Vidéo de la leçon : Droites parallèles et perpendiculaires Mathématiques

Nous examinons les équations de certaines droites pour voir quels paramètres vous indiquent si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires, puis nous apprenons à écrire l’équation d’une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre et passant par un point spécifié.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons regarder et travailler avec des droites parallèles et perpendiculaires. Nous allons parcourir les définitions des termes parallèle et perpendiculaire, puis nous examinerons leurs équations et passerons en revue certaines questions. On dit que deux droites sont parallèles si elles sont dans le même plan, et peu importe à quelle distance vous les prolongez dans chaque direction, elles sont à la même distance. Une autre définition populaire dit également qu’elles ne doivent jamais se croiser. Et l’effet de cette définition est que si vous avez deux droites qui sont en fait la même droite, l’une au-dessus de l’autre, elles ne sont pas parallèles car elles se croisent dans un nombre infini de lieux différents. Donc, bien qu’elles soient toujours à la même distance, zéro, nous ne les comptons pas comme étant parallèles car elles sont confondues.

Maintenant, voici un exemple où nous avons deux droites différentes. Elles sont toutes les deux sur le plan des coordonnées 𝑥𝑦 et elles sont parallèles. Partout où vous mesurez la distance entre elles, vous obtiendrez toujours la même réponse. On dit que deux droites sont perpendiculaires si un angle droit est formé à leur point d’intersection, comme c’est le cas ici. Ces deux droites sont donc toutes deux sur le plan des coordonnées 𝑥𝑦 et elles se coupent au point deux, zéro. Et l’angle entre elles est de 90 degrés. Dans le reste de cette vidéo, nous allons travailler uniquement avec des droites dans le plan 𝑥𝑦. Et nous allons examiner les équations de ces droites, en sélectionnant les aspects qui nous disent s’ils sont parallèles ou perpendiculaires.

Et les équations de droites sont vraiment une partie importante de ce sujet, alors faisons juste un récapitulatif rapide de 𝑦 égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏. Ainsi, la forme générale d’une équation d’une droite est 𝑦 est égale à 𝑚𝑥 plus 𝑏 ou peut-être 𝑦 est égale à 𝑚𝑥 plus 𝑐, selon l’endroit où vous vivez. La valeur 𝑚, le multiple de 𝑥, le coefficient de 𝑥, vous indique la pente de la droite. Et la valeur de 𝑏 vous indique où elle coupe l’axe 𝑦. Maintenant, la pente ou le gradient de la droite est défini comme étant la quantité par laquelle la coordonnée 𝑦 varie, lorsque nous augmentons la coordonnée 𝑥 d’une unité.

Maintenant, j’ai dessiné deux points 𝑎 et 𝑏 sur ma droite et j’ai augmenté la coordonnée 𝑥 d’une unité pour passer de 𝑎 à 𝑏. Ainsi, la différence dans leurs coordonnées 𝑥 est positive. Et quand je fais ça, la différence dans les coordonnées 𝑦 de 𝑎 à 𝑏 sera une augmentation de 𝑚. Donc, quelle que soit la valeur, d’accord, c’est la quantité par laquelle la coordonnée 𝑦 augmente de, chaque fois que j’augmente ma coordonnée 𝑥 d’une unité, en se déplaçant le long de la droite. Donc, si cette droite avait été par exemple 𝑦 est égal à 0.5𝑥 plus trois, le multiple de 𝑥, la pente, la valeur 𝑚 est 0.5. Cela signifie que chaque fois que j’augmente ma coordonnée 𝑥 d’une unité, ma coordonnée 𝑦 augmente de 0.5.

Donc, si nous organisons l’équation de la droite dans ce format 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏, il est très simple de lire la pente de cette droite. Il suffit de regarder le coefficient de 𝑥, le multiple de 𝑥 ; c’est ta pente. Nous avons donc ici une question.

