Vidéo de la leçon: Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les dérivées des réciproques des fonctions trigonométriques. Nous allons apprendre à le faire en utilisant une dérivation implicite. Et donc, il est important que vous sachiez comment appliquer la règle de la chaîne, ayez une compréhension approfondie du fonctionnement de la dérivation implicite avant de visionner cette vidéo. Après avoir déduit les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques, nous examinerons l’application de ces dérivées à des fonctions trigonométriques réciproques plus complexes.

Avant de nous pencher sur le calcul de la dérivée de nos fonctions trigonométriques réciproques, nous allons simplement considérer rapidement la fonction 𝑦 égale le sinus de 𝑥. Rappelez-vous, 𝑥 est un nombre réel. Et bien sûr, puisque nous effectuons des calculs avec une fonction trigonométrique, nous devons nous assurer que cela est mesuré en radians. Pour cette fonction, on peut dire que 𝑥 est égal à arc sinus de 𝑦. Ce moins un en indice indique la fonction réciproque. Rappelez-vous cependant que si on ne restreint pas le domaine de arc sinus de 𝑥 ou arc sinus de 𝑥, la fonction va avoir plusieurs fois la même valeur. Par conséquent, nous limitons le domaine pour 𝑓 de 𝑥 égal à égal arc sinus de 𝑥. Et nous disons que 𝑥 doit être supérieure ou égale à moins un et inférieur ou égal à un.

Si nous revenons à la fonction 𝑥 est égale à arcsin 𝑦, nous pouvons donc voir que 𝑥 prendra des valeurs supérieures ou égales à moins 𝜋 sur deux et inférieur ou égal à plus 𝜋 sur deux. Nous devrons également rappeler la règle de la chaîne. Ceci dit que si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et que 𝑢 est une fonction dérivable de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous allons maintenant utiliser tout ce que nous avons vu ici pour trouver la dérivée de la fonction arc sinus.

Trouver la dérivée de la fonction arc sinus par rapport à 𝑥.

Nous dérivons le arc sinus de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous allons donc commencer par poser 𝑦 égal au arc sinus de 𝑥. Ensuite, nous pouvons dire que 𝑥 doit être égal au sinus de 𝑦. Nous allons dériver les deux côtés de cette équation par rapport à 𝑥. Nous disons donc que d sur d𝑥 de 𝑥 est égale à d sur d𝑥 du sinus de 𝑦. Eh bien, la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑥 est assez simple ; c’est un. Mais nous allons devoir utiliser la dérivation implicite qui est un cas particulier de la règle de la chaîne pour dériver le sinus de 𝑦 par rapport à 𝑥.

La dérivée du sinus 𝑦 par rapport à 𝑦 est cos 𝑦. Ainsi, la dérivée du sinus 𝑦 par rapport à 𝑥 est cos 𝑦 fois la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 qui est juste d𝑦 par d𝑥. Donc, nous voyons actuellement que l’on est égal à cos de 𝑦 fois d𝑦 par d𝑥. On divise les deux côtés de cette équation par cos 𝑦 pour former une équation pour la dérivée. Et on voit que d𝑦 sur d𝑥 est égal à un sur cos 𝑦. Maintenant, nous avons un petit problème. Nous voulons une expression pour la dérivée en fonction de 𝑥 et pas 𝑦.

Et rappelez-vous, nous avons dit que 𝑥 était égal au sinus de 𝑦. Nous utiliserons donc l’identité cos carré 𝜃 plus sin carré 𝜃 est égal à un. Et je l’ai remplacé 𝜃 avec 𝑦. Nous allons soustraire le sinus carré 𝑦 des deux côtés de l’équation. Et ensuite, nous prendrons la racine carrée des deux côtés. Et nous voyons que cos de 𝑦 est égal à plus ou moins racine carrée de un moins sinus carré 𝑦. Rappelez-vous, arcsin est limitée à l’intervalle fermé moins 𝜋 sur deux à plus 𝜋 sur deux.

Par notre définition, cela signifie 𝑦 doit être supérieure ou égale à moins 𝜋 sur deux et inférieur ou égal à plus 𝜋 sur deux qui, à son tour, signifie cos de 𝑦 doit être supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à un. Et c’est parce que dans l’intervalle 𝑦 est supérieur ou égal à moins 𝜋 sur deux et inférieur ou égal à plus 𝜋 sur deux. La plus petite valeur cos de 𝑦 que nous prendrons est zéro. Et la plus grande valeur est un. Et cela signifie que nous allons prendre plus la racine carrée de un moins sinus carré 𝑦 seulement.

