trois newtons.

Ensuite en utilisant la formule force est égale à la masse multipliée par l’accélération, on peut calculer l’accélération pendant les sept premières secondes. On obtient 14 fois racine de trois est égale à 10 fois racine de trois 𝑎, puis on divise tout par la racine de trois. Finalement, on divise par 10 et on obtient une l’accélération de 1,4 mètre par seconde carrée. Cela fait, on est prêt à calculer la valeur de 𝑣 après ces sept premières secondes. On sait que l’accélération est constante, donc on va utiliser l’une de nos équations MRUA, les équations d’accélération constante. L’équation qui relie 𝑣, 𝑢, 𝑎 et 𝑡 est 𝑣 est égal à 𝑢 plus 𝑎𝑡. Et donc on obtient 𝑣 est égal à zéro plus 1,4 fois sept. Donc, 𝑣 est égal à 9,8 ou 9,8 mètres par seconde.

La partie suivante de cette question dit que la force a cessé d’être appliquée. Le corps continue de bouger jusqu’à ce qu’il s’arrête momentanément 𝑡 secondes après que la force cesse d’agir. On doit trouver la valeur de 𝑡. Cette fois, on change ce que l’on sait du mouvement du corps. Sa vitesse de départ est de 9,8 et sa vitesse d’arrivée 𝑣 est nulle. On cherche à calculer 𝑡, et pour ce faire, on doit calculer la valeur de 𝑎, la nouvelle accélération du corps. Puisque la force n’agit plus sur le corps, on considère 𝐹 égal 𝑚𝑎 mais en utilisant tout simplement la force du poids du corps.

Souvenons-nous que la composante de la force du corps qui agit parallèlement au plan est 10 fois racine trois 𝑔 sin 30. Cela agit vers le bas du plan, donc cette force est négative. On a moins 10 fois racine de trois 𝑔 sin 30 est égal à 10 racine trois 𝑎. Et puis on voit que l’on peut diviser les deux côtés de cette équation par 10 fois racine de trois, ce qui signifie que l’accélération est moins 𝑔 fois sin 30. Et puisque 𝑔 est 9,8, cela nous donne moins 4,9 mètres par seconde carrée. Il est très logique que l’accélération de ce corps soit négative. Essentiellement, il ralentit de 9,8 mètres par seconde carrée jusqu’à l’arrêt. Et on sait que la décélération correspond à une valeur négative pour l’accélération.

Et on revient à notre formule précédente. Encore une fois, on utilise 𝑣 est égal à 𝑢 plus 𝑎𝑡. Mais cette fois-là, l’on a l’équation zéro est égale à 9,8 moins 4,9𝑡. On ajoute 4,9𝑡 des deux côtés. Et finalement, on divise par 4,9. 9,8 divisé par 4,9 est deux. Donc 𝑡 est égal à deux. Dans les conditions données dans cette question, 𝑣 est de 9,8 mètres par seconde et 𝑡 est de deux secondes.

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