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Vidéo de la leçon : Proportionalité directe Mathématiques

Apprenez la définition, la terminologie et la notation autour de la proportionnalité directe puis découvrez comment repérer la proportionnalité directe. Répondez aux questions telles que « 𝑥 et 𝑦 sont directement proportionnelles. Trouvez la valeur de 𝑥 lorsque 𝑦 = 20 si 𝑥 = 5 lorsque 𝑦 = 3. »

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir la proportionnalité directe. Il y a un peu de terminologie et de notation à couvrir ainsi que le concept de base. Nous allons donc parler de ce que la proportionnalité directe est et comment l’exprimer. Et puis nous allons voir quelques questions typiques.

Tout d’abord, avant de parler de ce que c’est, parlons de ce que les gens l’appellent. 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥. Et ce petit symbole représentant un poisson signifie « est directement proportionnel à ». 𝑦 varie directement comme 𝑥 ou 𝑦 varie directement avec 𝑥. Ou 𝑦 est directement proportionnel à 𝑥. Ou même 𝑦 est égal à 𝑘 fois 𝑥. 𝑥 et 𝑦 varient directement. 𝑥 et 𝑦 sont directement proportionnelles. Ou 𝑦 est un simple multiple de 𝑥. Et ce dernier résume vraiment ce qui est au cœur de la proportionnalité directe. Une variable est juste un simple multiple de l’autre variable. Et évidemment cela renvoie à celle-ci. 𝑦 est un multiple simple. 𝑘 est une constante. D’accord, on l’appelle alors la constante de proportionnalité ou la constante de variation. Et généralement, les gens utilisent la lettre 𝑘. Mais vous pouvez utiliser une lettre différente selon l’endroit où vous vivez.

Donc il y a différentes façons que vous pouvez rencontrer ce concept dans une question. Et vraiment celui-ci, comme nous l’avons dit, 𝑦 est un simple multiple de 𝑥 ou 𝑦 est égal à 𝑘 fois 𝑥, ce sera la meilleure façon de le décrire. Mais malheureusement, c’est la façon dont vous êtes le moins susceptible de le rencontrer dans une question. Donc vous allez devoir apprendre à reconnaître toutes les autres formes.

Cette représentation graphique représente un exemple de proportionnalité directe. Il s’agit donc d’une représentation graphique du temps de trajet et d’un certain nombre de kilomètres en train à une vitesse constante. Plus vous parcourez de kilomètres, plus cela prend de temps. Si je fais un kilomètre de plus, il me faut autant de temps que j’ai déjà parcouru zéro ou 100 kilomètres.

Ainsi, la pente de cette droite est toujours constant. Et avec la proportionnalité directe, la droite passera toujours par l’origine. Donc quand je n’ai parcouru aucun kilomètre, cela ne prend pas de temps. Maintenant rappelez-vous, la pente de la droite est le changement des ordonnées lorsque j’augmente mon abscisse 𝑥 d’une unité. Donc dans ce cas, si j’augmente mon abscisse 𝑥 d’une unité, l’ordonnée 𝑦 augmente de 𝑘. Donc la pente est 𝑘, et l’équation de cette droite est 𝑦 est égale à 𝑘 fois 𝑥.

Et parce qu’elle coupe l’axe des en zéro, elle passe par l’origine, j’ajoute zéro à la fin, ce qui, en fait, n’ajoutant zéro, je n’ai pas besoin de l’écrire. Ainsi l’équation générale, de l’une de ces relations de proportionnalité directe est 𝑦 égale 𝑘 fois 𝑥.

Maintenant, en fonction de la vitesse de déplacement du train, cela affectera la valeur de 𝑘. Et juste un peu plus de terminologie, cette valeur de 𝑘 est parfois appelée la constante de proportionnalité ou la constante de variation.

Maintenant la première compétence que vous devez maîtriser est de reconnaître lorsque deux variables sont en proportionnalité directe. Donc vous pourriez avoir une question comme celle-ci.

La représentation graphique montre la relation entre les variables 𝑥 et 𝑦. Est-ce que 𝑦 varie directement avec 𝑥 ? Eh bien, c’est une relation linéaire. Et ça passe par l’origine. Donc ces deux faits ensemble nous disent, « Oui, 𝑦 est directement proportionnelle a 𝑥 ».

