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Vidéo de question : Étudier la continuité d’une fonction constante Mathématiques

Etudiez la continuité de la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = 4.

06:23

Transcription de vidéo

Etudiez la continuité de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale quatre.

Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 et on nous demande ce qu’on peut dire de la continuité de cette fonction. Pour cela, il faut d’abord bien comprendre la question, que peut-on dire de la continuité d’une fonction. Lorsqu’on nous demande de parler de la continuité d’une fonction, on nous demande en fait de déterminer les valeurs de 𝑥 où la fonction 𝑓 de 𝑥 est continue. Et généralement, la réponse attendue est un ensemble, l’ensemble des valeurs de 𝑥 où 𝑓 de 𝑥 est continue. Et en fait, il existe plusieurs façons de répondre à cette question. La façon la plus simple de répondre à cette question est de se rappeler quelques éléments sur les fonctions continues.

Nous avons juste besoin de rappeler deux choses. Tout d’abord, nous savons que tous les polynômes sont continus sur l’ensemble des nombres réels. Ensuite, nous savons également que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale quatre est un polynôme. Mais nous pourrions aussi utiliser quelque chose de plus simple. Toutes les fonctions constantes sont continues sur l’ensemble des nombres réels et la fonction 𝑓 de 𝑥 égale quatre est une fonction constante. Avec ces deux méthodes, nous obtenons la même réponse à la question. Que 𝑓 de 𝑥 est continue sur l’ensemble des nombres réels parce que c’est une fonction constante ou, alternativement, parce que c’est un polynôme. Mais même si nous avons répondu à la question, cela ne nous aide pas à savoir exactement pourquoi la fonction 𝑓 de 𝑥 est continue. Donc, regardons plutôt la définition de la continuité.

Rappelons qu’on dit qu’une fonction 𝑓 de 𝑥 est continue en une valeur de 𝑥 égale 𝑎 si les trois conditions suivantes sont vérifiées. Premièrement, 𝑓 de 𝑎 doit exister. Une autre façon de dire cela, c’est que 𝑎 doit appartenir à l’ensemble de définition de la fonction 𝑓. Ensuite, il faut que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe. Enfin, il faut que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de soit égale à 𝑓 de 𝑎. Et parfois, vous verrez cette définition uniquement avec la troisième condition, car les deux premières conditions sont parfois comprises dans la troisième. Par exemple, si 𝑓 de 𝑎 n’existe pas, alors il est difficile de dire que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à quelque chose qui n’existe pas. Mais nous allons être exhaustifs et vérifier ces trois conditions.

Nous voulons montrer que la fonction 𝑓 de 𝑥 est continue pour toutes les valeurs réelles de 𝑎. Commençons donc par définir 𝑎 comme un nombre réel. Nous devons montrer que ces trois conditions sont vraies pour 𝑓 de 𝑥. Tout d’abord, nous allons devoir déterminer la valeur de 𝑓 de 𝑎. Pour calculer 𝑓 de 𝑎, il faut remplacer 𝑥 par 𝑎 dans la définition de la fonction 𝑓 de 𝑥. Bien sûr, 𝑓 de 𝑥 est la fonction constante quatre, donc elle est toujours égale à quatre. Donc, la première condition est vérifiée. On a 𝑓 de 𝑎 toujours égal à quatre. Une autre façon de dire cela est de dire que l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble des nombres réels.

Passons maintenant à la deuxième condition. Nous devons montrer que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe et il existe plusieurs méthodes pour faire cela. Ces méthodes nous donneront toutes le même résultat. La manière la plus simple est de partir de la définition d’une limite. Rappelons qu’on dit que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à une valeur finie 𝐿 si les valeurs de 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de 𝐿 quand les valeurs de 𝑥 se rapprochent de 𝑎 des deux côtés. Et dans notre cas, nous pouvons en fait calculer cette limite pour n’importe quelle valeur de 𝑎.

Tout d’abord, rappelons que la fonction 𝑓 de 𝑥 est simplement égale à une constante, quatre. Et si la fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction constante qui vaut quatre, alors les images par la fonction 𝑓 de 𝑥 sont toujours égales à quatre. Donc, les images par la fonction sont constantes ; elles ne changent pas quelle que soit la valeur d’entrée de 𝑥. Quelle que soit la valeur de 𝑥, nous obtenons toujours une valeur de quatre. Donc, la limite va toujours se rapprocher de quatre quelle que soit la valeur de 𝑎. Nous avons donc montré que pour toute valeur réelle 𝑎, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe. En fait, cette limite vaut quatre. Et soulignons également que nous aurions pu faire cela plus simplement en utilisant le fait que la limite d’une fonction constante est égale à la constante elle-même. Les deux méthodes fonctionnent et elles nous donnent le même résultat.

La dernière chose que nous devons vérifier est la troisième et dernière condition de continuité. Mais nous l’avons déjà vérifiée. Lorsque nous avons vérifié la première condition de continuité, nous avons montré que 𝑓 de 𝑎 est égal à quatre, et lorsque nous avons vérifié la deuxième condition de continuité, nous avons montré que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est aussi égale à quatre. Donc, les deux valeurs sont égales à quatre. Les trois conditions sont donc vérifiées pour 𝑓 de 𝑥 pour toutes les valeurs de 𝑎. Nous avons donc démontré directement à partir de la définition de la continuité que la fonction 𝑓 de 𝑥 est continue pour toutes valeurs réelles de 𝑥.

Dans cette question, nous avons pu utiliser deux façons différentes pour démontrer la continuité de la fonction 𝑓 de 𝑥. Nous avons démontré que 𝑓 de 𝑥 est continue sur l’ensemble des nombres réels car c’est une fonction constante.

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