Vidéo : Aires des cylindres

Apprenez à calculer l’aire latérale et totale d’un cylindre à partir de sa hauteur, de son rayon ou de son diamètre. Appliquez ces connaissances à un problème impliquant de travailler à l’envers à partir d’une aire et d’un rayon connus pour calculer une hauteur manquante.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment calculer l’aire d’un cylindre puis appliquer cette méthode à quelques questions. Alors réfléchissons au calcul de l’aire d’un cylindre. Maintenant, vous auriez vu auparavant que, pour calculer l’aire d’un prisme, vous devez trouver l’aire totale de toutes ses faces. Nous devons donc réfléchir aux différentes faces du cylindre. Maintenant, une façon de le faire est d’esquisser le patron de ce cylindre, donc à quoi cela ressemblerait-il en deux dimensions si nous pouvions le dérouler.

Alors tout d’abord, le cylindre a deux faces circulaires. Il comporte les faces qui se trouvent sur le dessus et la base du cylindre, celles sur lesquelles je suis en train de faire de l’ombrage. Ainsi, lorsque nous dessinons le patron de ce cylindre, nous devons inclure ces deux faces circulaires. Maintenant, j’ai étiqueté mon diagramme. Il a les mesures ℎ et 𝑟 dessus; ℎ représente la hauteur du cylindre et 𝑟 représente le rayon du cercle. Donc, il y a ces deux faces circulaires. Maintenant, un cylindre a aussi une surface incurvée, celle-ci que je suis en train d’ombrer en orange ici. Et réfléchissez à la figure que cela prendrait.

Même s’il s’agit d’une surface incurvée, si vous deviez la déplier pour en faire une surface plane, vous verriez qu’il s’agit en fait d’un rectangle. Et vous pourriez essayer cela vous-même. Si vous trouvez une boîte de conserve ou quelque chose comme ça et décollez l’étiquette, vous verrez que la figure de cette étiquette est en fait un rectangle. Donc, si je l’ajoute à mon patron, je verrai que le patron du cylindre ressemble à ceci, à une partie rectangulaire, puis à ces deux parties circulaires. Alors maintenant, je dois déterminer quelle est l’aire de chacune de ces parties. Eh bien, le cercle, souvenez-vous de l’aire d’un cercle, la formule est 𝜋𝑟 carré, donc chacun de ces cercles contribuera à ce montant. Ainsi donc, je vais avoir une contribution totale de deux 𝜋𝑟 au carré de la partie supérieure circulaire et la base circulaire.

Pensons maintenant au calcul de l’aire de ce rectangle. Donc, pour rectangle, nous faisons la longueur multipliée par la largeur alors que cette mesure ici, c’est juste la hauteur du cylindre. Donc c’est ℎ. Et puis je dois penser à quelle est la largeur du rectangle de cette mesure ici. Eh bien, si vous réfléchissez bien à cela, ou peut-être que si vous repensez à votre boîte de conserve et que vous déroulez l’étiquette, vous verrez que cette mesure correspond ici parfaitement à la circonférence du cercle sur le dessus et sur la base. Et si vous vous en souvenez bien, la formule de calcul de la circonférence d’un cercle est soit 𝜋𝑑 où 𝑑 représente le diamètre, soit deux 𝜋𝑟 où 𝑟 représente le rayon. Et comme c’est le rayon que j’ai utilisé dans d’autres parties de ce calcul, c’est le rayon que je vais utiliser à nouveau ici. Ainsi, les dimensions du rectangle sont alors ℎ et deux 𝜋𝑟, ce qui signifie que l’aire de ce rectangle quand je les multiplierai ensemble seront deux 𝜋𝑟ℎ.

