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Vidéo question :: Déterminer des expressions équivalentes en utilisant l’identité des angles complémentaires pour le sinus et le cosinus Mathématiques • Première année secondaire

Parmi les réponses suivantes, laquelle est égale à sin 𝜃 ? [A] sin ((3𝜋 / 2) + 𝜃) [B] cos ((3𝜋 / 2) + 𝜃) [C] sin ((𝜋 / 2) + 𝜃) [D] cos ((𝜋 / 2) + 𝜃)

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Parmi les réponses suivantes, laquelle est égale à sinus 𝜃 ? (A) Sinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃. (B) Cosinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃. (C) Sinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃. (D) Cosinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃.

Nous commençons par dessiner un angle arbitraire 𝜃 en position standard dans notre repère. Ensuite, nous traçons un cercle trigonométrique, centré à l'origine.

Nous rappelons qu'un angle 𝜃 en position standard coupera le cercle unitaire en un point dont l'abscisse 𝑥 est cosinus 𝜃 et l'ordonnée 𝑦 est sinus 𝜃. Nous traçons ensuite le triangle de référence de l'angle 𝜃 le long de la partie positive de l'axe des 𝑥. Or, l'hypoténuse d'un triangle de référence est un rayon du cercle trigonométrique et a donc une longueur égale à un. Nous notons également que la longueur du côté de notre triangle de référence, qui longe l'axe des 𝑥 positifs, est égale à cosinus 𝜃.

Dans les premier et quatrième quadrants, les valeurs de 𝑥 sont toujours positives. Cependant, dans le deuxième ou le troisième quadrant, les valeurs de 𝑥 sont négatives. Le côté du triangle de référence opposé à 𝜃 correspond à l'ordonné 𝑦 ou au sinus de 𝜃. Les valeurs de 𝑦 sont positives dans les premier et deuxième quadrants et négatives dans les troisième et quatrième quadrants.

Maintenant que nous avons rappelé où se trouve le sinus par rapport à l'angle 𝜃 et son triangle de référence, nous allons tracer un triangle congru pour chacun des deux autres angles mentionnés dans cette question, trois 𝜋 sur deux plus 𝜃 et 𝜋 sur deux plus 𝜃.

Pour situer l'angle trois 𝜋 sur deux plus 𝜃, nous plaçons l'angle trois 𝜋 sur deux et nous effectuons une rotation de 𝜃 dans le sens positif. Trois 𝜋 sur deux est situé sur l'axe des 𝑦 négatifs. À partir de là, nous effectuons une rotation de 𝜃 dans le sens trigonométrique. Cet angle coupe le cercle unitaire au point cosinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃, sinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃.

Ensuite, nous plaçons 𝜋 sur deux plus 𝜃 en effectuant une rotation de 𝜃 au-delà de l'axe des 𝑦 positifs dans le sens trigonométrique. Cet angle coupe le cercle trigonométrique au point cosinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃, sinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃. À l'aide de l'angle 𝜋 sur deux plus 𝜃, nous pouvons tracer un triangle rectangle congruent à notre triangle de référence initial. Seulement, cette ligne sera reliée à l'axe des 𝑦.

Pour repérer l'emplacement exact de ce nouveau triangle rectangle, il suffit de faire pivoter le triangle de référence initial de 90 degrés, soit 𝜋 sur deux radians. Ainsi, il a les mêmes dimensions que le triangle de référence original, qui avait un côté plus long de cosinus de 𝜃 et un côté plus court de sinus de 𝜃. Puisque 𝜋 sur deux plus 𝜃 est dans le deuxième quadrant, la valeur de 𝑥 sera négative. Le côté le plus court du nouveau triangle représentant maintenant la valeur 𝑥 sera de longueur moins sinus 𝜃. L'autre côté du triangle représente la valeur 𝑦, qui sera simplement cosinus 𝜃. Ainsi, notre point peut être écrit en fonction de 𝜃 comme moins sinus 𝜃, cosinus 𝜃.

Ainsi, cosinus de 𝜋 sur deux plus 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃 et sinus 𝜋 sur deux plus 𝜃 est égal à cos 𝜃. Nous éliminons donc les options (C) et (D) car aucune des deux expressions n'est égale à sinus de 𝜃.

Maintenant, revenons à l'angle trois 𝜋 sur deux plus 𝜃. Ici, nous allons tracer un autre triangle congru à notre triangle de référence. Ce nouveau triangle est placé le long de l'axe des 𝑦 négatifs. Dans le quatrième quadrant, la valeur de 𝑦 est négative, mais la valeur de 𝑥 est à nouveau positive, comme dans le premier quadrant. Nous obtenons que les coordonnées du point en fonction de 𝜃 sont sinus 𝜃, moins cosinus 𝜃. Cela signifie que cosinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃 est égal à sinus 𝜃 et que sinus de trois 𝜋 sur deux plus 𝜃 est égal à moins cosinus 𝜃.

Enfin, nous avons montré que l'option (B) est l'expression qui est égale au sinus de 𝜃. En effet, dans le cercle trigonométrique, l'abscisse 𝑥 du point donné par l'angle trois 𝜋 sur deux plus 𝜃 est la même que l'ordonnée 𝑦 donnée par l'angle 𝜃.

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