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Vidéo question :: Déterminer la longueur d’un côté dans un triangle en fonction du côté correspondant dans un triangle similaire et du rapport de similitude entre eux Mathématiques • Première secondaire

Sur la figure, 𝐴𝐷 = 10, 𝐴𝐸 = 5, 𝐵𝐷 = 4𝑥 + 2 et 𝐸𝐶 = 𝑥 + 3. Quelles sont les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐸𝐶 ?

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Transcription de la vidéo

Sur la figure, 𝐴𝐷 égale 10, 𝐴𝐸 égale cinq, 𝐵𝐷 égale quatre 𝑥 plus deux et 𝐸𝐶 égale 𝑥 plus trois. Quelles sont les longueurs du segment 𝐴𝐵 et du segment 𝐸𝐶 ?

Eh bien, la première chose que nous voulons faire est marquer toutes les informations qui nous ont été données. Nous avons donc 𝐴𝐷 égale 10, 𝐴𝐸 égale cinq, 𝐵𝐷 égale quatre 𝑥 plus deux et 𝐸𝐶 égale 𝑥 plus trois. Maintenant, si nous regardons la forme elle-même, nous avons en fait deux triangles, le triangle 𝐴𝐷𝐸 et le triangle 𝐴𝐵𝐶. Et nous avons aussi deux droites parallèles. Mais nous pouvons utiliser quelque chose à propos de ces droites parallèles pour apprendre quelque chose à propos de nos triangles.

Eh bien, comme les droites parallèles sont transversales à la droite 𝐴𝐶, nous pouvons dire que les angles en 𝐶 et 𝐸 sont correspondants. De même, si nous regardons la droite 𝐴𝐵, qui traverse les deux droites parallèles, cela signifie que nous allons avoir des angles correspondants en 𝐷 et 𝐵, donc ceux-ci seront égaux. Et puis enfin, les deux triangles ont un angle partagé en 𝐴.

D’accord, mais qu’est-ce que cela signifie ? Eh bien, en utilisant la preuve AAA ou angle-angle-angle, le triangle 𝐴𝐷𝐸 est similaire au triangle 𝐴𝐵𝐶. Et que savons-nous des triangles semblables ? Cela signifie qu’ils sont en fait proportionnels l’un à l’autre. Ainsi, les côtés correspondants sont toujours proportionnels.

Donc, si nous regardons le triangle, nous pouvons dire que 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷 va être égal à 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐸. Et comme nous l’avons dit, c’est parce que les côtés correspondants sont proportionnels. Donc, ce que nous allons avoir est 𝐴𝐵, qui va être quatre 𝑥 plus deux plus 10 puisque c’est 𝐷𝐵 et 𝐴𝐷, puis divisé par 10, parce que c’est notre 𝐴𝐷. Et ça va être égal à 𝐴𝐶, qui est 𝑥 plus trois plus cinq, sur 𝐴𝐸, qui est cinq.

Très bien. Alors maintenant, ce que nous pourrions faire c’est résoudre cette équation pour déterminer 𝑥. Ce que nous allons faire, c’est multiplier les deux côtés par 10. Car nous voulons supprimer l’élément fractionnaire de notre équation. Et quand nous faisons cela, nous obtenons quatre 𝑥 plus 12 égale deux multiplié par 𝑥 plus huit. Et puis si on divise tout par deux, on obtient deux 𝑥 plus six égale 𝑥 plus huit. Donc, si nous soustrayons 𝑥 et six de chaque côté de l’équation, nous allons obtenir 𝑥 égale deux.

Très bien. Nous avons donc maintenant trouvé la valeur de 𝑥. Rappelez-vous, nous voulons trouver les longueurs du segment 𝐴𝐵 et du segment 𝐸𝐶. Eh bien, nous avons déjà identifié que 𝐴𝐵 est égal à quatre 𝑥 plus deux plus 10, c’est-à-dire quatre 𝑥 plus 12. Eh bien, comme nous avons identifié que 𝑥 est égal à deux, nous allons le remplacer. Nous allons donc obtenir quatre multiplié par deux plus 12. Nous avons donc répondu à la première partie de la question et 𝐴𝐵 est égal à 20.

Bon, passons maintenant à 𝐸𝐶. Eh bien, nous pouvons voir que 𝐸𝐶 vaut 𝑥 plus trois. Donc, si nous substituons 𝑥 égale deux, ça va être deux plus trois, c’est-à-dire cinq. Donc, nous pouvons dire que les segments de droite 𝐴𝐵 et 𝐸𝐶 ont des longueurs de 20 et cinq, respectivement.

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