Lesquelles des droites suivantes ont la même pente ou le même gradient ? Et puis nous avons cinq droites. A est 𝑦 est égal à trois 𝑥 moins sept. B est 𝑦 est égal à moins un demi 𝑥 plus trois. C est 𝑦 est égal à moins trois 𝑥 plus sept. D est 𝑦 est égal à moins un demi 𝑥 plus cinq. Et E est 𝑦 est égal à trois 𝑥 plus neuf. Maintenant, toutes ces équations sont déjà au format 𝑦 égal 𝑚𝑥 plus 𝑏 pour nous, donc ce que nous devons faire est de regarder les coefficients 𝑥. Et s’ils sont le même nombre avec le même signe, alors ils auront la même pente ou le même gradient.

Donc, B et D ont la même pente, ou gradient, de moins un demi. Et A et E ont la même pente de trois. C a une pente de moins trois, c’est donc un signe différent de A et E. Ce n’est donc pas la même pente ou le même gradient. Maintenant, lorsque deux droites ont la même pente ou le même gradient, nous les appelons parallèles. Donc ici, A est parallèle à E et B est parallèle à D.

Alors maintenant, nous pouvons reconnaître les droites parallèles simplement en regardant leurs équations, tant qu’elles sont au format 𝑦 égal 𝑚𝑥 plus 𝑏. Donc, en pensant à la pente des droites perpendiculaires, si deux droites sont perpendiculaires, le produit de leurs pentes, ou gradients, est négatif.

Eh bien, pourquoi serait-ce ainsi ? Nous allons jeter un coup d’œil. J’ai donc deux droites ici, 𝐿 un, à laquelle j’ai donné l’équation 𝑦 est égale à 𝑚𝑥 plus 𝑎, et 𝐿 deux, à laquelle j’ai donné l’équation 𝑦 est égale à 𝑛𝑥 plus 𝑏. Prenons ce point d’intersection et un point sur chacune de ces droites qui a la coordonnée 𝑥 qui est supérieure à la coordonnée 𝑥 au point d’intersection. Pour la première droite, la différence de coordonnées 𝑦 entre ces deux points, celui-ci et celui-ci, sera de 𝑚. Et pour la droite deux, la différence de ces coordonnées va être 𝑛. Eh bien en fait, ça va être moins 𝑛. La droite 2 est donc une droite descendante, ce qui signifie qu’elle va avoir un gradient négatif.

Maintenant, je m’intéresse pour l’instant à la distance ici. Et c’est une distance positive. Je dois donc prendre l’opposé de ce gradient négatif pour déterminer quelle sera la distance réelle. Maintenant, si je nomme ces points A, B et C, nous savons que le triangle ABC est un triangle rectangle parce que les deux droites sont perpendiculaires. L’angle ABC est donc un angle droit. Et dans les triangles rectangles, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour dire que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des autres côtés. Ainsi, la longueur AC au carré est égale à la longueur AB au carré plus la longueur BC au carré. Et nous savons que la longueur AC est 𝑚 plus moins 𝑛. Donc, AC au carré est 𝑚 plus moins 𝑛 tous au carré. Maintenant, si nous regardons en arrière sur notre figure, nous pouvons voir que nous avons deux autres triangles rectangles. Nous avons celui-ci ici et celui-ci ici.

Et encore une fois, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l’hypoténuse de chacun d’entre eux. Nous savons que le triangle supérieur a une hauteur de ℎ et une largeur de- désolé, une hauteur de 𝑚 et une largeur de un. Et le triangle inférieur a une hauteur de moins 𝑛 et une largeur de un. Ainsi, ces longueurs AB et BC sont la racine carrée de 𝑚 au carré plus un carré et la racine carrée de moins 𝑛 au carré plus un carré. Et maintenant, nous pouvons commencer à simplifier cela. 𝑚 plus moins 𝑛 est juste 𝑚 moins 𝑛. Ainsi, le côté gauche devient 𝑚 moins 𝑛 le tout au carré. La racine carrée de 𝑚 carré plus un carré le tout au carré est juste 𝑚 carré plus un. Et moins 𝑛 le tout au carré est juste 𝑛 carré. Ainsi, la racine carrée de moins 𝑛 le tout au carré plus un carré le tout au carré est simplement égal à 𝑛 carré plus un.

