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Vidéo de la leçon: Puissances et exposants pour les nombres rationnels Mathématiques • Première préparatoire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier la base et l’exposant dans les formules de puissance, à les écrire sous forme exponentielle et développée, et à déterminer la valeur des puissances simples.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier la base et l’exposant dans les formules de puissance, à les écrire sous forme exponentielle et développée, et à déterminer des puissances simples.

Nous commençons par rappeler que nous pouvons représenter la multiplication répétée comme une puissance. Par exemple, deux à la puissance cinq est définie comme le produit de cinq deux comme indiqué. Nous appelons deux la base et cinq l’exposant. Nous pouvons généraliser cette définition aux bases rationnelles. Dans ce cas, si 𝑛 est un entier positif et 𝑎 sur 𝑏 est un nombre rationnel, alors 𝑎 sur 𝑏 à la puissance 𝑛 sera le produit de 𝑛 facteurs de 𝑎 sur 𝑏. Par exemple, nous pouvons déterminer la valeur de un demi à la puissance trois, ou un demi au cube, en multipliant un demi par un demi et par un demi une autre fois. En rappelant notre règle de multiplication des fractions, nous multiplions simplement les numérateurs et les dénominateurs séparément. Cela nous donne un sur huit, ou un huitième.

Nous pouvons également suivre le même processus dans le sens inverse. Imaginons que nous voulons écrire la fraction 27 sur huit sous forme exponentielle. Nous commençons par décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers comme suit. 27 est égal à trois fois trois fois trois, et huit est égal à deux fois deux fois deux. Nous pouvons ensuite diviser la multiplication, ce qui nous donne trois sur deux fois trois sur deux fois trois sur deux. Ainsi, 27 sur huit est le produit de trois facteurs de trois sur deux et peut être écrit donc comme trois sur deux au cube.

Voyons maintenant quelques exemples impliquant les puissances des nombres rationnels.

Quelle terminologie utilisons-nous pour décrire le demi dans l’expression un demi à la puissance cinq et le cinq dans l’expression un demi à la puissance cinq ?

Nous commençons par rappeler qu’une expression de la forme 𝑎 à la puissance 𝑛 est appelée une expression exponentielle ou la puissance 𝑛 de 𝑎. Nous appelons 𝑎 la base de l’expression et 𝑛 l’exposant ou la puissance. Dans cette question, nous avons l’expression un demi à la puissance cinq. Le demi est le nombre qui est élevé à une puissance, et le cinq est la puissance elle-même. Ainsi, nous pouvons conclure que dans l’expression un demi à la puissance cinq, un demi est appelé la base de l’expression et cinq est appelé l’exposant de l’expression.

Dans notre prochain exemple, nous allons simplifier une expression en la réécrivant sous forme exponentielle.

Que représente quatre sur 11 fois quatre sur 11 multiplié par quatre sur 11 multiplié par quatre sur 11 multiplié par quatre sur 11 multiplié par quatre sur 11 multiplié par quatre sur 11 ? Est-ce le choix (A) quatre onzièmes à la puissance moins sept ? (B) Quatre onzièmes à la puissance sept. (C) Quatre onzièmes à la puissance neuf. (D) Sept onzièmes à la puissance quatre. Ou (E) vingt-huit onzièmes à la puissance sept.

Nous pouvons déterminer cette expression en multipliant tous les numérateurs et tous les dénominateurs. Cela nous donne l’expression suivante que nous pouvons calculer avec ou sans calculatrice. Cependant, les cinq choix de cette question sont donnés comme des puissances. Cela signifie qu’au lieu de déterminer la valeur de l’expression, nous pouvons la simplifier en rappelant que la multiplication répétée peut être écrite sous forme exponentielle. En général, dans cette question, nous multiplions quatre onzièmes sept fois. Nous savons que le produit de quatre onzièmes sept fois peut être écrit en élevant quatre onzièmes à un exposant de sept. Comme ça, nous pouvons conclure que la bonne réponse est le choix (B). L’expression dans la question est équivalente à quatre onzièmes à la puissance sept.

Nous allons maintenant utiliser les informations que nous avons vu jusqu’à présent pour définir une propriété clé des puissances des nombres rationnels. Puisqu’une puissance entière positive d’une base rationnelle est définie par une multiplication répétée, nous pouvons montrer que si 𝑛 est un entier positif et 𝑎 sur 𝑏 est un nombre rationnel, alors 𝑎 sur 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑛 divisé par 𝑏 à la puissance 𝑛. En d’autres termes, nous pouvons élever le numérateur et le dénominateur à une puissance séparément.

Voyons maintenant un exemple où nous pouvons appliquer cela.

Déterminez la valeur de moins six cinquièmes au cube, en donnant votre réponse sous forme irréductible.

Nous pouvons déterminer la valeur de l’expression de cette question avec deux méthodes. Premièrement, nous rappelons que moins six sur cinq au cube peut être écrite comme une multiplication répétée. C’est le produit de trois facteurs de moins six sur cinq comme indiqué. Nous pouvons alors multiplier les numérateurs et les dénominateurs séparément, ce qui nous donne moins six fois moins six fois moins six sur cinq fois cinq fois cinq. La multiplication de trois nombres négatifs donne une réponse négative, donc le numérateur est moins 216. Le dénominateur se simplifie à 125. La valeur de moins six sur cinq au cube est moins 216 sur 125.

