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Vidéo de question : Déterminer l’intégrale du produit entre une fonction exponentielle et une fonction trigonométrique Mathématiques

En définissant 𝑢 = 𝑒 ^ 𝑥 et d𝑣 = cos 𝑥 d𝑥, déterminez la valeur de ∫𝑒 ^ 𝑥 cos 𝑥 d𝑥 en utilisant l’intégration par parties.

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Transcription de vidéo

En définissant 𝑢 égal à 𝑒 à la puissance 𝑥 et d𝑣 égal au cosinus de 𝑥 d𝑥, déterminez la valeur de l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 multiplié par le cosinus de 𝑥 selon la variable 𝑥 en utilisant l’intégration par parties.

On nous donne une intégrale à évaluer, et nous pouvons voir que notre intégrande est le produit de deux fonctions. C’est 𝑒 à la puissance 𝑥 multiplié par le cosinus de 𝑥. Et nous connaissons différentes façons d’évaluer une intégrale qui est le produit de deux fonctions. Dans cette question, on nous demande d’utiliser l’intégration par parties. Commençons par rappeler ce que nous entendons par intégration par parties. Cela nous indique que l’intégrale de 𝑢 fois d𝑣 par d𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois 𝑣 moins l’intégrale de 𝑣 multipliée par d𝑢 sur d𝑥 selon la variable 𝑥.

En d’autres termes, cela nous donne une méthode d’intégration du produit de deux fonctions 𝑢 et d𝑣 sur d𝑥. Et en fait, dans la question, nous pouvons voir qu’on nous dit à quoi égaler nos fonctions 𝑢 et 𝑣. On nous dit de définir 𝑢 comme 𝑒 à la puissance 𝑥. Et dire que d𝑣 est égal au cosinus de 𝑥 d𝑥 et c’est une notation différentielle pour dire que d𝑣 sur d𝑥 est égal au cosinus de 𝑥. Nous allons donc définir 𝑢 égale à 𝑒 à la puissance 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 égale au cosinus de 𝑥.

Maintenant, pour utiliser l’intégration par parties, nous voyons que nous avons besoin d’expressions pour 𝑣 et d𝑢 sur d𝑥. Commençons par d𝑢 sur d𝑥. C’est la dérivée de la fonction exponentielle 𝑒 à la puissance 𝑥 par selon la variable 𝑥. Mais nous savons que la dérivée de la fonction exponentielle par rapport à 𝑥 est simplement la fonction exponentielle. Donc, d𝑢 sur d𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥. Maintenant, trouvons une expression pour 𝑣. On sait que 𝑣 sera une primitive du cosinus de 𝑥. Une façon de la trouver est de primitiver le cosinus de 𝑥 selon la variable 𝑥. Nous savons que cela nous donnera le sinus de 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶. Mais nous avons juste besoin d’une primitive, nous allons donc utiliser le sinus de 𝑥.

Nous sommes maintenant prêts à évaluer l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 fois le cosinus de 𝑥 selon la variable 𝑥 en utilisant l’intégration par parties. En substituant dans nos expressions pour 𝑢, 𝑣, d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 dans notre formule d’intégration par parties, nous obtenons 𝑒 à la puissance de 𝑥 fois le sinus de 𝑥 moins l’intégrale du sinus de 𝑥 multiplié par 𝑒 à la puissance de 𝑥 selon la variable 𝑥. Et maintenant, nous pouvons voir un problème. Nous ne savons pas comment évaluer l’intégrale du sinus de 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 selon la variable 𝑥. Nous rencontrons les mêmes problèmes que dans notre intégrale initiale.

Notre intégrale est le produit de deux fonctions. Cependant, cette fois, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Si nous devions appliquer ce processus d’intégration par parties une fois de plus, nous intégrerions le sinus de 𝑥, ce qui nous donnerait le cosinus de 𝑥. Ainsi, dans notre formule d’intégration par parties, puisque lorsque nous dérivons la fonction exponentielle nous obtenons simplement la fonction exponentielle, nous nous retrouvons avec l’intégrale de moins le cosinus de 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 selon la variable 𝑥. Mais c’est exactement l’intégrale que nous essayons de calculer. Nous pourrions donc réorganiser et trouver la valeur de cette intégrale.

