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Un cycliste rejoint une route est-ouest et parcourt une distance de 240 mètres vers l’est à une vitesse de 12 mètres par seconde. Il fait ensuite demi-tour et parcourt une distance de 96 mètres vers l’ouest à la même vitesse que celle vers l’est, puis s’arrête pour descendre du vélo. Quel est le temps total pendant lequel le cycliste se déplace ? Et quel est le vecteur vitesse moyenne du cycliste vers l’est à partir du moment où il rejoint la route jusqu’à sa descente du vélo ? Donnez votre réponse à deux décimales près.
Avant de nous attaquer à la question elle-même, dessinons rapidement à quoi ressemble le parcours du cycliste. Il rejoint la route à un instant donné et se déplace d’abord vers l’est sur une distance de 240 mètres. Il le fait à une vitesse de 12 mètres par seconde. Il retourne ensuite dans le sens opposé vers l’ouest le long de la route sur une distance de 96 mètres. Encore une fois, il le fait à la même vitesse qui est de 12 mètres par seconde. À ce stade, il s’arrête et descend du vélo.
La première partie de la question nous demande le temps total pendant lequel le cycliste est en mouvement. Comme on nous dit que le cycliste fait immédiatement demi-tour, nous pouvons supposer qu’il ne prend pas de temps pour changer de sens. En d’autres termes, il change de sens instantanément. Alors le temps total pendant lequel il se déplace est donné par la somme du temps pendant lequel il se déplace vers l’est, que nous appellerons 𝑡 indice e et le temps pendant lequel il se déplace vers l’ouest, 𝑡 indice o.
Pour calculer ces temps, nous devons rappeler la définition de la vitesse, v, comme la distance parcourue, 𝑑, divisée par le temps pris, 𝑡. Nous pouvons réorganiser cela pour donner que le temps 𝑡 est donné par la distance 𝑑 divisée par la vitesse 𝑠. Pour calculer 𝑡 indice e, nous notons que la question nous a dit que la distance parcourue vers l’est est de 240 mètres et la vitesse est de 12 mètres par seconde. Ainsi, nous pouvons écrire 𝑑 indice e égale 240 mètres et 𝑠 indice e égale 12 mètres par seconde. Nous devons ensuite substituer ces nombres dans notre équation pour le temps.
Nous obtenons que 𝑡 indice e est égal à 240 divisé par 12. Cela équivaut à 20 secondes. Notez que nous obtenons des secondes car la distance était en mètres et la vitesse était en mètres par seconde. Maintenant, pour 𝑡 indice o, on nous dit que la vitesse est la même que la vitesse à laquelle il se déplace vers l’est, soit 12 mètres par seconde. Rappelons que la vitesse est une grandeur scalaire ; elle n’a qu’une amplitude, et aucun sens ne lui est associé. Nous n’avons donc pas à craindre que notre cycliste se déplace maintenant dans le sens opposé. Sa vitesse, 𝑠 indice o, est toujours la même à 12 mètres par seconde.
Cette fois, on nous donne que la distance est de 96 mètres. Nous avons donc 𝑑 indice o égal à 96 mètres. Encore une fois, la distance est également une grandeur scalaire, nous ne devons donc pas nous inquiéter du sens. La substitution de ces nombres dans notre équation du temps nous donne que 𝑡 indice o est donné par 96 mètres divisé par 12 mètres par seconde. Cela donne 𝑡 indice o est égal à huit secondes. Rappelons que la question nous a demandé le temps total pendant lequel le cycliste se déplace et que nous avons dit que c’est la somme du temps pendant lequel il voyage vers l’est et du temps pendant lequel il voyage vers l’ouest. Notre réponse à la première partie de la question est donc donnée par la somme de 𝑡 indice e plus 𝑡 indice o, soit 20 secondes plus huit secondes. Cela nous donne un temps total de 28 secondes.
La deuxième partie de la question demande le vecteur vitesse moyenne du cycliste vers l’est du moment où il rejoint la route au moment où il descend du vélo. Rappelons que le vecteur vitesse moyenne est définie comme le déplacement total divisé par le temps total pris. Le déplacement total est la distance la plus courte entre le point de départ et le point d’arrivée. Notez que le vecteur vitesse est une grandeur vectorielle ; il a un sens et une amplitude.
Puisque le cycliste ne se déplace que vers l’est et l’ouest, nous savons que le vecteur vitesse moyenne doit se situer le long de cette ligne est-ouest, c’est-à-dire que son sens doit être vers l’est ou vers l’ouest. La question nous demande le vecteur vitesse moyenne vers l’est. Nous pouvons voir sur notre schéma que le cycliste se déplace plus vers l’est que vers l’ouest. Cela signifie que son déplacement global sera vers l’est. Nous nous attendons donc à un nombre positif de son vecteur vitesse moyenne vers l’est. Notez que s’il s’est déplacé vers l’ouest au global, son vecteur vitesse moyenne serait suivant l’ouest, que nous pourrions écrire comme un vecteur vitesse négative vers l’est.
Sur notre schéma, ce déplacement total est donné par cette distance ici, la distance la plus courte entre les deux croix représentant le point de départ et de fin de son mouvement. Il parcourt 240 mètres vers l’est puis 96 mètres vers l’ouest. Par conséquent, son déplacement total vers l’est est de 240 moins 96. C’est donc 144 mètres. Le temps total qu’il met pour le faire est la somme du temps pour lequel il voyage vers l’est, 𝑡 indice e, et le temps pour lequel il voyage vers l’ouest, 𝑡 indice o.
Nous avons déjà calculé cette somme dans la première partie de la question. Nous savons donc que le temps total est de 28 secondes. Par conséquent, le vecteur vitesse moyenne vers l’est est donné par le déplacement, 144 mètres, divisé par le temps, 28 secondes. On nous demande de donner la réponse à deux décimales près. Avec cette précision, nous avons notre réponse à 5,14 mètres par seconde. Notez que nous n’avons pas besoin de spécifier le sens car la question a spécifié que l’on nous donne le vecteur vitesse moyenne vers l’est.
