Vidéo de la leçon: Droites parallèles et perpendiculaires | Nagwa Vidéo de la leçon: Droites parallèles et perpendiculaires | Nagwa

Vidéo de la leçon: Droites parallèles et perpendiculaires

Nous examinons les équations de certaines droites pour voir quels paramètres vous indiquent si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires, puis nous apprenons à écrire l’équation d’une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre et passant par un point spécifié.

17:53

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons regarder et examiner des droites parallèles et perpendiculaires. Nous allons parcourir les définitions des termes « parallèle » et « perpendiculaire », puis nous examinerons leurs équations et passerons en revue certaines questions. On dit que deux droites sont parallèles si elles sont contenues dans le même plan, et peu importe jusqu’où vous les prolongez dans chaque direction, elles sont équidistantes. Une autre définition courante dit également qu’elles ne doivent jamais se couper. On déduit de cette définition que si vous avez deux droites qui sont en fait la même droite, l’une au-dessus de l’autre, elles ne sont pas parallèles car elles se coupent dans un nombre infini de lieux différents. Donc, bien qu’elles soient toujours à la même distance, zéro, nous ne les considérons pas comme étant parallèles car elles sont confondues.

Maintenant, voici un exemple où nous avons deux droites différentes. Elles sont toutes les deux dans le repère cartésien 𝑥𝑦 et elles sont parallèles. Partout où vous mesurez la distance entre elles, vous obtiendrez toujours la même réponse. On dit que deux droites sont perpendiculaires si un angle droit est formé à leur point d’intersection, comme c’est le cas ici. Ces deux droites sont donc toutes deux dans le repère cartésien 𝑥𝑦 et elles se coupent en le point deux, zéro. Et l’angle entre elles est de 90 degrés. Dans le reste de cette vidéo, nous allons examiner uniquement des droites contenues dans le repère cartésien 𝑥𝑦. Et nous allons étudier les équations de ces droites, en déterminant les éléments qui nous indiquent si elles sont parallèles ou perpendiculaires.

Les équations de droites sont une partie vraiment importante de ce sujet, alors faisons juste un récapitulatif rapide de l’équation 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Alors, l’équation cartésienne d’une droite est 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏 ou 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐, selon la notation utilisée dans votre pays. La valeur de 𝑚, le multiple de 𝑥 ou le coefficient de 𝑥 vous indique le coefficient directeur de la droite. Et la valeur de 𝑏 vous indique le point où elle coupe l’axe des 𝑦. Maintenant, le coefficient directeur ou la pente de la droite est défini comme étant la valeur de la variation de la coordonnée 𝑦 lorsque nous augmentons la coordonnée 𝑥 d’une unité.

Maintenant, j’ai tracé deux points 𝑎 et 𝑏 sur ma droite et j’ai augmenté la coordonnée 𝑥 d’une unité pour passer de 𝑎 à 𝑏. Ainsi, la différence entre leurs coordonnées 𝑥 est égale à plus un. Et en faisant cela, la différence entre les coordonnées 𝑦 de 𝑎 à 𝑏 sera une augmentation de 𝑚. Donc, peu importe cette valeur, elle désigne la variation de la coordonnée 𝑦 chaque fois que j’augmente ma coordonnée 𝑥 d’une unité, en se déplaçant le long de la droite. Donc, si cette droite avait été par exemple 𝑦 égale 0,5𝑥 plus trois, le multiple de 𝑥, le coefficient directeur, la valeur de 𝑚 est 0,5. Cela signifie que chaque fois que j’augmente ma coordonnée 𝑥 d’une unité, ma coordonnée 𝑦 augmente de 0,5.

Donc, si nous réarrangeons l’équation de la droite sous cette forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, il est très simple de lire le coefficient directeur de cette droite. Il suffit de regarder le coefficient de 𝑥, le multiple de 𝑥, c’est ton coefficient directeur. Nous avons alors une question ici.

