Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Déterminer les mesures d’angle et des arcs majeur et mineur inscrits entre deux tangentes Mathématiques

Sur la figure donnée, déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

03:43

Transcription de vidéo

Sur la figure donnée, déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Regardons le schéma qui nous a été donné. Il y a un cercle de centre 𝑀 puis deux tangentes à ce cercle : les droites 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶. Ces deux tangentes se coupent en un point à l’extérieur au cercle, le point 𝐴. Et on nous dit que la mesure de l’angle formé entre ces deux tangentes est de 𝑥 degrés.

On nous donne également des expressions pour les mesures des deux arcs interceptés par ces tangentes. L’arc que nous pouvons supposer qu’il est l’arc mineur, 𝐵𝐶, a une mesure de deux 𝑥 degrés. Et la mesure de l’arc majeur 𝐵𝐶 est de 𝑦 degrés. Afin de trouver les valeurs de ces inconnues 𝑥 et 𝑦, nous devons rappeler la relation qui existe entre l’angle entre deux tangentes et les mesures de leurs arcs interceptés.

Nous savons que la mesure de l’angle entre deux tangentes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle est la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés. Nous pouvons donc former une équation. La mesure de l’angle entre les deux tangentes est de 𝑥 degrés. L’arc majeur intercepté est de 𝑦 degrés, et l’arc mineur intercepté est de deux 𝑥 degrés. Nous avons donc l’équation 𝑥 degrés est égal à un demi 𝑦 degrés moins deux 𝑥 degrés.

Maintenant, comme tout dans cette équation est mesuré en degrés, nous pouvons supprimer les unités. Et nous avons 𝑥 est égal à un demi multiplié par 𝑦 moins deux 𝑥. Maintenant, nous ne pouvons pas résoudre cette équation parce que nous avons deux inconnues et une seule équation, mais nous pouvons la manipuler un peu.

Nous allons commencer par multiplier les deux membres par deux pour donner deux 𝑥 est égal à 𝑦 moins deux 𝑥. Et puis nous pouvons ajouter deux 𝑥 à chaque membre pour donner quatre 𝑥 est égal à 𝑦. Maintenant, comme nous l’avons déjà dit, nous ne pouvons pas résoudre cette équation parce que nous avons deux inconnues et une seule équation. Mais nous avons au moins défini explicitement quelle est la relation entre 𝑦 et 𝑥. Afin de trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦 cependant, nous avons besoin d’une deuxième équation.

Eh bien, nous savons également que la mesure d’un cercle complet est de 360 degrés. En additionnant les mesures des arcs majeur et mineur, nous pouvons alors former une deuxième équation, 𝑦 plus deux 𝑥 est égal à 360. Nous avons maintenant deux équations du premier degré avec deux inconnues. Et nous pouvons donc les résoudre simultanément. Notre première équation 𝑦 égale quatre 𝑥 donne une expression d’𝑦 en fonction de 𝑥. Nous pouvons donc substituer cette expression à 𝑦 dans notre deuxième équation, donnant quatre 𝑥 plus deux 𝑥 égale 360.

Nous pouvons alors regrouper les termes semblables au membre gauche de l’équation pour donner six 𝑥 égale 360 et enfin diviser les deux membres de l’équation par six pour donner 𝑥 égal à 60. Nous avons alors trouvé la valeur de l’une des deux inconnues. Afin de trouver la valeur de l’autre, nous devons substituer cette valeur de 𝑥 dans l’autre équation. Cela donne 𝑦 est égal à quatre multiplié par 60, soit 240. Une vérification rapide confirme que cette valeur de 𝑦 plus deux fois cette valeur de 𝑥 est en effet égale à 360.

Donc, en rappelant la propriété des angles des tangentes qui se coupent, nous avons résolu le problème et trouvé les valeurs des deux inconnues. La valeur de 𝑥 est égale à 60 et la valeur de 𝑦 est égale à 240.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.