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Vidéo de question : Déterminer l’aire d’un segment circulaire majeur Mathématiques

Le segment 𝐴𝐵 est une corde de longueur 17 cm avec un angle au centre de 155 °. Déterminez l’aire du segment circulaire majeur en donnant la réponse arrondie au centimètre carré près.

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Transcription de vidéo

Le segment 𝐴𝐵 est une corde de longueur 17 centimètres avec un angle au centre de 155 degrés. Trouvez l’aire du segment circulaire majeur en donnant la réponse arrondie au centimètre carré près.

Commençons par dessiner ceci. On nous dit que le segment 𝐴𝐵 est une corde d’un cercle d’une longueur de 17 centimètres. Si nous ajoutons le centre du cercle 𝑂, on nous dit que l’angle au centre est de 155 degrés comme indiqué. Nous pouvons en déduire que les segments 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵 sont les rayons du cercle. Cela signifie que le segment 𝑂𝐴 doit avoir une longueur égale au segment 𝑂𝐵. Appelons-les deux 𝑥 centimètres.

Maintenant, la question nous demande de trouver l’aire du segment circulaire majeur. Le segment circulaire mineur est indiqué en orange. Il s’ensuit donc que le segment circulaire majeur est tout le reste du cercle. Et donc nous essayons en fait de trouver l’aire de cette figure. Maintenant, si nous examinons la forme, nous voyons qu’elle est composée de deux formes composées. Nous avons le triangle 𝐴𝑂𝐵 puis nous avons un secteur d’un cercle. Nous pouvons trouver l’angle de ce secteur en soustrayant 155 degrés à 360 degrés puisque la somme des angles autour d’un point est 360. Et cela nous indique que l’angle du secteur est de 205 degrés. Et donc si nous pouvons trouver l’aire du triangle et l’aire de ce secteur, l’aire combinée nous donne l’aire du segment circulaire majeur.

Maintenant, nous allons utiliser la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle. C’est un demi 𝑎𝑏 sinus 𝑐. Et nous savons également que pour un secteur d’un cercle de rayon 𝑟 et d’angle 𝜃, son aire est 𝜃 sur 360 fois 𝜋𝑟 au carré. Essentiellement, il s’agit d’une proportion de l’aire du cercle. Maintenant, nous avons un petit problème. Nous ne connaissons pas le rayon du cercle. Nous avons appelé cela 𝑥. Nous pouvons cependant le calculer en utilisant les informations sur le triangle 𝐴𝑂𝐵. Il s’agit d’un triangle non rectangle, nous pouvons donc utiliser la loi des cosinus pour trouver la longueur 𝑥. La loi des cosinus dit que 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cosinus 𝐴.

Maintenant, nous devons redéfinir cela puisque notre angle n’est ni 𝐴 ni 𝐵 ; c’est un sommet. Appelons le 𝐶 plutôt que 𝑂. Et donc 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré moins deux 𝑎𝑏 cosinus 𝐶. Nous substituerons tout ce que nous savons du triangle dans cette formule. Et nous obtenons 17 au carré égale 𝑥 au carré plus 𝑥 au carré moins deux 𝑥 au carré cosinus 155 degrés. 17 au carré est égal à 289. Et nous allons simplifier un peu en ajoutant 𝑥 au carré et 𝑥 au carré. Et puis nous voyons que nous pouvons factoriser le membre droit en supprimant un facteur commun de deux 𝑥 au carré.

Nous divisons ensuite les deux membres par un moins cosinus de 155 degrés, on divise par deux, puis on trouve finalement racine carrée de 289 sur deux fois un moins cosinus de 155 degrés. Cela nous donne une valeur de 8,706 etc. Et nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour calculer l’aire du segment circulaire majeur. Bien sûr, pour plus de précision, nous utiliserons cette valeur de 8,706. Et nous pouvons même revenir à 𝑥 au carré égale 289 sur deux fois un moins cosinus 155 pour plus de facilité.

Nous commençons par trouver l’aire du triangle. Nous utiliserons la formule un demi 𝑎𝑏 sinus 𝐶. Et c’est donc un demi fois 8,706 fois 8,706 ou 8,706 au carré fois le sinus de 155. C’est 16,017 etc. Ensuite, l’aire du secteur est 205 sur 360 fois 𝜋 fois 8,70 au carré, soit 135,605 etc. L’aire du segment circulaire majeur est la somme de ces valeurs. Donc, c’est 16,017 plus 135,605. Cela nous donne 151,62 ou 152 à l’unité près. Et donc, compte tenu des informations sur le secteur, l’aire du segment circulaire majeur est de 152 centimètres carrés.

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