Lesquelles des droites suivantes ont le même coefficient directeur ou la même pente ? Puis nous avons cinq droites. A est 𝑦 égale trois 𝑥 moins sept. B est 𝑦 égale moins un demi 𝑥 plus trois. C est 𝑦 égale moins trois 𝑥 plus sept. D est 𝑦 égale moins un demi 𝑥 plus cinq. Et E est 𝑦 égale trois 𝑥 plus neuf. Maintenant, toutes ces équations sont déjà données sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, donc ce que nous devons faire est de regarder les coefficients 𝑥. Et si ces coefficients ont le même nombre avec le même signe, alors les droites auront le même coefficient directeur ou la même pente.

Donc, B et D ont le même coefficient directeur, ou pente, de moins un demi. Et A et E ont le même coefficient directeur de trois. C a un coefficient directeur de moins trois, c’est donc un signe différent de A et E. Ce n’est donc pas le même coefficient directeur ou la même pente. Maintenant, lorsque deux droites ont le même coefficient directeur ou la même pente, nous les appelons parallèles. Donc ici, A est parallèle à E, et B est parallèle à D.

Alors maintenant, nous pouvons identifier les droites parallèles simplement en regardant leurs équations, tant qu’elles sont sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Donc, quant au coefficient directeur des droites perpendiculaires, si deux droites sont perpendiculaires, le produit de leurs coefficients directeurs, ou pentes, est moins un.

Eh bien, pourquoi serait-ce ainsi ? Nous allons y jeter un coup d’œil. J’ai deux droites ici, 𝐿 un, à laquelle j’ai donné l’équation 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑎, et 𝐿 deux, à laquelle j’ai donné l’équation 𝑦 égale 𝑛𝑥 plus 𝑏. Prenons ce point d’intersection et un point appartenant à chacune de ces droites qui a une coordonnée 𝑥 supérieure à la coordonnée 𝑥 au point d’intersection. Pour la première droite, la différence de coordonnées 𝑦 entre ces deux points, celui-ci et celui-ci, sera de 𝑚. Et pour la droite deux, la différence de ces coordonnées va être 𝑛. Eh bien, en fait, ça va être moins 𝑛. La droite deux est donc une droite descendante, ce qui signifie qu’elle va avoir une pente négative.

Pour l’instant, je m’intéresse à la distance ici. Et c’est une distance positive. Je dois donc prendre l’opposé de cette pente négative pour déterminer quelle sera la distance réelle. Maintenant, si je nomme ces points A, B et C, nous savons que le triangle ABC est un triangle rectangle parce que les deux droites sont perpendiculaires. L’angle ABC est donc un angle droit. Et dans les triangles rectangles, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour dire que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des autres côtés. Ainsi, la longueur AC au carré est égale à la longueur AB au carré plus la longueur BC au carré. Et nous savons que la longueur AC est 𝑚 plus moins 𝑛. Donc, AC au carré est 𝑚 plus moins 𝑛 le tout au carré. Maintenant, si nous revenons à notre figure, nous pouvons voir qu’il y a deux autres triangles rectangles. Nous avons celui-ci et celui-ci.

Et encore une fois, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l’hypoténuse de chacun d’entre eux. Nous savons que le triangle en haut a une hauteur de ℎ et une largeur de- désolé, une hauteur de 𝑚 et une largeur de un. Et le triangle en bas a une hauteur de moins 𝑛 et une largeur de un. Ainsi, ces longueurs AB et BC sont la racine carrée de 𝑚 au carré plus un au carré et la racine carrée de moins 𝑛 le tout au carré plus un au carré. Et maintenant, nous pouvons commencer à simplifier cela. On a 𝑚 plus moins 𝑛 qui est simplement 𝑚 moins 𝑛. Ainsi, le côté gauche devient 𝑚 moins 𝑛 le tout au carré. La racine carrée de 𝑚 au carré plus un au carré le tout au carré est juste 𝑚 au carré plus un. Et moins 𝑛 le tout au carré est juste 𝑛 au carré. Ainsi, la racine carrée de moins 𝑛 le tout au carré plus un au carré le tout au carré est simplement égal à 𝑛 au carré plus un.