Il est donc assez facile à repérer. La seule chose que vous devez rechercher est les différentes formes de formulation. Donc ils auraient pu dire que 𝑦 varie directement comme 𝑥 ou sont 𝑥 et 𝑦 directement proportionnels ou est-ce que 𝑥 et 𝑦 varient directement même.

Un autre type de question qui vous demande de reconnaître si deux variables sont en proportionnalité directe ce serait quelque chose comme ça.

Les coordonnées de certains points sur une droite sont données dans le tableau des valeurs ci-dessous. Montre-t-il que 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥 ? Et puis dans notre tableau, nous avons 𝑥 est un lorsque 𝑦 est deux. 𝑥 est deux lorsque 𝑦 est quatre. 𝑥 est trois lorsque 𝑦 est six. 𝑥 est quatre lorsque 𝑦 est huit. Et 𝑥 est cinq lorsque 𝑦 est 10.

Maintenant avec chacune de ces paires de coordonnées, 𝑥 et 𝑦, nous pouvons voir que 𝑦 est toujours le double de la valeur de 𝑥, plus rien. Donc, la question dit que c’est une droite. Ainsi l’équation de la droite est 𝑦 égale deux fois 𝑥. Donc 𝑦 est toujours un simple multiple de 𝑥. Et quand 𝑥 est égal à zéro, alors 𝑦 sera deux fois zéro. Ce serait aussi zéro. Donc la droite passe par l’origine.

Et une autre façon de vérifier cela est que, chaque fois que l’abscisse diminue de un, alors l’ordonnée diminue de deux. Donc si je diminue l’abscisse 𝑥 de un à zéro, alors l’ordonnée correspondante diminuerait de deux à zéro. Donc de toute façon, nous avons deux façons différentes de vérifier si elle passe par l’origine. Et dans l’ensemble, ceci répond à nos deux critères. Donc 𝑦 est un simple multiple de 𝑥, et la droite passe par l’origine. Donc la réponse est oui, ceci montre que 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥.

Un autre exemple est le suivant, les coordonnées dans le tableau des valeurs ci-dessous montrent-elles que les variables 𝑥 et 𝑦 sont en proportionnalité directe ? Et puis nous avons les paires de coordonnées deux et six, quatre et 16, et six et 24. Donc le premier critère est si ceux-ci vont être en proportion directe ou en variation directe, alors 𝑦 va être un simple multiple de 𝑥. Alors travaillons sur le multiple pour chaque paire de coordonnées.

Lorsque 𝑥 est deux, 𝑦 est six. Ainsi l’ordonnée 𝑦 est trois fois l’abscisse 𝑥. Lorsque 𝑥 est quatre, 𝑦 est 16. Donc 𝑦 est égal à quatre fois la coordonnée 𝑥. Et quand 𝑥 est six, 𝑦 est 24. Donc 𝑦 est égal à quatre fois la coordonnée 𝑥 ici. Maintenant nous avons différentes valeurs ici. Parfois 𝑦 est égal à trois fois l’abscisse 𝑥. Parfois 𝑦 est égal à quatre fois l’abscisse 𝑥. Donc ce n’est pas seulement un simple multiple constant de 𝑥. Donc ce n’est pas une proportionnalité directe.

Et parce que les données ont enfreint notre première règle, nous n’avons même pas besoin de vérifier la deuxième règle pour voir si nous pensions qu’elle passerait par zéro, zéro, par l’origine.

En voici un autre.

Les coordonnées de certains points en droite sont données dans le tableau de valeurs ci-dessous. Cela montre-t-il que 𝑦 varie directement comme 𝑥 ? Et puis nous avons les paires de coordonnées trois, 11; six, 17; et neuf, 23.

Donc en regardant simplement les nombres, chaque fois que j’augmente l’abscisse 𝑥 de trois, la coordonnée correspondante augmente de six. Donc ces nombres soutiennent l’idée que ce qu’on dit dans la question est vrai, que les points sont sur une ligne droite. Mais vérifions simplement si elles passent par l’origine.