Nous pouvons maintenant remplacer le sinus de 𝑦 par 𝑥. Et nous voyons que cos de 𝑦 est égal à la racine carrée de un moins 𝑥 au carré. Et, par conséquent, d𝑦 par d𝑥 est égal à un sur la racine carrée de un moins 𝑥 au carré. Et nous avons trouvé la dérivée du arc sinus de 𝑥. C’est un sur la racine carrée d’un moins 𝑥 au carré pour des valeurs de 𝑥 dans l’intervalle 𝑥 est supérieur à moins un et inférieur à un.

Dans notre prochain exemple, nous examinerons une méthode alternative qui nous aidera à trouver la dérivée de la fonction arc cosinus.

Cette fois, nous allons avoir besoin de connaître le théorème de la fonction réciproque. Cela dit que si 𝑓 est une fonction dérivable avec une réciproque continue 𝑓 prime et 𝑓 prime de 𝑎 n’est pas égal à zéro, alors non seulement 𝑓 est inversible mais elle a une réciproque dérivables. De telle sorte que la dérivée de la réciproque de 𝑓 en un certain 𝑏 est égal à 𝑓 de 𝑎 est égale à un sur la dérivée de 𝑓 de 𝑎. Ceci est parfois écrit simplement comme d𝑥 sur d𝑦 est égal à un sur d𝑦 sur d𝑥. Voyons comment cela pourrait nous aider lors de la dérivation de la fonction arc cosinus.

Trouver la dérivée de arccos de 𝑥 sur 𝑎 par rapport à 𝑥, où 𝑎 n’est pas égal à zéro.

Nous commencerons par poser 𝑦 égal à arccos de 𝑥 sur 𝑎. Cela peut être écrit alternativement comme 𝑥 sur 𝑎 est égal à cos de 𝑦. Et nous pouvons alors multiplier les deux côtés par 𝑎. Et on voit que 𝑥 est égal à 𝑎 fois cos de 𝑦. Nous allons dériver notre expression 𝑥 par rapport à 𝑦. En d’autres termes, nous allons trouver d𝑥 sur d𝑦. Nous allons utiliser le résultat général que la dérivée de cos de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins sinus de 𝑥. Et nous voyons que d𝑥 sur d𝑦 doit être égal à moins 𝑎 sinus de 𝑦.

Maintenant, avant de passer à l’étape suivante, nous devons rappeler le fait que, pour les fonctions trigonométriques réciproques, nous limitons leurs domaines. Et nous savons que le domaine de arccos de 𝑥 ou notre cos de 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à 𝜋. Cela signifie que 𝑦 doit être supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à 𝜋. Maintenant, nous allons utiliser le théorème de la fonction réciproque. Nous allons donc prendre des valeurs de 𝑦 supérieures à zéro et inférieures à 𝜋, telles que le sinus de 𝑦 ne soit pas égal à zéro.

En utilisant ce critère, nous pouvons utiliser d𝑥 sur d𝑦 égal un sur d𝑦 sur d𝑥 qui peut être réorganisé pour dire que d𝑦 sur d𝑥 est égal à un sur d𝑥 sur d𝑦. Et nous voyons que, pour notre cas, d𝑦 sur d𝑥 est égal à un sur moins 𝑎 sin de 𝑦. Et nous avons une expression pour la dérivée en fonction de 𝑦. Rappelez-vous, nous voulons que ce soit en fonction de 𝑥. Nous avons dit que 𝑥 sur 𝑎 est égal à cos de 𝑦. Nous utiliserons donc le fait que le sinus carré 𝑦 plus cos carré 𝑦 égal à un et on réarrange pour dire que le sinus 𝑦 est égal à plus ou moins la racine carrée d’un moins cos carré 𝑦. Lorsque 𝑦 est entre zéro et 𝜋, le sinus 𝑦 est supérieur à zéro. Donc, en fait, nous ne sommes intéressés que par la racine positive.

Nous allons donc remplacer ceci dans notre expression pour la dérivée. Et nous obtenons moins un sur 𝑎 fois la racine carrée de un moins cos carré 𝑦. Nous remplaçons alors cos 𝑦 par 𝑥 sur 𝑎 et le changement 𝑥 sur 𝑎 le tout au carré à 𝑥 carré sur 𝑎 carré. Et puis nous mettons 𝑎 dans la racine carrée. Et nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins un sur la racine carrée de 𝑎 au carré moins 𝑥 au carré. Donc d sur d𝑥 de arccos de 𝑥 sur 𝑎 est égal à moins un sur la racine carrée de 𝑎 au carré moins 𝑥 au carré pour des valeurs de 𝑥 entre moins 𝑎 et 𝑎.