Maintenant, 𝑚 moins 𝑛 le tout au carré signifie 𝑚 moins 𝑛 fois 𝑚 moins 𝑛 et juste en rangeant le côté droit, j’ai 𝑚 au carré plus 𝑛 au carré plus deux. Maintenant, en multipliant chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième parenthèse du côté gauche, j’obtiens 𝑚 au carré moins deux 𝑚𝑛 plus 𝑛 au carré. Je peux donc soustraire 𝑚 au carré aux deux côtés et je peux soustraire 𝑛 au carré aux deux côtés, ce qui élimine 𝑚 au carré des deux côtés et élimine 𝑛 au carré des deux côtés. J’ai donc moins deux 𝑚𝑛 est égal à deux. Maintenant, si je divise les deux côtés par moins deux, j’obtiens 𝑚 fois 𝑛 égale deux sur moins deux, ce qui est égal à moins un. Rappelez-vous maintenant, 𝑚 était le coefficient directeur de ma première droite et 𝑛 était le coefficient directeur de ma deuxième droite. Donc 𝑚𝑛 est le produit des deux coefficients directeurs des droites. Donc, lorsque ces droites étaient perpendiculaires, peu importe quels étaient les coefficients directeurs réels, nous savions que lorsque nous les multiplions ensemble, nous obtiendrons toujours ce résultat de moins un.

Maintenant, si vous vous êtes un peu perdu en cours de route, ne vous inquiétez pas. Ce n’est pas important. C’est ce dont vous devez vous souvenir. Si deux droites sont perpendiculaires, alors le produit de leurs coefficients directeurs, ou pentes, est moins un. Donc, si nous appelons 𝑚 le coefficient directeur de la première droite et 𝑛 le coefficient directeur de la deuxième droite, alors 𝑚 fois 𝑛 est égal à moins un. Ou si je divise les deux côtés par 𝑛, j’obtiens 𝑚 égale moins un sur 𝑛. Ou si je divise les deux côtés par 𝑚, j’obtiens 𝑛 égale moins un sur 𝑚. En d’autres termes, chaque coefficient directeur est l’opposé de l’inverse de l’autre. Cela signifie que si je connais l’un des coefficients directeurs, je peux trouver le coefficient directeur de la droite perpendiculaire en changeant simplement le signe et en inversant ce nombre.

Ainsi, par exemple, si 𝑚 valait cinq, 𝑛 serait simplement moins un sur cinq, le signe opposé, puis l’inverse de ce nombre. Si 𝑚 était moins trois, je prendrais le signe opposé pour le rendre positif et j’inverserais ce nombre, trois sur un serait un sur trois. Et si 𝑚 était égal à deux tiers, 𝑛 serait égal à moins trois sur deux. Donc, connaître cette règle signifie que si vous connaissez la pente ou le coefficient directeur d’une droite particulière, il est très facile de déterminer ce que serait la pente ou le coefficient directeur d’une droite perpendiculaire à celle-ci.

Donc, pour résumer les propriétés de base, deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur mais une ordonnée à l’origine 𝑦 différente. Par exemple, 𝑦 est égal à sept 𝑥 moins cinq et 𝑦 est égal à sept 𝑥 plus deux. Elles ont toutes deux un coefficient directeur de sept et leurs ordonnées à l’origine 𝑦 sont différentes, moins cinq et plus deux, elles sont donc parallèles. Et deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à moins un. Par exemple, 𝑦 est égal à trois 𝑥 moins un et 𝑦 est égal à moins un tiers 𝑥 plus neuf. Le coefficient directeur du premier est de trois et le coefficient directeur du second est égal à moins un tiers. Le produit de ces coefficients directeurs est donc trois fois moins un tiers. Mais trois est égal à trois sur un, donc pour en faire un calcul de fraction, j’ai trois fois moins un sur un fois trois. Eh bien, c’est moins trois sur trois, ce qui est égal à moins un. Donc, cela répond aux critères, donc les droites sont perpendiculaires.