Eh bien, j’ai le point trois, 11. Donc si je retire trois de l’abscisse 𝑥, je dois retirer six de l’ordonnée 𝑦. Et cela me donne le point zéro, cinq. Donc la droite ne passe pas par l’origine. Donc c’est une ligne droite, mais elle ne passe pas par l’origine. Donc non, ceci ne montre pas que 𝑦 varie directement avec 𝑥.

En fait, en regardant les nombres, l’analyse des différences entre 𝑥 et 𝑦 nous indique que la pente était de deux. Et ceci nous dit qu’elle coupe l’axe des en cinq. Donc l’équation de cette droite est 𝑦 égale deux 𝑥 plus cinq. Ainsi toutes les relations de proportionnalité directe auraient à la fin un plus zéro plutôt que plus quelque chose de différent de zéro.

D’accord, voici trois questions pour vous d’essayer. Ce que je veux que vous fassiez est de mettre la vidéo en pause et de dire ensuite si ces trois situations représentent des relations de proportionnalité directe.

Bon, le premier est une relation linéaire. Et ça passe par l’origine. Alors oui, 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥. La seconde est une relation en ligne droite. Mais elle ne passe pas par l’origine. Donc non, 𝑦 ne varie pas directement avec 𝑥. Et la troisième, le coût en dollars des tarifs pour une compagnie de taxi est 1,5 fois le nombre de kilomètres. Nous avons donc cette relation linéaire. Mais parce que nous ajoutons toujours trois au résultat, cela signifie que l’ordonnée si vous voulez, si nous en tracions la représentation graphique, ne serait pas toujours un simple multiple de l’abscisse parce que nous déplacerions toute la ligne vers le haut par trois.

Plus important encore, si nous faisions zéro kilomètre, 1,5 fois zéro serait zéro. Mais ensuite, ajoutez trois à cela, l’ordonnée 𝑦, le tarif, serait de trois dollars. Donc, la droite ne passe pas par l’origine, ce qui signifie que ce n’est pas une relation de proportionnalité directe.

D’accord, nous pouvons maintenant reconnaître des relations de proportionnalité directe. Explorons-les plus en détail. Maintenant nous devons être en mesure de travailler avec des équations qui représentent des relations de proportionnalité directe.

Donc cette question dit ici, « Étant donné que 𝑦 varie directement avec 𝑥, écrivez une équation pour 𝑦 en fonction de 𝑥 si 𝑘 est la constante de proportionnalité ».

Ainsi quand on dit que 𝑦 varie directement avec 𝑥, ceci signifie que 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥. Nous pouvons donc écrire cela comme ça. Et cela signifie que 𝑦 sera toujours égal à un certain nombre, un nombre constant, fois 𝑥. Et la question nous dit que 𝑘 dans ce cas est la constante de proportionnalité. Donc la valeur que nous pouvons mettre ici est 𝑘. Donc notre réponse est 𝑦 est égal à 𝑘 fois 𝑥.

Maintenant dans certaines questions, on vous dit d’écrire une équation pour 𝑦 en fonction de 𝑥. Et puis on vous donne quelques informations de base qui vous aideront à le faire.

On nous dit donc que 𝑦 et 𝑥 sont directement proportionnelles et que lorsque 𝑥 est égal à 12, alors 𝑦 est égal à 36. Nous allons donc commencer par dire que si 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥, donc cela signifie que 𝑦 est égal à 𝑘 fois 𝑥, un nombre fois 𝑥. Mais dans ce cas, la question nous a dit que lorsque l’abscisse 𝑥 est 12, l’ordonnée 𝑦 est 36. Nous pouvons donc les intégrer à notre équation. Nous obtenons donc 36 est égal à 𝑘 fois 12. Donc c’est juste un point spécifique sur la droite.

Maintenant, en divisant les deux côtés par 12, nous pouvons annuler dans le membre droit. 12 divisé par 12 est un. 12 divisé par 12 est un, donc il ne nous reste plus que 𝑘. Et 36 divisé par 12 dans le membre gauche est trois, donc 𝑘 est égal à trois. Eh bien, maintenant que nous savons que 𝑘 vaut trois, nous pouvons l’écrire dans notre équation d’origine. 𝑦 est égal à trois fois 𝑥.