Dans notre prochain exemple, nous examinerons comment appliquer le processus utilisé jusqu’à présent pour trouver la dérivée de la fonction arc tangente.

Trouver une expression pour la dérivée de 𝑦 est égal à arctan de 𝑎𝑥 en fonction de 𝑥.

Comme 𝑦 est égal à arctan de 𝑎𝑥, nous pouvons écrire 𝑎𝑥 comme étant égal à tan 𝑦. Nous allons utiliser la dérivation implicite pour trouver la dérivée des deux membres de cette équation. La dérivée de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est simplement 𝑎. Et la dérivée de tan 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de tan 𝑦 par rapport à 𝑦 fois la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. La dérivée de tan 𝑥 est sec carré 𝑥. Et la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est d𝑦 sur d𝑥.

Nous voyons donc que 𝑎 est égal à sec carré 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. En divisant par sec carré 𝑦 et on voit que d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑎 sur sec carré 𝑦. Nous allons avoir besoin de représenter notre équation pour la dérivée en fonction de 𝑥. Nous allons donc utiliser cette identité trigonométrique. Un plus tan carré 𝑥 est égal à sec carré 𝑥. Cela signifie que nous pouvons écrire d𝑦 sur d𝑥 comme 𝑎 sur un plus tan carré 𝑦. Et puis nous avons remplacé tan 𝑦 par 𝑎𝑥. Et nous voyons que l’expression de la dérivée de 𝑦 est égale à arctan de 𝑎𝑥 est 𝑎 sur un plus 𝑎𝑥 carré.

Des règles similaires peuvent être appliquées pour nous aider à trouver la dérivée de la fonction arc cotangente. Nous constatons que la dérivée de arc cotangente de 𝑎 de 𝑥 est égal à moins 𝑎 sur un plus 𝑎𝑥 carré. Les fonctions arc cosécante et arc sécante sont un peu plus inhabituelles. Nous allons donc examiner maintenant comment trouver la dérivée de la fonction arc cosécante.

Trouve d sur d𝑥 de arc cosécante de 𝑥.

Nous commençons par poser 𝑦 égale à arc cosécante de 𝑥. Et cela signifie que nous pouvons réécrire ceci. Et on peut dire que 𝑥 est égale à la cosécante de 𝑦.

Nous allons ensuite utiliser la dérivation implicite pour trouver la dérivée des deux membres de cette équation. La dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑥 c’est un. Ensuite, la dérivée de cosec 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cosec 𝑦 par rapport à 𝑦 fois d𝑦 par d𝑥. Et la dérivée de cosec 𝑦 par rapport à 𝑦 est moins cosec 𝑦 cot 𝑦. Nous voyons donc que un est égal à moins cosec 𝑦 cot 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥.

Maintenant, nous savons que, pour la fonction arc cosécante, 𝑦 doit être supérieur à moins 𝜋 sur deux et inférieur à 𝜋 sur deux et différent de zéro. En utilisant ces restrictions cosec 𝑦 cot ne peut pas être égale à zéro. Ainsi, nous pouvons diviser par moins cosec 𝑦 cot 𝑦. Et nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 est comme indiqué. Nous voulons représenter notre équation pour la dérivée en fonction de 𝑥. Nous allons donc utiliser cette identité trigonométrique cotée au carré 𝑦 plus un égal à cosec au carré 𝑦. Et nous pouvons réécrire pour dire que cot de 𝑦 est égale à plus ou moins la racine carrée de cosec carré 𝑦 moins un.

Nous mettons cela dans l’équation pour la dérivée à la place de cot de 𝑦. Et nous utilisons ensuite le fait que 𝑥 est égal à cosec 𝑦. Mais nous allons devoir prendre une décision sur le sinus de la dérivée. Et il peut être utile de regarder ici le graphique de la fonction arc cosécante. Remarquez comment, pour toutes les valeurs de 𝑥 dans l’ensemble image de la fonction, la dérivée de la pente de la tangente est négative.

Et nous utilisons donc la valeur absolue pour nous assurer que notre dérivée est toujours négative. Nous disons que d𝑦 sur d𝑥 est égal moins la valeur absolue de un sur 𝑥 fois la racine carrée de 𝑥 au carré moins un. Depuis un an et la racine carrée de 𝑥 carré un moins sont toujours positifs, on peut réécrire cela comme indiqué. Ainsi, la dérivée de la fonction arc cosécante 𝑥 par rapport à 𝑥 est négative sur le module ou la valeur absolue de 𝑥 fois la racine carrée de 𝑥 au carré moins un.

