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Vidéo de question : Déterminer quel graphique représente une fonction dont l’ensemble de définition et l’ensemble image sont égaux Mathématiques

Laquelle des représentations graphiques suivantes représente celle d’une fonction dont l’ensemble de définition est égal à l’ensemble image ? [A] Graphique A [B] Graphique B [C] Graphique C [D] Graphique D [E] Graphique E

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Transcription de vidéo

Laquelle des représentations graphiques suivantes représente celle d’une fonction dont l’ensemble de définition est égal à l’ensemble image ?

Dans cette question, on nous donne les graphiques de cinq fonctions différentes. Et nous devons déterminer pour laquelle de ces fonctions l’ensemble de définition est égal à l’ensemble image ? Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que nous entendons par l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction. Premièrement, l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée possibles pour notre fonction. Deuxièmement, nous rappelons que l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre cette fonction étant donné son ensemble de définition. Nous devons déterminer pour laquelle de ces fonctions l’ensemble de définition est égal à son ensemble image.

Et puisque les graphiques des fonctions nous sont donnés, rappelons comment trouver l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction à partir de son graphique. Nous faisons ceci en nous rappelant que l’abscisse de tout point de notre graphique nous indique la valeur d’entrée de 𝑥. Et l’ordonnée correspondante nous donne la valeur de la fonction pour cette valeur d’entrée de 𝑥. Et par conséquent, l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les abscisses des points de son graphique. Et l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les ordonnées des points qui se trouvent sur son graphique. Ainsi, pour répondre à cette question, trouvons l’ensemble de définition et l’ensemble image pour chacune des cinq options.

Commençons par l’option (A) pour laquelle nous débuterons par son ensemble de définition. Premièrement, nous pouvons voir que la valeur la plus petite de 𝑥 qui est aussi une entrée valide est 𝑥 égale un parce que le point de coordonnées un, zéro est le point qui se trouve sur cette courbe et dont l’abscisse est la plus petite. Et pour toute valeur supérieure à celle-ci, nous pouvons voir qu’il existe un point sur la courbe ayant pour abscisse cette valeur. Par exemple, la droite verticale 𝑥 égale cinq coupe la courbe. Par conséquent, l’ensemble de définition de cette fonction est l’ensemble de toutes les valeurs supérieures ou égales à un.

Et nous pouvons trouver l’ensemble image de cette fonction d’une façon similaire. Nous commençons par trouver le point se situant sur la courbe et dont l’ordonnée est la plus petite. Dans ce cas, c’est zéro. Et en fait, nous pourrions nous arrêter dès maintenant ici parce que zéro n’est pas un élément de l’ensemble de définition de notre fonction. Ainsi, l’ensemble de définition et l’ensemble image ne sont pas égaux. Donc, la réponse n’est pas l’option (A). Cependant, nous pouvons également trouver une expression pour l’ensemble image de cette fonction. Nous pouvons voir que pour toute valeur supérieure ou égale à zéro, il existe un point sur la courbe qui a cette valeur pour ordonnée. Par exemple, la droite horizontale 𝑦 égale six coupe notre courbe. Par conséquent, l’ensemble image de cette fonction est l’ensemble de toutes les valeurs supérieures ou égales à zéro.

Nous pouvons suivre le même processus pour toutes les autres options. Dans l’option (B), nous pouvons voir que la valeur la plus petite de l’abscisse d’un point se trouvant sur notre courbe est zéro. Par conséquent, toutes les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à zéro appartiennent à l’ensemble de définition de notre fonction. Ainsi, l’ensemble de définition de cette fonction est l’ensemble de toutes les valeurs supérieures ou égales à zéro. Nous ne pouvons avoir pour entrées de 𝑥 que des valeurs non négatives. Cependant, si nous trouvons l’ensemble image de cette fonction, nous avons encore la même situation que précédemment. Moins un est une valeur de la fonction parce que c’est une ordonnée d’un point qui se trouve sur la courbe. Et en particulier, cette fonction évaluée en zéro est égale à moins un. Et moins un n’est pas un élément de l’ensemble de définition. Par conséquent, l’ensemble de définition et l’ensemble image de cette fonction ne sont pas égaux. Et si nous le voulions, nous pourrions simplement trouver l’ensemble image de cette fonction à partir de son graphique. C’est l’ensemble de toutes les valeurs supérieures ou égales à moins un.

