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Vidéo de question : Faire pivoter une pierre dans un cercle vertical Physique

Une pierre d’une masse 1,6 kg est mise en rotation dans un cercle vertical avec un vecteur vitesse angulaire constant de 6,1 rad/s. La pierre est attachée à une corde uniforme de longueur 0,33 m, comme le montre la figure. La longueur de la corde est la même que le rayon du cercle tout au long du mouvement de la pierre. Quel est le rapport entre la force maximale et la force minimale que la corde peut appliquer à la pierre ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.

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Transcription de vidéo

Une pierre d’une masse 1,6 kilogrammes est mise en rotation dans un cercle vertical avec un vecteur vitesse angulaire constant de 6,1 radians par seconde. La pierre est attachée à une corde uniforme d’une longueur 0,33 mètres, comme le montre la figure. La longueur de la corde est la même que le rayon du cercle tout au long du mouvement de la pierre. Quel est le rapport entre la force maximale et la force minimale que la corde peut appliquer à la pierre ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.

Dans notre schéma, nous voyons cette pierre qui est mise en rotation par une corde dans un cercle vertical ; c’est-à-dire que la pierre ne se déplace que dans un plan entièrement vertical. La première partie de notre question parle d’un rapport de forces sur la pierre. Lorsque nous pensons aux forces sur la pierre, à tout moment, il y en a deux.

Tout d’abord, il y a la force de tension - nous l’appellerons 𝑇 majuscule - qui tire la pierre vers le centre du cercle. La deuxième force agissant toujours sur la pierre est le poids ; c’est la masse multipliée par l’accélération due à la gravité. Alors que le poids 𝑚 fois 𝑔 est toujours le même, peu importe où la pierre est sur son chemin circulaire, ce n’est pas la même chose pour la force de tension. Au lieu de cela, la force de tension varie lorsque la pierre se déplace tout au long de cet arc. Nous pourrions penser à la force de tension comme la force qui induit un mouvement circulaire sur cette pierre. Elle tire toujours sur la pierre juste assez fort pour que la pierre suive bien un cercle vertical.

La première partie de notre question porte sur une force maximale et minimale que la corde peut appliquer à la pierre. Cette force est la force que nous avons appelée 𝑇 majuscule, la force de tension. Parce que la force de tension tire toujours la pierre vers le centre de son arc de cercle, nous disons qu’il s’agit d’une force centripète ou dirigée vers le centre. En général, la force centripète 𝐹 indice c agissant sur une masse 𝑚 se déplaçant dans un cercle de rayon 𝑟 est égale à 𝑚 fois 𝑟 fois la vitesse angulaire de cet objet au carré.

Notez que dans l’énoncé de notre problème, on nous dit que notre pierre se déplace avec un vecteur vitesse angulaire constant. En d’autres termes, tout au long de son trajet vertical, 𝜔 est le même. De plus, la masse de la pierre est constante, de même que le rayon 𝑟 de sa trajectoire circulaire. Cela signifie que pour toute position de la pierre n’importe où le long de cette trajectoire circulaire, la force centripète 𝐹 indice c agissant sur la pierre est la même.

Mais, il faut faire attention ici, cela ne signifie pas que la force de tension 𝑇 majuscule est toujours la même. En fait, la force de tension varie tout au long de la trajectoire circulaire de la pierre. Cela se produit de sorte que la combinaison de la force de tension 𝑇 et le poids 𝑚 fois 𝑔 donne une force centripète globale constante.

Puisque notre question porte sur la force maximale et minimale que la corde peut appliquer à la pierre, nous voulons penser aux endroits de la trajectoire de la pierre où 𝑇, la force de tension, a une valeur maximale et une valeur minimale.

Considérons le moment où la pierre est à sa hauteur maximale. Comme toujours, le poids agit directement vers le bas sur la pierre. Et ici, nous voyons que le poids est parfaitement alignée avec la force de tension. On pourrait dire que dans cette position, le poids sur la pierre applique une force centripète significative. Par conséquent, à ce moment, la force de tension 𝑇 - c’est-à-dire la force de la corde sur la pierre - n’a pas besoin d’être très importante pour que la force centripète globale soit égale à la masse de la pierre multipliée par son rayon de révolution multiplié par sa vitesse angulaire au carré.

En fait, comme la force de tension et le poids sont parfaitement alignées à ce moment-là, lorsque la pierre est verticalement au-dessus de son centre de rotation, la tension dans la corde est minimale. Cette force que nous avons appelée 𝑇 indice min est la force minimale que la corde peut appliquer à la pierre.

