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Vidéo de question : Déterminer en quelles valeurs une fonction composée de deux fonctions données prend une valeur donnée Mathématiques

Déterminez les valeurs de 𝑥 pour lesquelles (𝑓 ∘ 𝑔) (𝑥) = 407, où 𝑓 (𝑥) = 𝑥² + 83 et 𝑔 (𝑥) = 3𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminez les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est égal à 407, où 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus 83 et 𝑔 de 𝑥 est égal à trois 𝑥.

Nous commençons par rappeler que cette notation 𝑓 puis un petit cercle puis 𝑔 désigne la fonction 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Cela signifie que nous prenons une valeur d’entrée 𝑥, nous lui appliquons la fonction 𝑔 puis nous appliquons la fonction 𝑓 au résultat précédent. En d’autres termes, nous prenons la fonction 𝑔 de 𝑥 comme entrée de la fonction 𝑓.

Maintenant, on nous donne que 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est égal à 407 pour certaines valeurs de 𝑥 et on nous demande de déterminer quelles sont ces valeurs. Nous commencerons par trouver une expression algébrique pour la fonction 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. On commence donc par une valeur d’entrée 𝑥. Et puis 𝑔 de 𝑥 est la fonction qui multiplie cette entrée par trois. On a 𝑔 de 𝑥 égale trois 𝑥. Nous allons ensuite appliquer la fonction 𝑓 à ce résultat. Donc 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est 𝑓 de trois 𝑥. Nous prenons l’expression pour 𝑔 de 𝑥 et nous l’utilisons comme entrée de la fonction 𝑓.

Maintenant, en regardant la fonction 𝑓 de 𝑥, c’est la fonction qui prend une valeur d’entrée, la porte au carré et puis lui ajoute 83. Nous prenons donc comme valeur d’entrée ou expression d’entrée trois 𝑥, la portons au carré et ajoutons 83. Maintenant, nous devons être ici très prudents et nous assurer que nous élevons au carré aussi bien 𝑥 que trois. Ainsi, la version développée de 𝑓 de trois 𝑥 est neuf fois 𝑥 au carré, plus 83, et non trois fois 𝑥 au carré plus 83. Nous avons donc trouvé notre expression algébrique pour la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥.

Ensuite, nous devons poser que cette expression est égale à 407 puis résoudre l’équation. Nous avons que neuf 𝑥 au carré plus 83 est égal à 407. Nous pouvons soustraire 83 de chaque membre de l’équation pour obtenir que neuf 𝑥 au carré est égal à 324. Et nous divisons ensuite par neuf pour nous donner que 𝑥 au carré est égal à 36. Pour trouver la ou les valeurs de 𝑥, nous devons prendre la racine carrée de chaque membre de cette équation. Il ne faut pas oublier de prendre plus ou moins la racine carrée. Nous avons donc que 𝑥 est égal à plus ou moins la racine carrée de 36 ce qui est plus ou moins six. Nous avons donc déterminé qu’il y a deux valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est égal à 407 : plus et moins six.

Nous pouvons vérifier nos réponses en remplaçant par ces valeurs dans la fonction 𝑔, puis en remplaçant l’entrée de la fonction 𝑓 par les résultats obtenus précédemment. Par exemple, lorsque 𝑥 est égal à six, 𝑔 de 𝑥, 𝑔 de six, est trois fois six, soit 18. Ensuite, 𝑓 de 𝑔 de six est 𝑓 de 18. Ceci est égal à 18 au carré plus 83, soit 324 plus 83, ce qui équivaut en effet à 407. Pour 𝑥 est égal à moins six, 𝑔 de moins six sera égal à moins 18. Donc, 𝑓 de 𝑔 de moins six sera égal à moins 18 au carré plus 83. Mais bien sûr, moins 18 au carré est égal à 18 au carré. Nous savons donc que cela nous donnera également 407.

Nous avons déterminé qu’il y a deux valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est égale à 407. Et ces deux valeurs sont six et moins six.

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