Nous pouvons également déterminer la valeur de l’expression en rappelant la règle générale pour les puissances des nombres rationnels. Si 𝑛 est un entier positif et 𝑎 sur 𝑏 est un nombre rationnel, alors 𝑎 sur 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑛 divisé par 𝑏 à la puissance 𝑛. Cela signifie que nous pouvons réécrire moins six sur cinq au cube comme moins six au cube sur cinq au cube, ce qui se simplifie encore une fois en moins 216 sur 125.

Dans notre prochain exemple, nous considérons un problème avec un contexte.

Trouvez une expression pour le volume du cube donné dont la longueur des arêtes est deux 𝑥 sur cinq.

Nous commençons par rappeler que le volume d’un cube est donné par la longueur de son arête au cube. Cela signifie que si un cube a une arête de longueur 𝑙, alors son volume est 𝑙 multiplié par 𝑙 multiplié par 𝑙, qui est 𝑙 au cube. Dans cette question, on dit que la longueur d’une arête est de deux 𝑥 sur cinq. Cela signifie que son volume est donné par l’expression deux 𝑥 sur cinq au cube. Rappelant que pour tout nombre rationnel 𝑎 sur 𝑏 et tout entier 𝑛, 𝑎 sur 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑛 divisé par 𝑏 à la puissance 𝑛, notre expression se simplifie à deux 𝑥 au cube sur cinq au cube.

Ensuite, nous rappelons que pour multiplier les monômes, nous multiplions les coefficients et additionnons les puissances des variables. Cela signifie que deux 𝑥 fois deux 𝑥 fois deux 𝑥 est égal à huit 𝑥 au cube. Et puisque cinq au cube est 125, notre expression se simplifie à huit 𝑥 au cube sur 125. Il s’agit d’une expression du volume d’un cube dont les arêtes ont pour longueur deux 𝑥 sur cinq.

Nous allons maintenant voir un dernier exemple où nous devons déterminer la valeur d’une expression algébrique en utilisant les règles des puissances des nombres rationnels.

Si 𝑥 est égal à trois sur deux et 𝑦 est égal à moins quatre sur cinq, déterminez la valeur de 𝑥 au carré 𝑦 moins 𝑥𝑦 au cube, en donnant votre réponse sous forme irréductible.

Commençons cette question en remplaçant les valeurs de 𝑥 et 𝑦 dans notre expression. 𝑥 au carré 𝑦 moins 𝑥𝑦 au cube est donc égal à trois sur deux au carré multiplié par moins quatre sur cinq moins trois sur deux multiplié par moins quatre sur cinq au cube. Notre prochaine étape consiste à évaluer les puissances en rappelant que si 𝑛 est un entier positif et que 𝑎 sur 𝑏 est un nombre rationnel, alors 𝑎 sur 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑛 sur 𝑏 à la puissance 𝑛. Cela signifie que trois sur deux au carré est égal à trois au carré sur deux au carré, ce qui égale à neuf sur quatre. De la même manière, moins quatre sur cinq au cube est égal à moins quatre au cube sur cinq au cube. Et cela vaut moins 64 sur 125. Notre expression se simplifie donc à neuf sur quatre multiplié par moins quatre sur cinq moins trois sur deux multiplié par moins 64 sur 125.

Nous pouvons simplifier la première partie de notre expression en divisant le numérateur et le dénominateur par quatre. De la même manière, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur de la deuxième partie de notre expression par deux. Et notre expression se simplifie à moins neuf cinquièmes moins moins 96 sur 125. Cela se simplifie à son tour à moins neuf sur cinq plus 96 sur 125. Enfin, pour additionner des fractions, nous devons avoir les mêmes dénominateurs, ainsi nous multiplions le numérateur et le dénominateur de notre première fraction par 25. L’expression devient moins 225 sur 125 plus 96 sur 125. Enfin, nous additionnons les numérateurs, ce qui nous donne moins 129 sur 125. Comme il n’y a pas de facteurs communs à part un, c’est la valeur de 𝑥 au carré 𝑦 moins 𝑥𝑦 au cube comme une fraction sous sa forme irréductible.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en récapitulant les points clés. Nous avons vu que dans une expression de la forme 𝑏 à la puissance 𝑛, nous appelons 𝑏 la base et 𝑛 la puissance ou l’exposant. On définit les puissances entières positives par multiplication répétée, connue sous le nom de forme développée. En général, si 𝑎 sur 𝑏 est un nombre rationnel et 𝑛 est un entier positif, alors 𝑎 sur 𝑏 à la puissance 𝑛 est un produit de 𝑛 facteurs de 𝑎 sur 𝑏 comme indiqué. Enfin, nous avons vu que nous pouvons déterminer la puissance d’un nombre rationnel en trouvant séparément la puissance du numérateur et du dénominateur. Si 𝑛 est un entier positif et 𝑎 sur 𝑏 est un nombre rationnel, alors 𝑎 sur 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑛 divisé par 𝑏 à la puissance 𝑛.

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