Essayons donc d’appliquer l’intégration par parties une fois de plus. Cette fois, nous allons utiliser cela pour évaluer l’intégrale du sinus de 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 selon la variable 𝑥. Nous allons définir 𝑢 pour être la fonction exponentielle 𝑒 à la puissance 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 pour être le sinus de 𝑥. En dérivant 𝑢 par rapport à 𝑥, on obtient d𝑢 sur d𝑥 égale 𝑒 à la puissance 𝑥. Et en intégrant le sinus de 𝑥 par rapport à 𝑥, nous obtenons que 𝑣 est égal à moins cosinus de 𝑥. En substituant dans nos expressions 𝑢, 𝑣, d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 dans notre formule d’intégration par parties, nous obtenons 𝑒 à la puissance 𝑥 fois moins cosinus 𝑥 moins l’intégrale de moins cosinus 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 selon la variable 𝑥.

Et nous pouvons simplifier cette expression. Premièrement, nous pouvons écrire 𝑒 à la puissance 𝑥 multiplié par moins cosinus 𝑥 comme moins 𝑒 à la puissance 𝑥 fois cosinus 𝑥. De même, nous pouvons simplifier notre intégrale. Nous avons un facteur négatif à l’intérieur de notre intégrande. Nous pouvons placer cela en dehors de notre intégrale, donc nous ajoutons simplement l’intégrale. Ensuite, nous pouvons simplement réécrire notre intégrande comme 𝑒 à la puissance 𝑥 multiplié par cosinus 𝑥. Nous avons donc montré que l’intégrale de sinus 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 selon la variable 𝑥 est égale à moins 𝑒 à la puissance 𝑥 fois cosinus 𝑥 plus l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 multiplié par cosinus 𝑥 selon la variable 𝑥.

Maintenant, tout ce que nous devons faire c’est substituer cette expression à l’intégrale du sinus de 𝑥 fois 𝑒 à la puissance de 𝑥 selon la variable 𝑥 dans notre formule pour notre intégrale initiale. En substituant cette expression, nous obtenons 𝑒 à la puissance 𝑥 fois sinus 𝑥 moins moins 𝑒 à la puissance 𝑥 multiplié par cosinus 𝑥 plus l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 fois cosinus 𝑥 selon la variable 𝑥. Et maintenant, nous pouvons commencer à simplifier cette expression. Nous allons commencer par distribuer moins un sur nos parenthèses. Cela nous donne 𝑒 à la puissance 𝑥 sinus 𝑥 plus 𝑒 à la puissance 𝑥 cosinus 𝑥 moins l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 cosinus 𝑥 selon la variable 𝑥.

Et rappelez-vous, cela est égal à l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 cosinus 𝑥 selon la variable 𝑥. Et nous pouvons voir que cette expression apparaît des deux côtés de notre équation. Nous pouvons donc résoudre ce problème en ajoutant l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 cosinus de 𝑥 selon la variable 𝑥 des deux côtés de cette équation. En ajoutant cela des deux côtés de notre équation, dans le membre de gauche, nous aurons maintenant deux fois l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 fois le cosinus de 𝑥 selon la variable 𝑥. Et dans le membre de droite de cette équation, notre troisième terme est annulé. Cela nous donne 𝑒 à la puissance 𝑥 fois le sinus de 𝑥 plus 𝑒 à la puissance 𝑥 fois le cosinus de 𝑥.

Maintenant, nous allons diviser les deux côtés de notre équation par deux. Et rappelez-vous, puisque nous calculons une intégrale indéfinie, nous aurons besoin d’une constante d’intégration. Nous l’appellerons 𝐶. La dernière chose que nous ferons est de réorganiser cette expression et de retirer le facteur commun de 𝑒 à la puissance 𝑥. Et cela nous donne un demi fois 𝑒 à la puissance 𝑥 multiplié par le sinus de 𝑥 plus le cosinus de 𝑥 plus notre constante d’intégration 𝐶.

Par conséquent, en utilisant l’intégration par parties deux fois, nous avons pu montrer que l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 fois le cosinus de 𝑥 selon la variable 𝑥 est égale à un demi fois 𝑒 à la puissance 𝑥 multiplié par le sinus de 𝑥 plus le cosinus de 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶.

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