Alors maintenant, j’ai tout ce dont j’ai besoin pour écrire la formule de calcul de l’aire totale du cylindre. Ça va juste être la somme de ces trois ensemble de définitions. Donc, voici cette formule. L’aire totale du cylindre est égale à deux 𝜋𝑟 carré plus deux 𝜋𝑟ℎ. Maintenant, lorsque vous travaillez avec des cylindres, il n’est parfois pas demandé de calculer l’aire totale. On vous demande plutôt de calculer quelque chose appelé surface latérale. Et il s’agit de la partie courbe de l’aire. Donc, dans notre patron de cylindre, c’est cette partie rectangulaire ici. Donc, si on vous demande simplement de calculer l’aire latérale, vous utiliserez cette formule à la place, c’est-à-dire qu’elle est égale à deux 𝜋𝑟ℎ car il ne s’agit que de l’aire de ce rectangle qui nous intéresse. Voyons à appliquer cela à une question.

La question nous demandait de calculer l’aire latérale du cylindre ci-dessous. Et nous pouvons voir que ce cylindre a une hauteur de 13 centimètres et un diamètre de 10 centimètres. Alors tout d’abord, notez la question a demandé pour l’aire latérale. Nous ne nous intéressons donc qu’à cette partie incurvée, et non à la totalité de l’aire, y compris le dessus et la base. Alors rappelez-vous la formule que nous avons besoin ici est que l’aire latérale est égale à deux 𝜋𝑟ℎ. Donc dans cette question, ℎ, eh bien, c’est 13 centimètres, et 𝑟 rappelez-vous présente le rayon. Nous n’avons pas le rayon. Nous avons le diamètre qui est 10. Donc, le rayon est la moitié qui est cinq. Donc, notre calcul est alors l’aire latérale est deux fois 𝜋 fois cinq fois 13.

Maintenant, rappelons-nous que les deux 𝜋𝑟 de la formule de l’aire latérale représentent la circonférence du cercle. Et une autre façon d’écrire qui aurait été 𝜋𝑑. Ainsi, plutôt que de diviser cette valeur de 10 par deux pour obtenir le rayon et y compris le facteur de deux dans la formule, nous pourrions avoir en fait tout juste de faire 𝜋𝑑ℎ et 𝜋 fois 10 fois 13. Ainsi, au lieu de diviser par deux et en multipliant par deux, nous aurions pu nous déplacer d’une manière un peu plus simple.

De toute façon, cela nous donne le même résultat dans notre calcul. Donc, deux fois 𝜋 fois cinq fois 13, cela me donne 130𝜋 comme l’aire latérale. Je pourrais laisser ma réponse en fonction de 𝜋, si tel est le cas ou si je n’avais pas de calculatrice. Mais si je continue et que j’évalue ma réponse sous forme décimale, cela me donne une réponse de 408.4 centimètres carrés. Et cela a été arrondi à une décimale ou au dixième près. Unités, rappelez-vous, nous parlons d’aire. J’ai donc besoin de mettre les unités au carré avec ma réponse, ce qui explique pourquoi les centimètres carrés dans ce cas. Bon, regardons notre prochaine question à ce sujet.

Cette fois, il nous est demandé de calculer l’aire totale du cylindre ci-dessous.

Je dois donc rappeler la formule de calcul de l’aire totale. Rappelez-vous que cela inclura le haut et la base cette fois. Donc, voici la formule dont nous avons besoin. L’aire totale est égale à deux 𝜋𝑟 carré plus deux 𝜋𝑟ℎ. Il s’agit donc simplement de substituer les valeurs correctes à cette formule. Le rayon est de six millimètres et la hauteur de 25 millimètres. Ainsi, le calcul sera deux fois 𝜋 fois six carré plus deux fois 𝜋 fois six fois 25. Les parenthèses, je ne les ont pas vraiment besoin ; ils ne sont pas mathématiquement nécessaires. Je viens de les mettre afin que vous puissiez voir plus clairement les deux parties du calcul.