Maintenant, 𝑚 moins 𝑛 le tout au carré signifie 𝑚 moins 𝑛 fois 𝑚 moins 𝑛 et juste en rangeant le côté droit, j’ai 𝑚 au carré plus 𝑛 au carré plus deux. Maintenant, en multipliant chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième parenthèse du côté gauche, j’obtiens 𝑚 au carré moins deux 𝑚𝑛 plus 𝑛 au carré. Je peux donc soustraire 𝑚 au carré des deux côtés et je peux soustraire 𝑛 au carré des deux côtés, ce qui élimine 𝑚 au carré des deux côtés et élimine 𝑛 au carré des deux côtés. J’ai donc moins deux 𝑚𝑛 est égal à deux. Maintenant, si je divise les deux côtés par moins deux, j’obtiens 𝑚 fois 𝑛 est égal à deux sur moins deux, ce qui est égal à moins un. Rappelez-vous maintenant, 𝑚 était la pente de ma première droite et 𝑛 était la pente de ma deuxième droite. Donc 𝑚𝑛 est le produit des deux pentes des droites. Donc, lorsque ces droites étaient perpendiculaires, peu importe quelles étaient les pentes réelles, nous savions que lorsque nous les multiplions ensemble, nous obtiendrons toujours cette réponse de moins un.

Maintenant, si vous vous êtes un peu perdu en cours de route, ne vous inquiétez pas. Ce n’est pas important. C’est ce dont vous devez vous souvenir. Si deux droites sont perpendiculaires, alors le produit de leurs pentes, ou gradients, est moins un. Donc, si nous appelons 𝑚 la pente de la première droite et 𝑛 la pente de la deuxième droite, 𝑚 fois 𝑛 est égal à moins un. Ou si je divise les deux côtés par 𝑛, j’obtiens 𝑚 est égal à moins un sur 𝑛. Ou si je divise les deux côtés par 𝑚, j’obtiens 𝑛 est égal à moins un sur 𝑚. En d’autres termes, chaque pente est l’inverse réciproque de l’autre. Cela signifie que si je connais l’une des pentes, je peux trouver la pente perpendiculaire en changeant simplement le signe et en inversant ce nombre.

Ainsi, par exemple, si 𝑚 valait cinq, 𝑛 serait simplement moins un sur cinq, le signe opposé, puis l’inverse de ce nombre. Si 𝑚 était moins trois, je prends le signe opposé pour le rendre positif et je retourne ce nombre, trois sur un devient un sur trois. Et si 𝑚 était égal à deux tiers, 𝑛 sera égal à moins trois sur deux. Donc, connaître cette règle signifie que si vous connaissez le gradient ou la pente d’une droite particulière, il est très facile de déterminer ce que serait le gradient ou la pente d’une droite perpendiculaire à celle-ci.

Donc, pour résumer les faits de base, deux droites sont parallèles si elles ont la même pente mais une intersection 𝑦 différente. Par exemple, 𝑦 est égal à sept 𝑥 moins cinq et 𝑦 est égal à sept 𝑥 plus deux. Elles ont toutes deux une pente de sept et leurs interceptions 𝑦 sont différentes, moins cinq et plus deux, elles sont donc parallèles. Et deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes est égal à un. Par exemple, 𝑦 est égal à trois 𝑥 moins un et 𝑦 est égal à moins un troisième 𝑥 plus neuf. La pente du premier est de trois et la pente du second est moins un tiers. Le produit de ces pentes est donc trois fois moins un tiers. Mais trois est égal à trois sur un, donc pour en faire un calcul de fraction, j’ai trois fois moins un sur un fois trois. Eh bien, c’est moins trois sur trois, ce qui est égal à moins un. Donc, cela répond aux critères, donc les droites sont perpendiculaires.