Ensuite, pensons aux forces impliquées lorsque la pierre est à sa position la plus basse. Comme toujours, la force de tension dans la corde tire la pierre vers le centre du cercle. Mais maintenant, le poids 𝑚 fois 𝑔 sur la pierre pointe dans le sens opposé à la force de tension. Mais rappelons-nous que la force centripète totale agissant sur la pierre doit être constante.

Ici, non seulement la force de tension dans la corde doit maintenir la pierre en mouvement circulaire, mais elle doit également vaincre le poids qui est opposée à la force de tension. Pour cette raison, la tension dans la corde est la plus élevée lorsque la pierre est dans sa position la plus basse. Ce que nous avons appelé 𝑇 indice max est la force maximale de la corde sur la pierre.

Pour commencer à comparer 𝑇 indice max et 𝑇 indice min, faisons un peu d’espace à l’écran. Si la force centripète agissant sur la pierre est 𝐹 indice c, nous avons dit que 𝐹 indice c doit être constante tout au long du mouvement de la pierre. La raison en est que ni la masse de la pierre ni son rayon de révolution ni sa vitesse angulaire ne varient.

À chaque instant, 𝐹 indice c est égal à la somme de la force de tension dans la corde et du poids sur la pierre. Si nous considérons que les forces orientées vers le bas sont des forces dans le sens positif, alors au point le plus élevé de la pierre, la force centripète est égale à 𝑇 indice min, la tension minimale dans la corde, plus 𝑚 fois 𝑔. Ici, nous additionnons ces deux forces ensemble parce qu’elles pointent toutes les deux dans le même sens.

Si nous regardons ensuite la pierre à sa position la plus basse, nous pouvons dire que la même force centripète est égale à 𝑚 fois 𝑔 - c’est positif car elle est orienté vers le bas - moins 𝑇 indice max. Ce que nous constatons alors est que 𝑇 indice min plus 𝑚𝑔 est égal à 𝑚𝑔 moins 𝑇 indice max. Fondamentalement, nous avons alors deux équations, une pour 𝑇 indice min et une pour 𝑇 indice max.

Dans notre équation pour 𝑇 indice min, si nous soustrayons 𝑚 fois 𝑔 des deux côtés, alors sur le côté droit, 𝑚 fois 𝑔 moins 𝑚 fois 𝑔 s’annule. Et nous constatons que moins 𝑚 fois 𝑔 plus 𝑚 fois 𝑟 fois 𝜔 au carré est égal à 𝑇 indice min. En factorisant un 𝑚 et en réarrangeant cela légèrement, nous constatons que 𝑇 indice min est égal à 𝑚 fois l’ensemble 𝑟 fois 𝜔 au carré moins 𝑔.

Maintenant, trouvons une expression similaire pour 𝑇 indice max. Si nous ajoutons 𝑇 indice max aux deux côtés de la deuxième équation, alors 𝑇 indice max s’annule à droite. Et ensuite, nous soustrayons 𝑚 fois 𝑟 fois 𝜔 au carré des deux côtés, ce qui annule ces deux termes à gauche. Enfin, nous pouvons factoriser un 𝑚 du côté droit. Et nous constatons que 𝑇 indice max est égal à 𝑚 fois l’ensemble 𝑟𝜔 au carré plus 𝑔. Notez alors que la seule différence entre 𝑇 indice min et 𝑇 indice max dans ces équations est le signe devant l’accélération due à la gravité 𝑔.

Quoi qu’il en soit, nous voulons trouver le rapport de ces forces. Autrement dit, nous voulons déterminer 𝑇 indice max divisé par 𝑇 indice min. Notez que lorsque nous écrivons cette fraction, la masse 𝑚 de notre pierre est commune au numérateur et au dénominateur, et donc elle s’annule. Notre résultat sera le même quelle que soit la masse de notre pierre. Maintenant, le rayon 𝑟 du chemin de notre pierre est de 0,33 mètres. La norme du vecteur vitesse angulaire de notre pierre, 𝜔, est de 6,1 radians par seconde. Et 𝑔, l’accélération due à la gravité, est de 9,8 mètres par seconde au carré.

