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Vidéo de question : Utiliser les propriétés des limites et la substitution directe pour déterminer la limite d’une fonction en un point Mathématiques

Sachant que lim_ (𝑥 → −6) (6𝑓 (𝑥) + 4) / (- 𝑥 + 1) = 4, déterminez lim_ (𝑥 → −6) 𝑓 (𝑥).

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Transcription de vidéo

Sachant que la limite de six 𝑓 de 𝑥 plus quatre sur moins 𝑥 plus un lorsque 𝑥 tend vers moins six est égale à quatre, déterminez la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins six.

Pour répondre à cette question, nous allons devoir rappeler quelques propriétés importantes sur les limites. La première propriété qui nous intéresse dit que la limite du quotient de deux fonctions est égale au quotient des limites de chacune de ces fonctions, à condition que la limite du dénominateur ne soit pas égale à zéro.

Comme nous savons que moins moins six plus un n’est pas égal à zéro, nous pouvons écrire que la limite est égale à la limite de six fois 𝑓 de 𝑥 plus quatre lorsque 𝑥 tend vers moins six divisé par la limite de moins 𝑥 plus un lorsque 𝑥 tend vers moins six. Et en fait, nous pouvons alors utiliser la substitution directe pour déterminer la limite du dénominateur.

Nous avons moins moins six plus un, ce qui donne, bien sûr, sept. Et donc, nous pouvons maintenant réécrire la limite. C’est la limite de six fois 𝑓 de 𝑥 plus quatre sur sept lorsque 𝑥 tend vers moins six. Maintenant, revenons à la question initiale, nous savons que cette limite est égale à quatre. Nous allons simplifier cette expression en multipliant des deux côtés par sept. Et en faisant cela, nous voyons que la limite de six fois 𝑓 de 𝑥 plus quatre lorsque 𝑥 tend vers moins six est égale à 28.

Nous allons rappeler une deuxième propriété des limites. Cette fois, la limite de la somme de deux fonctions est égale à la somme des limites. On peut donc dire que la limite de six fois 𝑓 de 𝑥 plus la limite de quatre donne 28. Mais quatre ne dépend pas de 𝑥. Et donc, nous pouvons dire que la limite de quatre lorsque 𝑥 tend vers moins six - et en fait, vers n’importe quel nombre - est simplement quatre. De même, dans la première limite, six ne dépend pas de 𝑥.

Et en général, on dit que la limite d’une constante fois une fonction est égale à la constante fois la limite de cette fonction. Nous pouvons donc écrire la limite de six fois 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins six comme six fois la limite de 𝑓 de 𝑥. Et bien sûr, la somme de ces deux expressions est égale à 28. Nous soustrayons donc quatre des deux côtés de l’équation. Et nous voyons que six fois la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins six est égale à 24.

La dernière étape pour trouver la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins six consiste à diviser les deux côtés de cette équation par six. Et en faisant cela, nous obtenons que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins six est égale à quatre.

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