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Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète. Sachant que l’espérance de 𝑋 est égale à 15 et que la variance de 𝑋 est égale à 26, calculez l’espérance de 𝑋 carré.
Commençons par rappeler la signification de chacun de ces éléments de notation. 𝐸 de 𝑋, tout d’abord, est l’espérance, ou la moyenne théorique, de la variable aléatoire discrète 𝑋. Il s’agit de sa valeur moyenne et nous la notons souvent en utilisant la lettre grecque 𝜇. V de 𝑋 représente la variance de 𝑋, qui est une mesure de l’étalement de la distribution de probabilité. Nous notons cela en utilisant la lettre grecque 𝜎 au carré ou parfois 𝜎 indice 𝑋 au carré s’il y a plusieurs variables dans le même problème. 𝐸 de 𝑋 carré est l’espérance de 𝑋 carré. Cela signifie que nous mettons les valeurs de la variable aléatoire discrète au carré, puis que nous trouvons leur espérance.
Ces trois quantités sont liées par la formule suivante. La variance de 𝑋 est égale à l’espérance de 𝑋 carré moins l’espérance de 𝑋 au carré. Puisque nous connaissons l’espérance de 𝑋 - 15 - et la variance de 𝑋 - 26 - nous pouvons substituer ces valeurs dans cette formule pour trouver l’espérance de 𝑋 carré. Nous avons alors 26 est égal à l’espérance de 𝑋 carré moins 15 au carré. 15 au carré vaut 225. Puis, nous pouvons résoudre cette équation pour 𝐸 de 𝑋 carré en ajoutant 225 de chaque côté. Cela donne 251 est égal à 𝐸 de 𝑋 carré.
Ainsi, en rappelant la définition de la variance d’une variable aléatoire discrète, puis en formant et en résolvant une équation, nous avons trouvé que 𝐸 de 𝑋 carré vaut 251.
