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Vidéo de question : Calcul de l’aire d’une figure composée impliquant des polygones réguliers Mathématiques

Calculez l’aire totale des régions colorées dans les polygones réguliers ci-dessous, en donnant votre réponse au dixième près.

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Transcription de vidéo

Calculez l’aire totale des régions colorées dans les polygones réguliers ci-dessous, en donnant votre réponse au 10ième près.

Dans cette question, on nous demande de trouver l’aire totale de la région colorée dans le diagramme ci-dessous. Et dans ce diagramme ci-dessous, on nous dit que toutes nos formes sont des polygones réguliers. Et nous devons donner notre réponse au dixième près. Pour répondre à cette question, commençons par regarder notre diagramme pour examiner la région colorée. La première chose que nous pouvons remarquer car toutes les formes de notre diagramme sont des polygones réguliers est que la région colorée se situe entièrement dans un hexagone régulier de longueur latérale 39.

Cependant, nous pouvons également voir que certaines aires sont découpées. Par exemple, nous pouvons voir que l’aire de ce triangle est retirée de la région indiquée. Et comme on nous dit que ce sont des polygones réguliers et que l’une des longueurs des côtés de ce triangle est de 39, nous savons qu’il s’agit d’un triangle équilatéral de longueur latérale 39. Ainsi, si nous trouvions l’aire de l’hexagone régulier, puis retirions l’aire de ce triangle équilatéral, nous serions plus proches de trouver l’aire de notre région colorée.

Cependant, nous pouvons voir sur le croquis que nous avons toujours un problème. Il y a encore plus d’aires à supprimer. Nous allons devoir supprimer l’aire entre le carré et le pentagone. Encore une fois, ces deux-là sont des polygones réguliers, et nous savons que leurs longueurs latérales seront 39. Donc, en utilisant toutes ces informations, nous avons en fait deux différentes et équivalentes de trouver la aire colorée.

La première méthode consisterait à trouver l’aire de notre hexagone régulier, soustraire l’aire de notre pentagone régulier, ajouter l’aire de notre carré, puis soustraire l’aire de notre triangle équilatéral. Cependant, il pourrait être plus facile de le faire par étapes. Commençons par trouver l’aire de la région extérieure. L’aire de la région extérieure colorée va juste être l’aire de l’hexagone. Et puis on soustrait l’aire du pentagone.

En utilisant une logique similaire, nous pouvons trouver l’aire de notre région intérieure ; nous allons la marquer 𝐼. Pour trouver l’aire de notre région intérieure 𝐼, nous prenons l’aire du carré puis nous soustrayons l’aire de notre triangle équilatéral. Peu importe laquelle de ces deux méthodes vous préférez. Les deux donneront la même réponse. Nous allons utiliser la deuxième méthode.

Pour utiliser l’une ou l’autre méthode, la première chose à faire est de déterminer l’aire de nos quatre polygones réguliers. Et bien que nous puissions le faire directement en utilisant la géométrie, il est beaucoup plus facile de rappeler la formule. Nous savons que l’aire de tout polygone régulier à 𝑛 côtés de longueur latérale 𝑥 est donnée par 𝑛𝑥 au carré sur quatre multiplié par la cotangente de 180 sur 𝑛 degrés. Nous allons donc commencer par utiliser cette formule pour trouver l’aire de notre hexagone.

Nous savons que les hexagones ont six côtés. Ainsi, notre valeur de 𝑛 est égale à six. Et dans notre diagramme, nous pouvons voir que la longueur du côté est 39. Donc, notre valeur de 𝑥 est 39. Ainsi, en substituant 𝑛 égal six et 𝑥 égal 39 dans notre formule, nous obtenons que l’aire de notre hexagone est six fois 39 au carré sur quatre multiplié par la cotangente de 180 sur six degrés. Et il est possible d’évaluer cette expression sans calculatrice car 180 divisé par six vaut 30. Et nous savons que multiplier par la cotangente d’un angle revient à diviser par la tangente de cet angle. Et nous savons que la tangente de 30 degrés est un divisé par racine carrée de trois.

Cependant, il n’est pas possible de trouver l’aire exacte de toutes nos figures sans utiliser de calculatrice. Donc, nous pouvons simplement utiliser cela pour cet exemple. La seule chose que nous ferons est de réécrire notre formule. Donc, au lieu de multiplier par la cotangente de 30 degrés, nous divisons par la tangente de 30 degrés. Et si nous calculons cette expression, nous obtenons 3951,673 etc.

Et à ce stade, nous pourrions être tentés d’arrondir notre réponse. Cependant, il est très important de ne pas arrondir avant la fin de notre question ; sinon, nous pourrions obtenir une mauvaise réponse. Il est donc important de mettre ce nombre dans la mémoire de notre calculatrice ou de nous rappeler l’expression exacte que nous avons utilisée pour le trouver. De plus, comme ce nombre représente une aire, nous pourrions lui donner pour unité les unités carrées. Mais pour économiser de l’espace, nous n’inclurons pas cela ; cependant, il vaut toujours la peine de garder cela à l’esprit.