Donc, il y a deux choses à surveiller : on vous a demandé quelle était l’aire totale ou l’aire latérale ? Donc, avez-vous besoin d’inclure le haut et la base ou non. Et aussi avez-vous reçu le rayon ou le diamètre du cylindre ? Et si on vous a donné le diamètre, il vous suffit de bien réfléchir à la façon dont vous allez l’utiliser dans la formule. Donc, si j’évalue ces questions, alors je 72𝜋 plus 300 𝜋. Ce qui me donne un total global de 372𝜋 pour l’aire totale. Encore une fois, je pourrais laisser ma réponse à ce stade, mais je l’évaluerai comme un nombre décimal. Et cela me donne une réponse de 1168.7 millimètres carrés. Et encore une fois, cette réponse a été arrondie à une décimale.

D’accord, c’est la dernière question que nous allons examiner dans cette vidéo. Il dit que l’aire totale d’un cylindre de rayon de deux mètres est de 28𝜋 mètres carrés. Calculez la hauteur du cylindre.

Donc, cette question est un exemple de celle où nous devons travailler en arrière. On nous donne l’aire et nous devons trouver l’une des dimensions manquantes du cylindre. Nous devons donc tout d’abord rappeler la formule pertinente. Et en lisant attentivement la question, elle indique l’aire totale. Nous avons donc besoin de la formule pour total plutôt que latéral. Il est donc cette formule ici, l’aire totale est égale à deux 𝜋𝑟 carré plus deux 𝜋𝑟ℎ. Nous pouvons donc utiliser cette formule pour former une équation impliquant le rayon et l’aire totale que nous connaissons et la hauteur que nous ne connaissons pas. Une fois l’équation obtenue, nous pourrons la résoudre afin de déterminer quelle est cette hauteur.

Formons donc cette équation. Je vais substituer 𝑟 était égal à deux dans cette formule. Donc, deux 𝜋𝑟 au carré est va être deux fois 𝜋 fois deux au carré. Et puis deux 𝜋𝑟ℎ est va être deux fois 𝜋 fois deux fois cette valeur ℎ que nous ne savons pas. Et on nous dit que tout est égal à 28𝜋. J’ai donc mis en place le début de mon équation. Maintenant, je peux simplifier un peu. Donc, en regardant le premier terme, ça va simplifier. Deux au carré égal à quatre, puis multiplié par deux, on obtient huit. J’ai donc huit 𝜋 pour ce premier terme. Et puis le second terme, deux fois deux quatre, donc je suis va avoir quatre 𝜋ℎ pour ce second terme. Donc cela m’amène à cette étape ici. Huit 𝜋 plus quatre 𝜋ℎ est égal à 28𝜋. Maintenant, tous ces termes ont un facteur de 𝜋, donc en fait je peux diviser par 𝜋 ou annuler ce facteur pour simplifier cette équation un peu.

Si je viens de l’écrire à nouveau alors que nous pouvons voir un peu plus clair, donc je peux voir que mon équation est en fait seulement quatre ℎ plus huit est égal à 28. La résolution de cette équation qui est relativement simple, la première étape est de soustraire huit des deux côtés de l’équation. Et donc cela me donne quatre ℎ est égal à 20. Et ensuite, je dois diviser les deux côtés de l’équation par quatre. Et ce qui me donne le ℎ est égal à cinq. Rappelez-vous, ℎ représente la hauteur et nécessite donc une unité. Et si vous revenez à la question, toutes les unités étaient des mètres et des mètres carrés, il faut donc cinq mètres pour la hauteur du cylindre. Donc, cette question impliquait d’utiliser les informations qui nous étaient données pour configurer puis résoudre une équation afin de déterminer une dimension manquante du cylindre.

Répondre à une question similaire où le rayon manquant serait un problème plus complexe, car il en résulterait une équation quadratique à résoudre. Mais c’est une extension possible de cela. Pour résumer, nous avons donc cherché à calculer l’aire latérale et l’aire totale d’un cylindre. Nous avons vu d’où venait cette formule en ce qui concerne le patron du cylindre. Nous l’avons appliqué à quelques questions plus simples pour lesquelles nous devons simplement substituer les valeurs pertinentes. Enfin, nous avons examiné une question qui implique de travailler à partir d’une surface connue pour calculer la hauteur du cylindre.

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