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Vidéo de question : Résolution d’un triangle à l’aide de la loi des sinus et loi des cosinus Mathématiques

𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que 𝑎 = 13,8 cm, 𝑏 = 15,9 cm et d’angle 𝑚∠𝐴 = 28°. Déterminez toutes les valeurs possibles des autres longueurs et angles, en arrondissant les longueurs au centième près et les angles à la seconde d’arc près.

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Transcription de vidéo

𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que le côté 𝑎 mesure 13,8 centimètres, le côté 𝑏 mesure 15,9 centimètres et l’angle 𝐴 mesure 28 degrés. Déterminez toutes les valeurs possibles des autres longueurs et angles, en arrondissant les longueurs au centième près et les angles à la seconde d’arc prés.

Nous savons qu’une des façons de calculer les côtés et angles inconnus d’un triangle consiste à utiliser la loi des sinus. D’après cette formule, 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵 égale 𝑐 sur sinus 𝐶, où les lettres majuscules correspondent aux angles et les lettres minuscules sont les longueurs des côtés opposés à ceux-ci. Dans cette question, on nous donne les longueurs des côtés 𝑎 et 𝑏, qui sont 13,8 et 15,9 centimètres, respectivement. Nous cherchons donc à calculer la longueur du côté 𝑐. On nous donne aussi la mesure de l’angle 𝐴, 28 degrés. Nous cherchons donc à calculer les mesures des angles 𝐵 et 𝐶.

Commençons par calculer la mesure de l’angle 𝐵. En mettant dans la formule les valeurs connues, nous avons 13,8 sur sinus de 28 degrés égale 15,9 sur le sinus de l’angle 𝐵. Nous pouvons faire un produit en croix, ce qui donne 13,8 fois le sinus de l’angle 𝐵 égale 15,9 fois le sinus de 28 degrés. Nous pouvons alors diviser les deux côtés de cette équation par 13,8. Nous pouvons alors prendre la réciproque ou l’arcsinus de chaque côté de cette équation. L’angle 𝐵 est égal à 32,7458 etc. Il faut donner les angles à la seconde d’arc près. En utilisant les touches degrés, minutes et secondes de la calculatrice, nous trouvons 32 degrés, 44 minutes et 45 secondes. Ceci est une valeur possible pour l’angle 𝐵.

Nous savons que la somme des trois angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Cela signifie que 28 degrés plus 32 degrés, 44 minutes et 45 secondes plus l’angle 𝐶 égale 180 degrés. Nous additionnons les mesures des angles 𝐴 et 𝐵, puis nous retranchons 60 degrés, 44 minutes et 45 secondes de chaque côté de l’équation. L’angle 𝐶 est donc égal à 119 degrés, 15 minutes et 15 secondes. Pour un angle 𝐵 de 32 degrés, 44 minutes et 45 secondes, l’angle 𝐶 mesure 119 degrés, 15 minutes et 15 secondes.

Nous pouvons utiliser une nouvelle fois la loi des sinus pour calculer la longueur du côté 𝑐. 13,8 divisé par le sinus de 28 degrés est égal à 𝑐 divisé par le sinus de 119 degrés, 15 minutes et 15 secondes. Nous pouvons alors multiplier les deux côtés de l’équation par le sinus de 119 degrés, 15 minutes et 15 secondes. Nous obtenons 𝑐 égale 25,6457 et quelques. Le côté 𝑐 mesure 25,65 centimètres au centième près. Nous avons trouvé un ensemble de valeurs possibles pour les angles 𝐵 et 𝐶 et le côté 𝑐.

On pourrait croire que cet exercice est terminé. Seulement, quand nous résolvons un problème de ce type, il faut penser au graphique du sinus ou au cercle trigonométrique. Nous y voyons qu’il existe deux angles entre zéro et 180 degrés dont le sinus prend la même valeur. Nous pouvons calculer cette deuxième valeur en retranchant de 180 degrés la mesure de l’angle 𝐵 calculée plus tôt. Nous obtenons 147 degrés, 15 minutes et 15 secondes. Il s’agit d’une deuxième valeur possible pour l’angle 𝐵.

Nous pouvons alors utiliser une nouvelle fois que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. 28 degrés plus 147 degrés, 15 minutes et 15 secondes plus l’angle 𝐶 égale 180 degrés. Nous pouvons donc calculer la mesure de l’angle 𝐶 en retranchant 175 degrés, 15 minutes et 15 secondes de 180 degrés. Nous obtenons quatre degrés, 44 minutes et 45 secondes. Pour un angle 𝐵 de 147 degrés, 15 minutes et 15 secondes, l’angle 𝐶 mesure quatre degrés, 44 minutes et 45 secondes.

Nous allons alors utiliser de nouveau la loi des sinus pour calculer la valeur correspondante du côté 𝑐. 13,8 divisé par le sinus de 28 degrés est égal à 𝑐 divisé par le sinus de quatre degrés, 44 minutes et 45 secondes. Nous pouvons réécrire cette équation pour calculer la valeur de 𝑐. 𝑐 est égal à 2,4319 etc. En arrondissant au centième, nous trouvons 2,43 centimètres.

Nous avons trouvé deux ensembles de valeurs possibles pour les longueurs et angles inconnus. Soit l’angle 𝐵 mesure 32 degrés, 44 minutes et 45 secondes ; l’angle 𝐶 119 degrés, 15 minutes et 15 secondes ; et le côté 𝑐 mesure 25,65 centimètres. Soit l’angle 𝐵 mesure 147 degrés, 15 minutes et 15 secondes ; l’angle 𝐶 quatre degrés, 44 minutes et 45 secondes ; et le côté 𝑐 mesure 2,43 centimètres.

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