Donc un autre exemple serait, écrivez une équation pour 𝑦 en fonction de 𝑥 étant donné que 𝑦 varie directement comme 𝑥 et 𝑥 est égal à 35 lorsque 𝑦 est égal à neuf. Encore une fois, nous pouvons dire que 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥. Et cela signifie que 𝑦 est juste un nombre constant - appelons-le 𝑘 -fois 𝑥. Mais nous avons reçu un couple spécifique de 𝑥 et 𝑦 dans la question. Nous pouvons donc mettre ces valeurs pour 𝑥 et 𝑦 pour déterminer ce que 𝑘 est. Donc 𝑦 est neuf et 𝑥 est 35, donc neuf est égal à 𝑘 fois 35.

Maintenant je peux diviser les deux membres par 35 pour me laisser avec juste 𝑘 au membre droit. Et 𝑘 est égal à neuf sur 35. Eh bien, cela ne s’annulera pas. Donc parfois 𝑘 apparaît comme un nombre pas si beau. Dans ce cas, ce n’est qu’une fraction. Parfois c’est un entier. Parfois c’est un nombre positif. Parfois c’est un nombre négatif. Donc dans ce cas, notre équation est 𝑦 égale neuf trente-cinquièmes de 𝑥.

Maintenant certaines questions vous demanderont non seulement d’écrire l’équation, mais ensuite de lui substituer une valeur particulière et de résoudre cette équation.

Nous avons donc reçu 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥. Lorsque 𝑥 est sept, alors 𝑦 est 21. Et nous devons trouver la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à 11. Donc l’approche générale à cet égard consiste, tout d’abord, à calculer l’équation puis à remplacer et à trouver la valeur de 𝑦. Donc 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥 signifie que 𝑦 est un nombre constant fois 𝑥 - appelons-le 𝑘. Et on nous dit spécifiquement que lorsque 𝑥 est sept, alors 𝑦 est 21. Nous pouvons donc mettre ces valeurs pour 𝑥 et 𝑦. Et cela nous donne 21 est égal à 𝑘 fois sept.

Donc, si nous divisons maintenant les deux membres par sept pour déterminer la valeur de 𝑘, cela nous laisse avec 𝑘 au membre droit. Et 21 divisé par sept est trois, donc 𝑘 est égal à trois. Ainsi l’équation qui régit cette relation est 𝑦 égale trois fois 𝑥.

Alors maintenant nous devons continuer et trouver la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à 11. Nous pouvons donc insérer cette valeur de 𝑥 dans l’équation. Donc nous avons 𝑦 est égal à trois fois 11, ce qui signifie que lorsque 𝑥 est 11, 𝑦 est 33.

Maintenant ils peuvent rendre ce genre de question un peu plus difficile en vous demandant de trouver la valeur de 𝑥 étant donné une valeur particulière de 𝑦.

Donc nous avons 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥. Et quand 𝑥 est égal à cinq, 𝑦 est égal à trois. Trouvez la valeur de 𝑥 lorsque 𝑦 égale 20. On recommence donc au même endroit. 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥 signifie que 𝑦 est égale à un nombre constant fois 𝑥, que nous appelons 𝑘 dans ce cas. Ensuite nous remplacerons la paire particulière de valeurs 𝑥 𝑦 qui nous a été donnée dans notre équation pour trouver la valeur de 𝑘. Et cela signifie que trois est égal à 𝑘 fois cinq.

Maintenant en divisant les deux membres par cinq pour trouver la valeur de 𝑘 nous laisse avec 𝑘 au membre droit. Et cela nous dit que 𝑘 est égal aux trois cinquièmes. Maintenant 𝑘 est égal aux trois cinquièmes et 𝑦 est égal à 𝑘 fois 𝑥. Cela signifie que notre formule générale est 𝑦 est égal à trois cinquièmes fois 𝑥.

Et nous pouvons utiliser cette formule pour trouver la valeur de 𝑥 lorsque 𝑦 est égal à 20. Nous avons donc 20 est égal à trois cinquièmes fois 𝑥. Eh bien, si je multiplie les deux membres de cela par cinq, cinq fois 20 est 100. Et trois sur cinq fois cinq, les cinq s’annuleront, nous laissant juste avec trois. Ainsi, le membre droit devient juste trois 𝑥. Et puis si je divise les deux membres de cela par trois, j’ai 𝑥 est égal à 100 divisé par trois. Donc, c’est 33 et un tiers.

