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Vidéo de question : Intégrer une fonction exponentielle Mathématiques

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par ∫4𝜋e^(3𝑥) 𝑑𝑥.

03:20

Transcription de vidéo

Déterminez l’intégrale de quatre 𝜋𝑒 puissance trois 𝑥.

Pour intégrer quatre 𝜋𝑒 puissance trois 𝑥, on sait qu’il existe une formule. En effet, on sait que l’intégrale de 𝑒 puissance 𝑎𝑥 plus 𝑏 est égale à un sur 𝑎, fois 𝑒 puissance 𝑎𝑥 plus 𝑏, plus 𝑐. Et ceci est vrai quand 𝑎 est différent de zéro. Ceci provient du fait que si vous dérivez 𝑒 puissance 𝑎𝑥 plus 𝑏, vous obtenez 𝑎𝑒 puissance 𝑎𝑥 plus 𝑏. Et on trouve cette dérivée en utilisant la règle de dérivation en chaîne.

Alors, on dispose maintenant d’une formule pour intégrer 𝑒 puissance 𝑎𝑥 plus 𝑏, qu’on peut déduire de la dérivée de 𝑒 puissance 𝑎𝑥 plus 𝑏. Il faut faire attention ici à ne pas oublier le c qu’on doit ajouter évidemment puisqu’il s’agit de notre constante d’intégration. Et pour vous rappeler pour quelle raison a-t-on besoin de cette constante d’intégration, prenant pour exemple la fonction 𝑦 égale quatre 𝑥 au carré plus trois. Si on dérive quatre 𝑥 au carré plus trois, la dérivée sera égale à huit 𝑥. Cependant, si je souhaite utiliser l’intégration pour retrouver la fonction d’origine, c’est-à-dire à quoi est égal 𝑦, alors je dois intégrer huit 𝑥. Alors, si j’utilise la règle de l’intégration des puissances, j’obtiens huit x puissance un plus un, puisque tu ajoutes un à l’exposant d’origine, puis divisé par ce nouvel exposant, ce qui nous donne huit 𝑥 au carré sur deux, soit quatre 𝑥 carré.

Revenons à notre fonction d’origine. On peut voir qu’on a effectivement retrouvé le terme quatre 𝑥 au carré. Cependant, on peut voir que nous n’avons pas le plus trois. Et c’est pourquoi on doit ajouter c, alors on ajoute notre constante d’intégration. En effet, si on cherche à trouver notre fonction y, on ne sait pas s’il y avait un nombre additionnel ajouté à la fonction d’origine. Ainsi, si notre fonction d’origine avait été quatre 𝑥 au carré plus neuf, ou bien quatre 𝑥 au carré moins 12, on aurait également obtenu une dérivée de huit 𝑥. C’est pour cette raison qu’on a besoin de la constante d’intégration, c’est pour dire que nous savons qu’un terme pourrait être ajouté au terme que nous avons déjà trouvé.

Alors, nous savons maintenant comment il faudra procéder. Alors passons au calcul de notre intégrale. Pour cela, on commence par examiner l’intégrande. Nous avons en fait notre 𝑒 puissance trois 𝑥 précédé de quatre 𝜋. Mais ceci ne changera pas la méthode d’intégration. Ce coefficient n’influence pas la procédure d’intégration. Donc allons-y intégrons. On se réfère à l’exemple qu’on a et à notre formule, on note que notre 𝑎 est égale à trois. Donc, on va utiliser cette formule et intégrer notre expression.

Alors quand on intègre quatre 𝜋𝑒 puissance trois 𝑥, on obtient quatre 𝜋 sur trois 𝑒 puissance trois 𝑥 et ensuite plus 𝑐. En fait, si on reprend notre formule générale, on peut voir qu’on doit diviser par 𝑎. Dans notre cas, on a un coefficient de quatre 𝜋, on obtient alors quatre 𝜋 sur 𝑎 qui est trois. Ensuite, le facteur 𝑒 puissance trois 𝑥 reste inchangé. Enfin, on n’oublie pas d’ajouter la constante d’intégration. Cela nous donne notre réponse finale que l’intégrale de quatre 𝜋𝑒 puissance trois 𝑥 est égale à quatre 𝜋 sur trois, fois 𝑒 puissance trois 𝑥, plus 𝑐.

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