Et un autre exemple, 𝑦 est égal à moins deux septièmes 𝑥 plus huit et 𝑦 est égal à sept sur deux 𝑥 plus huit. Les pentes sont moins deux sur sept et sept sur deux. Elles sont inverses opposées l’une de l’autre. Et si je multiplie les pentes ensemble, moins deux sur sept fois sept sur deux est égal à moins quatorze sur quatorze qui est égal à moins un. Ces deux droites sont donc perpendiculaires. Et avec des droites perpendiculaires, peu importe que ces interceptions soient toutes les deux à plus huit. Les pentes sont différentes, donc ce sont des droites différentes. Elles sont définitivement perpendiculaires. Jetons un coup d’œil à quelques questions typiques.

Deux droites, A et B, ont des pentes de trois quarts et moins quatre sur trois, respectivement. Sont-elles parallèles, perpendiculaires ou ni l’une ni l’autre ?

Eh bien, les pentes ne sont pas égales, donc elles ne sont certainement pas parallèles. Maintenant, si nous multiplions ces pentes ensemble, nous obtenons trois quarts fois moins quatre sur trois, ce qui est moins douze sur douze, ce qui est moins un. Il semble donc que ces deux droites soient perpendiculaires.

Ensuite, lesquelles des droites suivantes sont parallèles les unes aux autres ? Et puis nous avons cinq équations. A) 𝑦 est égal à huit 𝑥 moins cinq. B) Deux 𝑦 est égal à huit 𝑥 plus trois. C) Huit 𝑥 moins 𝑦 plus deux égal à zéro. D) Un demi 𝑦 moins quatre 𝑥 est égal à douze. Et E) 𝑦 est égal à moins un huitième 𝑥 plus sept.

Eh bien, avec A et E, elles sont déjà au format 𝑦 égal 𝑚𝑥 plus 𝑏, il est donc assez facile de lire la pente. Mais pour B, C et D, nous allons devoir faire un peu de réarrangement pour les mettre dans le bon format afin de pouvoir lire sur leurs pistes. Pour l’équation B, je vais devoir diviser les deux côtés de cette équation par deux. Donc, le côté gauche, la moitié de deux 𝑦 est juste 𝑦. Et puis en divisant chaque terme sur le côté droit par deux, la moitié de huit 𝑥 est quatre 𝑥 et la moitié de trois est trois sur deux. Pour l’équation C, je peux simplement ajouter 𝑦 des deux côtés, ce qui l’éliminera du côté gauche, et me donner juste 𝑦 du côté droit. Cela me donne donc huit 𝑥 plus deux égal à 𝑦. Maintenant, je vais écrire que l’inverse de 𝑦 est égal à huit 𝑥 plus deux, parce que c’est le format que nous connaissons.

Maintenant, D a besoin d’un peu plus de travail. J’ai le terme 𝑦 et le terme 𝑥 sur le côté gauche, puis juste le nombre sur la droite. Donc, tout d’abord, je vais ajouter quatre 𝑥 des deux côtés, ce qui me donne un demi 𝑦 est égal à, et bien douze plus quatre 𝑥 ou quatre 𝑥 plus douze. Et puis en doublant chaque côté de cette équation pour me laisser avec juste 𝑦. Deux fois un demi 𝑦 vaut 𝑦, deux fois quatre 𝑥 vaut huit 𝑥 et deux fois douze font vingt-quatre. Maintenant, nous avons nos équations dans le bon format. C’est une question assez simple de trouver les pentes, afin que nous puissions voir quelles droites sont parallèles les unes aux autres. En A, la pente est de huit. En B, la pente est de quatre. En C, la pente est de huit. En D, la pente est également de huit. Et en E, la pente est moins un huitième. Ainsi, A, C et D ont tous une pente de huit. La réponse est donc A, C et D sont parallèles.

Maintenant, nous devons écrire l’équation d’une droite parallèle à 𝑦 égale huit 𝑥 moins quatre.

Il doit donc être parallèle, ce qui signifie qu’il doit avoir la même pente de huit. Il faut donc commencer par 𝑦 est égal à huit 𝑥. Et puis nous pouvons ajouter tout ce que nous aimons car partout où cette droite coupe l’axe 𝑦, cela n’a pas d’importance. Ça va être parallèle à cette droite. La seule chose que vous ne devriez pas utiliser est huit 𝑥 moins quatre. Ne faites pas exactement la même droite car la plupart des gens diraient qu’ils ne sont pas parallèles parce que c’est la même droite. Vous pouvez donc écrire ce que vous voulez ici huit 𝑥 plus mille. Voilà, c’est une droite parallèle à 𝑦 égale huit 𝑥 moins quatre.