Autre exemple : 𝑦 est égal à moins deux septièmes 𝑥 plus huit et 𝑦 est égal à sept sur deux 𝑥 plus huit. Les coefficients directeurs sont moins deux sur sept et sept sur deux. Le coefficient directeur de l’une est l’opposé de l’inverse du coefficient directeur de l’autre. Et si je multiplie les coefficients directeurs ensemble, moins deux sur sept fois sept sur deux est égal à moins quatorze sur quatorze, ce qui est égal à moins un. Ces deux droites sont donc perpendiculaires. Et avec des droites perpendiculaires, peu importe que ces ordonnée à l’origine 𝑦 soient toutes les deux égales à plus huit. Les coefficients directeurs sont différents, donc ce sont des droites différentes. Elles sont définitivement perpendiculaires. Jetons un coup d’œil à quelques questions typiques.

Deux droites, A et B, ont des coefficients directeurs de trois quarts et moins quatre sur trois, respectivement. Sont-elles parallèles, perpendiculaires, ou ni parallèles ni perpendiculaires ?

Eh bien, les coefficients directeurs ne sont pas égaux, donc elles ne sont certainement pas parallèles. Maintenant, si nous multiplions ces coefficients directeurs ensemble, nous obtenons trois quarts fois moins quatre sur trois, ce qui est moins douze sur douze, ce qui est moins un. Il semble donc que ces deux droites soient perpendiculaires.

Ensuite, lesquelles des droites suivantes sont parallèles les unes aux autres ? Puis nous avons cinq équations. A) 𝑦 égale huit 𝑥 moins cinq. B) Deux 𝑦 égale huit 𝑥 plus trois. C) Huit 𝑥 moins 𝑦 plus deux égale zéro. D) Un demi 𝑦 moins quatre 𝑥 égale douze. Et E) 𝑦 égale moins un huitième 𝑥 plus sept.

Eh bien, avec A et E, elles sont déjà sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, il est donc assez facile de lire le coefficient directeur. Mais pour B, C et D, nous allons devoir faire un peu de réarrangement pour les mettre dans la forme correcte afin de pouvoir lire sur leurs pistes. Pour l’équation B, je vais devoir diviser les deux côtés de cette équation par deux. Donc, le côté gauche, la moitié de deux 𝑦 est juste 𝑦. Puis en divisant chaque terme sur le côté droit par deux, la moitié de huit 𝑥 est quatre 𝑥 et la moitié de trois est trois sur deux. Pour l’équation C, je peux simplement ajouter 𝑦 des deux côtés, ce qui l’éliminera du côté gauche, et me donner juste 𝑦 du côté droit. Cela me donne donc huit 𝑥 plus deux égale 𝑦. Maintenant, je vais écrire que l’inverse de 𝑦 égale huit 𝑥 plus deux, parce que c’est la forme que nous connaissons.

Maintenant, D a besoin d’un peu plus de travail. J’ai le terme 𝑦 et le terme 𝑥 sur le côté gauche, puis juste le nombre sur la droite. Donc, tout d’abord, je vais ajouter quatre 𝑥 des deux côtés, ce qui me donne un demi 𝑦 égale, et bien douze plus quatre 𝑥 ou quatre 𝑥 plus douze. Puis en doublant chaque côté de cette équation pour me laisser avec juste 𝑦. Deux fois un demi 𝑦 vaut 𝑦, deux fois quatre 𝑥 vaut huit 𝑥 et deux fois douze font vingt-quatre. Maintenant, nous avons nos équations sous la forme correcte. C’est une question assez simple de trouver les coefficients directeurs, afin que nous puissions voir quelles droites sont parallèles les unes aux autres. En A, le coefficient directeur est de huit. En B, le coefficient directeur est de quatre. En C, le coefficient directeur est de huit. En D, le coefficient directeur est également de huit. Et en E, le coefficient directeur est égal à moins un huitième. Ainsi, A, C et D ont tous un coefficient directeur de huit. La réponse est donc A, C et D sont parallèles.

Maintenant, nous devons écrire l’équation d’une droite parallèle à 𝑦 égale huit 𝑥 moins quatre.

Elle doit donc être parallèle, ce qui signifie qu’elle doit avoir le même coefficient directeur de huit. Il faut donc commencer par 𝑦 égale huit 𝑥. Puis nous pouvons ajouter tout ce que nous aimons car partout où cette droite coupe l’axe des 𝑦, cela n’a pas d’importance. Ça va être parallèle à cette droite. La seule chose que vous ne devriez pas utiliser est huit 𝑥 moins quatre. Ne faites pas exactement la même droite car la plupart des gens diraient qu’elles ne sont pas parallèles parce que c’est la même droite. Vous pouvez donc écrire ce que vous voulez ici huit 𝑥 plus mille. Voilà, c’est une droite parallèle à 𝑦 égale huit 𝑥 moins quatre.