En insérant toutes ces valeurs, nous sommes maintenant prêts à calculer notre rapport. La réponse, arrondie à une décimale près, est 8,9. Notez qu’il n’y a pas d’unités dans ce résultat, car c’est un rapport de deux valeurs qui ont la même unité. Le rapport entre la force maximale et la force minimale que la corde peut appliquer à la pierre est de 8,9.

Voyons maintenant la deuxième partie de notre question.

Quelle est la force que la corde applique sur la pierre lorsque la corde fait un angle 𝜃 égal à 33 degrés au-dessus de l’horizontale ? Donnez votre réponse au newton le plus proche.

Nous pouvons maintenant penser que la pierre est dans cette position, de sorte que nous voulons déterminer la tension 𝑇 le long de la corde à cet angle 𝜃 de 33 degrés. Pour nous aider, considérons ce schéma rapproché. La tension dans la corde agit vers le centre de rotation de la pierre, c’est ici, et le poids agit toujours vers le bas. Nous avons dit que pour que la pierre suive un arc de cercle, elle doit subir une force centripète constante. À tous les points du mouvement de la pierre, cette force est égale à une combinaison de la tension dans la corde et du poids 𝑚 fois 𝑔. À cette position particulière de notre pierre, nous voulons voir comment ces deux forces interagissent.

Notez que le poids sur la pierre peut être divisée en composantes parallèle et perpendiculaire à la corde. Cette composante parallèle, car elle pointe dans le même sens que la tension dans la corde, contribue à la force centripète globale sur la pierre. Si nous appelons cette composante du poids 𝐹 indice 𝑤, nous pouvons écrire que cette composante ajoutée à la tension dans la corde est égale à la force centripète totale sur la pierre. La raison pour laquelle nous additionnons ces deux forces ensemble est parce que nous voyons qu’elles pointent dans le même sens, vers le centre de la rotation de la pierre.

Dans cette partie de notre question, nous voulons résoudre ce que nous avons appelé 𝑇 dans cette équation, la tension dans la corde. En réarrangeant un peu cette équation, on voit que 𝑇 est égal à 𝑚 fois 𝑟 fois 𝜔 au carré moins 𝐹 indice 𝑤.

D’après ce qu’on nous dit dans l’énoncé de notre problème, nous connaissons la masse de la pierre, le rayon de son arc de cercle et la vitesse angulaire avec laquelle elle se déplace. Ce que nous ne connaissons pas encore, c’est 𝐹 indice 𝑤. Si nous considérons le triangle rose dont 𝐹 indice 𝑤 est un côté, nous notons que ce triangle rectangle est similaire à ce triangle rectangle que nous avons dessiné en orange. Par conséquent, cet angle ici dans le triangle orange, 33 degrés, est le même que cet angle ici dans le triangle rose.

Maintenant, si nous avons un triangle rectangle et que l’un des angles intérieurs s’appelle 𝜃, alors le côté du triangle opposé à 𝜃 - nous l’avons appelé 𝑜 - est égal à l’hypoténuse du triangle rectangle ℎ fois le sinus de l’angle 𝜃. Dans notre triangle rose, 𝐹 indice 𝑤 est le côté opposé à cet angle connu de 33 degrés. Pour ce triangle rectangle, l’hypoténuse est 𝑚 fois 𝑔, la masse de la pierre fois l’accélération due à la gravité.

Nous pouvons écrire alors que 𝐹 indice 𝑤, la composante du poids qui agit dans le même sens que la force de tension, est égale à la masse de la pierre multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par le sinus de 33 degrés. Nous pouvons insérer ce résultat pour 𝐹 indice 𝑤 dans notre équation pour la tension 𝑇. Si nous le faisons et que nous tenons compte de la masse de notre pierre, commune aux deux termes du côté droit, nous constatons que la tension dans la corde dans cette position est égale à la masse de la pierre multipliée par l’ensemble 𝑟𝜔 au carré moins 𝑔 fois le sinus de 33 degrés.

En libérant un peu d’espace pour pouvoir remplacer ces variables, nous savons que la masse de notre pierre est de 1,6 kilogrammes. Le rayon du cercle décrit par la pierre est de 0,33 mètres. Et la vitesse angulaire de la pierre est de 6,1 radians par seconde. Et 𝑔 est de 9,8 mètres par seconde au carré.

En calculant toute cette expression, arrondie au newton le plus proche, nous obtenons un résultat de 11 newtons. C’est la force que la corde applique à la pierre lorsque la corde fait un angle de 33 degrés au-dessus de l’horizontale.

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