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Vidéo de question : Simplifier le produit de deux fonctions rationnelles et déterminer son ensemble de définition Mathématiques

Simplifiez l’expression 𝑛 (𝑥) = ((𝑥 + 5) / (𝑥² + 9𝑥 + 20)) × ((𝑥² + 15𝑥 + 54) / (7𝑥² + 69𝑥 + 54)) et déterminez son ensemble de définition.

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Transcription de vidéo

Simplifiez l’expression 𝑛 de 𝑥 égale 𝑥 plus cinq divisé par 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 plus 20, fois 𝑥 au carré plus 15𝑥 plus 54 divisé par sept 𝑥 au carré plus 69𝑥 plus 54, et déterminez son ensemble de définition.

Nous devons simplement prendre chaque expression et la simplifier par factorisation. Nous ne pouvons pas factoriser 𝑥 plus cinq, donc nous le laissons de côté. Mais, le terme du dessous, quels sont les deux nombres dont le produit donne 20 et la somme donne neuf ? Il s’agit de cinq et quatre. Nous pouvons donc remplacer ce terme par 𝑥 plus cinq fois 𝑥 plus quatre. En haut à droite, quels sont les deux nombres dont le produit donne 54 et la somme donne 15 ? Il s’agit de neuf et six.

Les deux termes sont de simples trinômes ; mais en bas à droite, nous avons un trinôme plus complexe car le coefficient du terme de plus haut degré est sept et non pas un. Nous allons donc utiliser la méthode du double glissé. Alors allons-y et faisons glisser ce sept vers l’arrière en le multipliant par 54. Alors maintenant, nous avons 𝑥 au carré plus 69𝑥 plus 378. Alors, quels sont les deux nombres dont le produit donne 378 et la somme donne 69 ? Cela peut prendre un peu de temps, mais nous allons trouvé 63 et six.

Maintenant, le nombre que nous avons glissé à l’arrière, nous allons maintenant le glisser en dessous et simplifier. Donc, 63 divisé par sept donnent neuf. Alors, nous ne pouvons pas simplifier six septièmes, donc je vais mettre le sept avec le 𝑥. Lorsqu’on factorise, on ne laisse généralement pas de fractions. Alors maintenant, nous avons modifié la dernière expression.

Lors de la simplification ou de la multiplication de deux fractions, on peut simplifier les termes en haut en bas et en diagonale. Donc, les 𝑥 plus cinq se simplifient, les 𝑥 plus neuf se simplifient et c’est tout ! Alors, le seul terme restant en haut est 𝑥 plus six et au dénominateur, nous avons 𝑥 plus quatre et sept 𝑥 plus six. Maintenant, nous devons déterminer l’ensemble de définition. L’ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels à l’exception des valeurs qui annulent le dénominateur. Nous devons donc écrire tous les facteurs au dénominateur comme étant égaux à zéro.

Et après avoir fait cela, si nous avons 𝑥 plus cinq égal à zéro, nous obtenons moins cinq. Et puis nous obtenons moins quatre, nous obtenons moins neuf et moins six septièmes. Donc l’ensemble de définition contient tous les nombres réels moins moins neuf, moins cinq, moins quatre et moins six septièmes. Donc, la fonction simplifiée est 𝑛 de 𝑥 égale 𝑥 plus six divisé par 𝑥 plus quatre fois sept 𝑥 plus six, avec un ensemble de définition égal à tous les nombres réels moins moins neuf, moins cinq, moins quatre et moins six septièmes.

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