Maintenant que nous avons trouvé l’aire de notre hexagone, nous allons faire exactement la même chose pour trouver l’aire de notre pentagone. De notre diagramme, nous savons que notre pentagone est un pentagone régulier. Et nous savons que toutes ses longueurs latérales seront de 39. Donc, nous substituons 𝑛 égal cinq et 𝑥 égal 39 dans notre formule. Nous obtenons que l’aire de notre pentagone est cinq fois 39 au carré sur quatre multipliée par la cotangente de 180 degrés sur cinq.

Et nous allons calculer cela exactement de la même manière qu’avant. On a 180 sur cinq égale 36. Et au lieu de multiplier par la cotangente de 36 degrés, nous diviserons par la tangente de 36 degrés. Cela nous donne cinq fois 39 au carré sur quatre multiplié par la tangente de 36 degrés. Et si nous calculons cette expression, nous obtenons 2616,846 etc… en unités carrées. Et encore une fois, il est important de ne pas arrondir cette valeur car nous devons arrondir nos valeurs à la fin.

Maintenant que nous avons trouvé l’aire de notre hexagone et l’aire de notre pentagone, nous pouvons trouver la région extérieure colorée que nous avons nommée 𝑅. Nous soustrayons simplement l’aire de notre pentagone de l’aire de notre hexagone. Et en utilisant les valeurs exactes de l’aire de notre hexagone et de notre pentagone, nous obtenons que 𝑅 vaut 1334,827 etc… unités carrées.

Nous allons suivre exactement le même processus pour trouver l’aire de la région intérieure 𝐼. Nous pourrions être tentés d’utiliser notre formule pour trouver l’aire de notre carré. Cependant, nous savons que l’aire d’un carré n’est que le carré de l’un de ses côtés. Donc, dans ce cas, l’aire de notre carré va juste être 39 au carré. Et nous pouvons calculer cela ; cela nous donne 1521 unités carrées. Et nous pourrions utiliser notre formule, et cela nous donnerait la bonne réponse. Cependant, cette méthode est plus facile.

Maintenant, nous voulons trouver l’aire de notre triangle. Et il y a quelques options différentes pour ce faire. Par exemple, comme il s’agit d’un triangle équilatéral, nous savons que tous ses angles intérieurs sont de 60 degrés. Ainsi, nous pourrions trouver l’aire de ce triangle en trouvant la hauteur de ce triangle en utilisant la trigonométrie, puis en utilisant la moitié de la base multipliée par la hauteur. Cependant, nous pouvons également utiliser notre formule. Dans ce cas, nous utiliserons notre formule. Notre valeur de 𝑛 va être trois, et notre valeur de 𝑥 est 39.

Ainsi, l’aire de notre triangle est trois fois 39 au carré sur quatre multipliée par la cotangente de 180 sur trois degrés. Et nous allons calculer cela de la même manière que nous l’avions fait auparavant. On a 180 sur trois égale 60 degrés. Et au lieu de multiplier par la cotangente de 60 degrés, nous allons diviser par la tangente de 60 degrés. Et parce que nous savons que la tangente de 60 degrés est la racine carrée de trois, c’est une autre aire pour laquelle nous pouvons trouver une valeur exacte. L’aire de notre triangle est trois fois 39 au carré sur quatre multipliée par la tangente de 60 degrés. Et nous pourrions donner une forme exacte pour l’aire de ce triangle. Cependant, ce n’est pas nécessaire ; nous allons simplement écrire son expansion décimale. C’est égal à 658,612 etc... unités carrées.

Nous pouvons maintenant trouver l’aire de la région intérieure colorée dans notre diagramme. Ce sera l’aire du carré moins l’aire de notre triangle. Et si nous calculons cela en utilisant les valeurs exactes, nous obtenons 862,387 etc… en unités carrées.

Maintenant, nous sommes enfin prêts à trouver toute l’aire de la région colorée. Ce sera l’aire de la région extérieure ajoutée à l’aire de notre région intérieure, 𝑅 plus 𝐼. Et encore une fois, si nous calculons cela en utilisant les valeurs exactes, nous obtenons 2197,215 etc… unités carrées.

Mais rappelez-vous, la question veut que nous donnions notre réponse au dixième près. Cela signifie à une décimale près. Nous devons donc déterminer si nous devons arrondir vers le haut ou vers le bas. Pour ce faire, nous devons regarder notre deuxième décimale. Elle équivaut à un, ce qui est inférieur à cinq. Donc, nous allons arrondir vers le bas. Et cela nous donne notre réponse finale de 2197,2 unités carrées.

Dans cette question, nous avons pu utiliser notre formule pour trouver l’aire des polygones réguliers afin de trouver l’aire d’une région colorée qui nous est donnée dans la figure. Au dixième près, nous avons pu montrer que cela était égal à 2197,2 unités carrées.

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