Donc, cette question ressemblait beaucoup à la dernière. Mais le problème était que nous avions ici l’inconnue et que nous devions résoudre certaines choses pour déterminer la valeur de 𝑥. Maintenant nous aurions pu organiser notre équation d’une manière tout à fait différente. Alors, tournons ce tour. Au lieu de dire que 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥, cela signifie que 𝑦 est égal à 𝑘 fois 𝑥, disons que cela signifie que 𝑥 est égal à 𝑘 fois 𝑦. Et bien sûr que c’est vrai. Ce sera une valeur différente de 𝑘 pour cette équation. Donc je vais en fait utiliser une lettre différente pour la représenter, juste pour faire valoir ce point. Mais revoyons ce calcul.

Donc à partir du début, 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥 signifie que 𝑥 est égal à un certain nombre fois 𝑦. Nous allons donc appeler cela 𝑐 dans ce cas. Et on nous dit que lorsque 𝑥 est cinq, 𝑦 est trois. Ceci signifie donc que cinq est égal à 𝑐 fois trois. Nous divisons donc les deux membres par trois. Nous avons 𝑐 est égal à cinq tiers. Et cela signifie que 𝑥 est égal à cinq tiers de 𝑦. Et c’est le cas avec toutes les relations directement proportionnelles. Et en fait, nous pourrions trouver deux équations différentes pour décrire cette relation. Nous avons proposé 𝑦 égale trois cinquièmes de 𝑥 ici, mais aussi 𝑥 égale cinq tiers de 𝑦. Ces deux constantes sont ici l’inverse l’une de l’autre . Et, vous savez, dans ce cas particulier, si nous utilisons le deuxième et que nous avons une valeur de 𝑦, nous pourrions- nous pourrions facilement mettre 𝑦 est égal à 20 et ensuite nous allons droit à notre réponse pour 𝑥, ce qui rend cette partie du calcul un peu plus facile. Donc parfois il est facile de le faire d’une manière. Parfois il est plus facile de le faire autrement.

Une dernière question alors.

Les variables 𝑥 et 𝑦 sont directement proportionnelles. Certaines valeurs sont indiquées dans la table des matières ci-dessous. Trouvez la constante de variation et la valeur de 𝑥 lorsque 𝑦 est égal à 19. Nous savons donc que 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥. Et cela nous dit que 𝑦 est égal à quelque constante fois 𝑥. Et la question nous a donné trois paires de valeurs. Lorsque 𝑥 est trois, 𝑦 est 4,5. Lorsque 𝑥 est six, 𝑦 est neuf. Et quand 𝑥 est 10, 𝑦 est 15. Nous pouvons donc choisir ceux que nous aimons afin de déterminer cette constante.

Donc je vais juste utiliser quand 𝑥 est six, 𝑦 est neuf, parce qu’ils sont comme des nombres relativement faciles. Et puis cela me donne neuf est égal à 𝑘 fois six. Donc en divisant les deux membres par six, j’ai 𝑘 est égal à neuf sur six, qui sont tous deux divisibles par trois. Donc cela devient trois sur deux. Donc notre constante de variation est de trois sur deux.

Maintenant il convient de noter que bien que je vous ai dit cette petite astuce de faire cela dans le sens inverse pour faciliter les calculs dans la question précédente, vous devez être prudent. Dans la plupart de ces questions, ils s’attendent à ce que vous fassiez 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥 et 𝑦 est égale à 𝑘 fois 𝑥. Si vous faites le calcul dans l’autre sens, 𝑥 est directement proportionnelle à 𝑦, et vous découvrez cette constante de variation, vous obtiendrez une valeur différente, l’inverse de la valeur que vous recherchez. Quoi qu’il en soit, cela nous donne une équation de 𝑦 égale trois sur deux 𝑥, que nous pouvons réorganiser en 𝑥 égale deux sur trois 𝑦. Et remplacer en 𝑦 égale 19 nous donne 𝑥 est 12 et deux tiers.

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