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Un circuit contenant une résistance, un condensateur et une inductance est utilisé comme récepteur pour les ondes électromagnétiques avec une fréquence de résonance de 121 kilohertz. La valeur de la résistance est de 116 kilohms. Le circuit a un facteur 𝑄 de 1,50. Quelle est la capacité du condensateur dans le circuit ? La formule utilisée pour calculer le facteur 𝑄 est 𝑄 est égal à un sur 𝑅 multiplié par la racine carrée de 𝐿 sur 𝐶. Donnez votre réponse en notation scientifique à deux décimales.
Dans cette question, on nous donne un circuit RLC, et nous devons déterminer la capacité en utilisant le facteur 𝑄, qui, on nous dit, est égal à 1,50. Disons que c’est le circuit avec lequel nous travaillons. Il a une résistance, une inductance et un condensateur. Et comme il s’agit d’un circuit à courant alternatif, il dispose d’une source d’alimentation à tension variable. On nous donne la fréquence de résonance 𝑓 du circuit et la valeur de la résistance 𝑅. Mais nous ne connaissons pas l’inductance 𝐿 du circuit.
Pour déterminer la valeur de l’inductance, nous allons rappeler une équation qui peut associer 𝐿 à nos autres variables. La fréquence de résonance 𝑓 d’un circuit est donnée par l’équation deux 𝜋𝑓 égale racine carrée de un sur 𝐿𝐶, avec 𝐿 la valeur de l’inductance du circuit et 𝐶 la capacité du circuit.
Nous devons maintenant faire de 𝐿 le sujet. Nous pouvons le faire en mettant les deux côtés au carré, ce qui donne deux 𝜋𝑓 au carré égale un sur 𝐿𝐶. Nous pouvons alors prendre l’inverse des deux côtés pour obtenir un sur deux 𝜋𝑓 au carré égal 𝐿𝐶. Et enfin, nous pouvons diviser les deux côtés par 𝐶 pour avoir 𝐿 est égal à un sur deux 𝜋𝑓 au carré fois 𝐶. Ensuite, nous utilisons cette équation pour 𝐿 dans l’équation du facteur 𝑄 pour obtenir 𝑄 égal à un sur 𝑅 multiplié par la racine carrée de un sur deux 𝜋𝑓 au carré fois 𝐶 au carré. La racine carrée annule les carrés dans les termes inférieurs pour donner 𝑄 est égal à un sur deux 𝜋𝑓𝐶𝑅.
Nous voulons calculer la capacité du condensateur dans le circuit. Nous devons donc réorganiser cette équation en fonction de 𝐶. Nous pouvons le faire en multipliant les deux côtés de l’équation par 𝐶 et en divisant les deux côtés par 𝑄 pour nous donner 𝐶 est égal à un sur deux 𝜋𝑓𝑅𝑄.
Avant d’utiliser les variables données, il faut faire attention aux préfixes des unités. La fréquence de résonance est donnée comme 121 kilohertz, ce qui est égal à 121 fois 10 puissance trois hertz. La résistance 𝑅 est donnée comme 116 kilohms, ce qui est égal à 116 fois 10 puissance trois ohms. Et le facteur 𝑄 est donné comme 1,50 et c’est un nombre sans dimension.
Maintenant, si nous utilisons nos variables données dans cette équation, nous constatons que 𝐶 est égal à un sur deux 𝜋 multiplié par 121 fois 10 puissance trois hertz multiplié par 116 fois 10 puissance trois ohms multiplié par 1,50. En complétant ce calcul, nous constatons que la capacité 𝐶 en notation scientifique à deux décimales est égale à 7,56 fois 10 puissance moins 12 farads. Et voici notre réponse.
La capacité du condensateur dans le circuit est égale à 7,56 fois 10 puissance moins 12 farads.