Ensuite, nous devons écrire l’équation d’une droite perpendiculaire à 𝑦 égale trois 𝑥 moins deux.

Eh bien, le coefficient directeur est de trois, donc le coefficient directeur de cette droite perpendiculaire doit être l’opposé de l’inverse de l’autre, donc moins un sur trois. Donc, notre équation va commencer par 𝑦 est égal à moins un sur trois 𝑥. Et nous pouvons ajouter tout ce que nous voulons. Nous pourrions simplement le laisser comme moins un sur trois 𝑥, ou nous pourrions ajouter n’importe quel nombre que nous aimons pour faire une droite perpendiculaire.

Maintenant, nous devons écrire une équation pour la droite qui est parallèle à 𝑦 égale un demi 𝑥 plus cinq et qui passe par le point six, 10. Eh bien, nous savons que le coefficient directeur de la droite d’équation 𝑦 égale un demi 𝑥 plus cinq vaut un demi. Donc, si notre droite va être parallèle à cela, elle doit également avoir un coefficient directeur égal à un demi. Mais bien sûr, cette droite pourrait couper l’axe des 𝑦 n’importe où, donc nous pourrions déplacer cette droite vers le haut ou vers le bas. On nous dit qu’elle doit passer par le point six, 10. Et cela signifie que quand 𝑥 est égal à six, 𝑦 doit être égal à 10.

Maintenant, si nous utilisons l’équation cartésienne de notre droite, 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, nous savons que le coefficient directeur 𝑚 est égal à un demi. Alors, nous devons rechercher la valeur de 𝑏. Mais nous connaissons une paire de coordonnées particulière qui se trouve sur la droite, lorsque 𝑥 est égal à six, 𝑦 est égal à 10. Donc, en remplaçant 𝑥 et 𝑦 par six et 10, nous avons 10 est égal à la moitié de six plus 𝑏. Donc 10 est égal à trois plus 𝑏. Puis soustraire trois aux deux côtés me donne sept égale 𝑏. Maintenant, nous connaissons la valeur de 𝑏 ; nous pouvons terminer notre équation. Donc, 𝑦 égale un demi 𝑥 plus sept.

Enfin, écrivez une équation pour la droite qui est perpendiculaire à 𝑦 égale trois quarts 𝑥 moins quatre et qui passe par le point quatre, 11.

Nous essayons donc de trouver la pente ou le coefficient directeur de la droite qui est perpendiculaire à la droite de pente égale à trois quarts. Donc, le coefficient directeur de notre droite perpendiculaire va être moins quatre sur trois, l’opposé de l’inverse, rappelez-vous. Trois fois quatre fois moins quatre sur trois est égal à moins un. Cela signifie donc que c’est une droite perpendiculaire. Nous avons donc le coefficient directeur de la droite et nous savons aussi que la droite va passer par le point quatre, 11. Quand 𝑥 est égal à quatre, alors 𝑦 est égal à 11. Donc, en utilisant la forme de l’équation 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, nous savons que 𝑚 est moins quatre sur trois. Et nous savons que lorsque 𝑥 est quatre, alors 𝑦 est 11. Nous pouvons donc utiliser toutes ces informations pour déterminer la valeur de 𝑏.

Donc 11 est égal à moins quatre tiers multiplié par quatre plus 𝑏. Eh bien, quatre correspond à quatre sur un. Cela devient donc un calcul de fraction, moins quatre tiers multiplié par quatre sur un. Donc 11 est égal à moins seize tiers plus 𝑏. Donc, si j’ajoute seize tiers aux deux côtés, j’ai 11 plus seize tiers égale 𝑏. Et c’est égal à 49 sur trois. Je peux donc remettre cela dans notre équation d’origine et obtenir ma réponse, 𝑦 égale moins quatre tiers 𝑥 plus 49 sur trois.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité