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Vidéo de question : Déterminer les distances entre des points et droites en deux dimensions Mathématiques

Si la longueur de la perpendiculaire tracée depuis le point de coordonnées (−5 ; 𝑦) à la droite d’équation −15𝑥 + 8𝑦 - 5 = 0 est égale à 10 unités de longueur, déterminez toutes les valeurs possibles de 𝑦.

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Transcription de vidéo

Si la longueur de la perpendiculaire tracée depuis le point de coordonnées moins cinq, 𝑦 à la droite d’équation moins 15𝑥 plus huit 𝑦 moins cinq égale zéro est égale à 10 unités de longueur, déterminez toutes les valeurs possibles de 𝑦.

Nous commençons par rappeler que nous pouvons calculer la distance perpendiculaire d’un point avec des coordonnées cartésiennes 𝑚, 𝑛 à une droite sous la forme 𝐴𝑥 plus 𝐵𝑦 plus 𝐶 égale zéro. En utilisant la formule 𝑑 égale valeur absolue de 𝐴𝑚 plus 𝐵𝑛 plus 𝐶 le tout sur la racine carrée de 𝐴 au carré plus 𝐵 au carré.

Maintenant, notre droite est moins 15𝑥 plus huit 𝑦 moins cinq. Donc, dans ce cas, nous définissons 𝐴 comme égal à moins 15. Et 𝐵 est le coefficient de 𝑦. Donc, c’est huit. Et 𝐶 est notre constante. Soit moins cinq. Nous voyons alors que nous connaissons la longueur de la perpendiculaire qui commence au point moins cinq, 𝑦. Nous définissons 𝑚 comme égal à moins cinq. Et nous pouvons dire que 𝑛 est égal à 𝑦.

On nous dit que la longueur de cette perpendiculaire est de 10. Donc, dans ce cas, nous pouvons dire que 𝑑 est égal à 10. Introduisons toutes les valeurs que nous connaissons dans notre formule de la distance perpendiculaire. On a 𝑑 est égal à 10. Et cela est égal à la valeur absolue de 𝐴 fois 𝑚 - soit moins 15 fois moins cinq - plus 𝐵 fois 𝑛 - soit huit fois 𝑦 - plus 𝐶, qui est égal moins cinq. Tout ceci divisé par la racine carrée de 𝐴 au carré plus 𝐵 au carré. Cela est égal à la racine carrée de moins 15 au carré plus huit au carré. Moins 15 fois moins cinq est égal à 75.

Ensuite, additionner moins cinq, revient à soustraire cinq. Et cela nous donne 70. De même, notre dénominateur devient la racine carrée de 225 plus 64, qui est égale à la racine carrée de 289. Mais nous savons que la racine carrée de 289 est égale à 17. Donc, notre équation est maintenant 10 est égal à la valeur absolue de 70 plus huit 𝑦 le tout sur 17.

Nous allons rendre cela un peu plus simple en multipliant les deux côtés par 17. Et nous obtenons que 170 est égal à la valeur absolue de 70 plus huit 𝑦. Nous y sommes presque. Nous devons comprendre que lorsqu’on résout des équations impliquant des valeurs absolues, on doit déterminer les valeurs positive et négative. Dans ce cas, nous disons que 70 plus huit 𝑦 est égal à 170 ou 70 plus huit 𝑦 est égal à moins 170.

Nous allons résoudre cette première équation en soustrayant 70. Et donc nous voyons que huit 𝑦 est égal à 100. Ensuite, nous divisons par huit ce qui nous donne 𝑦 est égal à 100 sur huit, ce qui est égal à 25 sur deux. Et donc une valeur possible de 𝑦 est 25 sur deux.

Maintenant, nous allons résoudre la seconde équation de la même manière. Nous soustrayons 70 des deux côtés. Cette fois cependant, soustraire 70 de moins 170 nous donne moins 240. Nous divisons ensuite par huit. Ce qui nous donne 𝑦 est égal à moins 30. Et donc nos deux valeurs possibles de 𝑦 sont moins 30 et 25 sur deux.

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