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Vidéo question :: Déterminer l'équation de la tangente à une courbe définie implicitement en un point donné en utilisant la dérivation implicite et la règle du produit Mathématiques • Troisième secondaire

Déterminez l'équation de la tangente à la courbe d’équation 4𝑥²𝑦² - 4𝑥 - 7𝑦 - 1 = 0 au point de coordonnées (-1, 1).

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Transcription de la vidéo

Déterminez l'équation de la tangente à la courbe quatre 𝑥 au carré 𝑦 au carré moins quatre 𝑥 moins sept 𝑦 moins un est égal à zéro au point de coordonnées moins un, un.

Pour déterminer l'équation d'une tangente à une courbe, nous devons connaître deux choses : la pente de la tangente et les coordonnées d'un point qui se trouve sur cette tangente. On nous a donné les coordonnées du point moins un, un. Pour calculer la pente de la tangente, nous devons d'abord déterminer la fonction de pente de la courbe en utilisant la dérivation. Puisque l'équation de la courbe a été donnée implicitement, il va falloir utiliser la dérivation implicite pour trouver sa pente.

Il s'agit d'une application de la dérivation des fonctions composées. Nous rappelons que pour trouver la dérivée par rapport à 𝑥 d'une fonction de 𝑦, nous trouvons la dérivée par rapport à 𝑦 de cette fonction et nous la multiplions par d𝑦 sur d𝑥. Puisque le premier terme de l'équation de la courbe est un produit de 𝑥 au carré et de 𝑦 au carré, il faut aussi rappeler la règle du produit qui stipule que la dérivée par rapport à 𝑥 du produit de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est égale à 𝑢 multiplié par d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 multiplié par d𝑢 sur d𝑥. Il s'agit essentiellement de multiplier chaque terme du produit par la dérivée de l'autre et de les additionner.

Nous commençons donc par trouver la dérivée par rapport à 𝑥 du premier terme, quatre 𝑥 au carré 𝑦 au carré. Par la règle du produit, cela est égal à quatre 𝑥 au carré multiplié par la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑦 au carré plus 𝑦 au carré multiplié par la dérivée par rapport à 𝑥 de quatre 𝑥 au carré. En dérivant 𝑦 au carré par rapport à 𝑥, nous obtenons deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥, puis en dérivant quatre 𝑥 au carré par rapport à 𝑥, nous obtenons huit 𝑥. La dérivée complète du premier terme se simplifie donc en huit 𝑥 au carré 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 plus huit 𝑥𝑦 au carré.

En dérivant le terme suivant de l'équation par rapport à 𝑥, nous obtenons moins quatre, puis en dérivant moins sept 𝑦 par rapport à 𝑥, nous obtenons moins sept d𝑦 sur d𝑥. Enfin, la dérivation des constantes moins un et zéro par rapport à 𝑥 donne zéro, nous avons donc l'équation huit 𝑥 au carré 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 plus huit 𝑥𝑦 au carré moins quatre moins sept d𝑦 sur d𝑥 est égal à zéro.

Nous devons isoler d𝑦 sur d𝑥 dans cette équation. Nous commençons donc par rassembler tous les termes qui n'implique pas d𝑦 sur d𝑥 sur le membre droit de l'équation, ce qui donne huit 𝑥 au carré 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 moins sept d𝑦 sur d𝑥 est égal à quatre moins huit 𝑥𝑦 au carré. Nous factorisons ensuite le membre gauche pour obtenir huit 𝑥 au carré 𝑦 moins sept multiplié par d𝑦 sur d𝑥. Enfin, en divisant les deux membres de l'équation par huit 𝑥 au carré 𝑦 moins sept, nous trouvons la fonction de pente de la courbe en fonction de 𝑥 et 𝑦 : d𝑦 sur d𝑥 est égal à quatre moins huit 𝑥𝑦 au carré sur huit 𝑥 au carré 𝑦 moins sept.

Nous devons ensuite évaluer la fonction de pente au point moins un, un. En substituant 𝑥 égale moins un et 𝑦 égale plus un, nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 est égal à quatre moins huit multiplié par moins un multiplié par un au carré sur huit multiplié par moins un au carré multiplié par un moins sept. Nous obtenons ainsi quatre plus huit sur huit moins sept, soit 12 sur un ou simplement 12. Nous savons maintenant que la pente de la tangente est de 12 et qu'elle passe par le point de coordonnées moins un, un.

Nous pouvons donc trouver l'équation de la tangente en utilisant la forme point-pente de l'équation d'une droite. Cette forme donne 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 multiplié par 𝑥 moins 𝑥 un. En substituant 12 pour la pente 𝑚 et moins un, un pour 𝑥 un, 𝑦 un, nous obtenons 𝑦 moins un est égal à 12 multiplié par 𝑥 moins moins un. En distribuant le 12 sur les parenthèses du membre droit, nous obtenons 𝑦 moins un égal à 12𝑥 plus 12. Puis, en rassemblant tous les termes du membre gauche de l'équation en soustrayant 12𝑥 et 12 de chaque membre, nous obtenons 𝑦 moins 12𝑥 moins 13 est égal à zéro.

Ainsi, par dérivation d’une fonction implicite pour trouver la fonction de pente de cette courbe, puis en évaluant la fonction de pente au point donné, nous avons trouvé que l'équation de la tangente à la courbe d’équation quatre 𝑥 au carré 𝑦 au carré moins quatre 𝑥 moins sept 𝑦 moins un est égal à zéro au point de coordonnées moins un, un est 𝑦 moins 12𝑥 moins 13 est égal à zéro.

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