Un processus similaire peut être appliqué pour nous aider à trouver la dérivée de la fonction arc sécante. Et nous avons les dérivées de toutes les fonctions trigonométriques réciproques dont nous avons besoin. Il est utile de mémoriser ces résultats, mais aussi d’être prêt à les obtenir le cas échéant. Nous allons maintenant examiner l’application de ces résultats.

Évaluer la dérivée de arc cotangente de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥.

Ici, nous avons une fonction d’une fonction ou une fonction composée. Nous allons donc devoir utiliser la règle de la chaîne pour trouver la dérivée. Cela dit que si 𝑓 et 𝑔 sont des fonctions dérivables telles que 𝑦 est 𝑓 de 𝑢 et 𝑢 est 𝑔 de 𝑥, puis d𝑦 sur d𝑥 est égale à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous allons poser 𝑢 égal à un sur 𝑥. Ensuite 𝑦 est égal à arc cot de 𝑢. Pour appliquer la règle de la chaîne, nous devons trouver la dérivée de ces deux fonctions. Et avec 𝑢 il peut être utile de l’écrire comme 𝑥 à la puissance moins un.

Alors d𝑢 sur d𝑥 est moins 𝑥 puissance moins deux ou à moins un sur 𝑥 au carré. On peut alors utiliser la dérivée générale de la fonction arc cotangente. Et nous voyons que d𝑦 sur d𝑢 est égal à moins un sur un plus 𝑢 au carré. d𝑦 sur d𝑥 est le produit de ceux-ci. C’est moins un sur 𝑥 carré fois moins un sur un plus 𝑢 au carré.

Nous pouvons remplacer 𝑢 par un sur 𝑥, puis multiplier. Et nous voyons que la dérivée de arc cotangente de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑥 au carré plus un.

Avez-vous remarqué que la dérivée de arc cotangente de un sur 𝑥 est égale à la dérivée de la tangente de 𝑥 ? Ce n’est en fait pas un accident. Et nous pouvons utiliser l’identité de arc cotangente de un sur 𝑥 égale arctan de 𝑥. Cela aurait pu nous faire gagner un peu plus de temps dans cet exemple précédent.

Évaluer la dérivée de arcsin de la racine carrée d’un moins 𝑥 au carré par rapport à 𝑥.

Ici, nous avons une fonction d’une fonction ou une fonction composée. Nous allons donc utiliser la règle de la chaîne pour trouver sa dérivée. Ceci dit que si 𝑦 est une fonction dans 𝑢 et 𝑢 est une fonction de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous poserons 𝑢 égal à la racine carrée de un 𝑥 au carré. Ce qui peut, bien sûr, être alternativement écrit comme un moins 𝑥 au carré de la puissance un demi. Ensuite 𝑦 est égal à arc sinus de 𝑢. Pour appliquer la règle de la chaîne, nous devrons trouver la dérivée de ces deux fonctions. La dérivée de arc sinus de 𝑢 par rapport à 𝑢 est un sur la racine carrée de un moins 𝑢 au carré.

Et nous pouvons utiliser la règle générale sur les puissances pour trouver la dérivée de un moins 𝑥 au carré à la puissance un demi. Elle est égale à un demi fois un moins 𝑥 au carré à la puissance un demi fois la dérivée de ce qui est à l’intérieur des parenthèses qui est moins deux 𝑥. Cela peut être écrit 𝑥 fois un moins 𝑥 au carré à la puissance moins un demi.

d𝑦 sur d𝑥 est donc moins 𝑥 sur la racine carrée d’un moins 𝑥 fois un sur la racine carrée d’un moins 𝑢 au carré. Nous pouvons remplacer 𝑢 par un moins 𝑥 au carré à la puissance un demi. Et la seconde fraction devient un sur la racine carrée de un moins un moins 𝑥 carré. Ceci se simplifie davantage en un sur 𝑥. Et on divise par 𝑥. Et nous voyons que la dérivée de notre fonction est moins un sur la racine carrée de un moins 𝑥 au carré.

Une fois encore, nous sommes tombés sur un résultat intéressant. À savoir que la dérivée de arcsin de la racine carrée d’un moins 𝑥 au carré est égale à la dérivée de arccos de 𝑥. Ceci provient de l’identité de arcsin de la racine carrée d’un moins 𝑥 au carré est égale à arccos de 𝑥, pour des valeurs de 𝑥 entre zéro et un. Connaître ce résultat aurait pu réduire la quantité de ce que nous devions faire dans cet exemple.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser la dérivation implicite ou le théorème de la fonction réciproque pour dériver les formules des dérivées des fonctions trigonométriques réciproques. Nous avons vu que les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques sont comme indiquées. Et nous avons également vu qu’être familiarisé avec certaines identités trigonométriques peut parfois considérablement réduire le processus de recherche de ces dérivées.