Ensuite, nous devons écrire l’équation d’une droite perpendiculaire à 𝑦 égale à trois 𝑥 moins deux.

Eh bien, la pente est de trois, donc la pente de cette droite perpendiculaire doit être l’inverse opposée, c’est donc moins un sur trois. Donc, notre équation va commencer par 𝑦 est égal à moins un sur trois 𝑥. Et nous pouvons ajouter tout ce que nous voulons. Nous pourrions simplement le laisser comme moins un sur trois 𝑥, ou nous pourrions ajouter n’importe quel nombre que nous aimons pour faire une droite perpendiculaire.

Maintenant, nous devons écrire une équation pour la droite qui est parallèle à 𝑦 est égal à un demi 𝑥 plus cinq et passe par le point six, 10. Eh bien, nous savons que la pente de la droite 𝑦 est égale à un demi 𝑥 plus cinq a une pente de moitié. Donc, si notre droite va être parallèle à cela, elle doit également avoir une pente de moitié. Mais bien sûr, cette droite pourrait couper l’axe 𝑦 n’importe où, donc nous pourrions déplacer cette droite vers le haut ou vers le bas. Ce qu’on nous dit, c’est qu’elle doit passer par le point six, 10. Et cela signifie que quand 𝑥 est égal à six, 𝑦 doit être égal à 10.

Maintenant, si nous utilisons la forme générale de notre équation 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, nous savons que la pente 𝑚 est égale à un demi. Maintenant, nous devons découvrir la valeur de 𝑏. Mais nous connaissons une paire de coordonnées particulière qui se trouve sur la droite, lorsque 𝑥 est égal à six, 𝑦 est égal à 10. Donc, en remplaçant 𝑥 et 𝑦 par six et 10, nous avons 10 est égal à la moitié de six plus 𝑏. Donc 10 est égal à trois plus 𝑏. Et puis en soustrayant trois des deux côtés, me donne sept est égal à 𝑏. Maintenant, nous connaissons la valeur de 𝑏 ; nous pouvons terminer notre équation. 𝑦 est égal à un demi 𝑥 plus sept.

Enfin, écrivez une équation pour la droite qui est perpendiculaire à 𝑦 égale à trois quarts 𝑥 moins quatre et passe par le point quatre, 11.

Nous essayons donc de trouver un gradient, ou une pente, qui est perpendiculaire à trois quarts. Donc, la pente de notre droite perpendiculaire va être moins quatre sur trois, l’inverse opposée, rappelez-vous. Trois fois quatre fois moins quatre sur trois est égal à moins un. Cela signifie donc que c’est une droite perpendiculaire. Nous avons donc la pente de la droite et nous savons aussi que ça va passer par le point quatre, 11. Donc quand 𝑥 est égal à quatre, alors 𝑦 est égal à 11. Donc, en utilisant le format de l’équation 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏, nous savons que 𝑚 est moins quatre sur trois. Et nous savons que lorsque 𝑥 est quatre, alors 𝑦 est 11. Nous pouvons donc utiliser toutes ces informations pour déterminer la valeur de 𝑏.

Donc 11 est égal à moins quatre tiers multipliés par quatre plus 𝑏. Eh bien, quatre est le même que quatre sur un. Cela devient donc un calcul de fraction, moins quatre tiers multiplié par quatre sur un. Donc 11 est égal à moins seize tiers plus 𝑏. Donc, si j’ajoute seize tiers aux deux côtés, j’ai 11 plus seize tiers est égal à 𝑏. Et cela est égal à 49 sur trois. Je peux donc remettre cela dans notre équation d’origine et obtenir ma réponse, 𝑦 est égal à moins quatre tiers 𝑥 plus 49 sur trois.

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