Nous obtenons une histoire très similaire pour l’option (C). Commençons par trouver l’ensemble de définition de cette fonction. Tout d’abord, nous remarquons qu’il s’agit d’un point extrême du graphique. Et nous pouvons voir que c’est le point appartenant à la courbe dont l’abscisse est la plus grande. Cela nous indique par conséquent la valeur d’entrée la plus grande possible pour la fonction. La valeur d’entrée la plus grande est zéro. Et encore une fois, nous pouvons voir que la courbe se poursuit vers la gauche à l’infini, ce qui signifie que toutes les valeurs de 𝑥 inférieures ou égales à zéro sont des valeurs d’entrée possibles pour la fonction. Par conséquent, l’ensemble de définition de cette fonction est l’ensemble de toutes les valeurs inférieures ou égales à zéro.

Nous devons vérifier ensuite si l’ensemble de définition et l’ensemble image de cette fonction sont égaux. Et encore une fois, nous allons utiliser le fait que l’ensemble image de cette fonction est l’ensemble de toutes les ordonnées des points qui se trouvent sur sa courbe. L’ordonnée la plus basse d’un point qui se trouve sur son graphique est celle du point zéro, moins un. La valeur la plus petite que peut cette fonction est moins un. Ainsi, l’ensemble de définition et l’ensemble image de cette fonction ne peuvent pas être égaux. Donc l’option (C) n’est pas correcte.

Cependant, nous pouvons trouver directement l’ensemble image de cette fonction à partir de son graphique. Toutes les valeurs supérieures ou égales à moins un sont des valeurs possibles de la fonction. Ainsi, l’ensemble image est l’ensemble des valeurs supérieures ou égales à moins un. Nous appliquerons le même processus à l’option (D). Nous allons commencer par trouver l’ensemble de définition de cette fonction. Nous pouvons voir que l’abscisse la plus faible d’un point sur la droite est celle du point zéro, un soit zéro. Et puisque la courbe de cette fonction se poursuit à l’infini dans cette direction, nous pouvons voir que toute valeur supérieure ou égale à zéro est une valeur d’entrée possible pour notre fonction. L’ensemble de définition de cette fonction est l’ensemble de toutes les valeurs supérieures ou égales à zéro.

Nous pouvons alors utiliser ceci pour déterminer l’ensemble image de la fonction. Nous pouvons voir que l’ordonnée la plus petite d’un point de la courbe est un, ce qui signifie également que la valeur la plus petite que peut prendre la fonction est un. Cependant, l’ensemble de définition de cette fonction comprend zéro. Par conséquent, zéro n’est pas un élément de l’ensemble image de cette fonction. L’ensemble de définition et l’ensemble image ne sont pas égaux. Cela suffit pour exclure cette option. Cependant, nous pouvons également trouver l’ensemble image de cette fonction à partir de son graphique. Sur le graphique, nous pouvons voir que lorsque 𝑥 tend vers l’infini, notre fonction tend aussi vers l’infini. Et par conséquent, nous pouvons voir à partir du graphique que toute valeur supérieure ou égale à zéro est une valeur possible de l’ordonnée d’un point appartenant à la courbe. L’ensemble image de la fonction est l’ensemble de toutes les valeurs supérieures ou égales à un.

Enfin, déterminons l’ensemble de définition et l’ensemble image pour l’option (E). Premièrement, l’ensemble de définition est l’ensemble de toutes les abscisses des points qui se trouvent sur la courbe. Nous pouvons voir que l’abscisse la plus petite d’un point de la courbe est celle du point zéro, zéro. Et puisque le graphique de notre fonction se poursuit à l’infini vers la droite, il existe pour chaque valeur supérieure ou égale à zéro un point sur la courbe ayant cette valeur comme abscisse. Une autre façon de voir cela est que toute droite verticale sous la forme 𝑥 égale 𝑐, où 𝑐 est supérieur ou égal à zéro, coupe la courbe. Et les droites verticales à gauche de l’axe des ordonnées ne coupent pas la courbe. Par conséquent, l’ensemble de définition est l’ensemble de toutes les valeurs supérieures ou égales à zéro.

Et nous pouvons faire quelque chose de très similaire pour l’ensemble image. Rappelez-vous que l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les ordonnées des points qui se trouvent sur sa courbe. Et à partir du graphique, nous pouvons voir que l’ordonnée la plus petite de tout point de la courbe est celle du point de coordonnées zéro, zéro. Et à partir du graphique, nous pouvons voir le comportement en l’infini de notre courbe. Lorsque 𝑥 tend vers l’infini, 𝑦 n’est pas borné. Donc 𝑦 tend vers plus l’infini. Nous pouvons donc voir à partir du graphique que toute valeur supérieure ou égale à zéro est l’ordonnée d’un point de la courbe. Par conséquent, l’ensemble image de cette fonction est l’ensemble de toutes les valeurs supérieures ou égales à zéro.

Par conséquent, nous avons pu montrer que parmi les cinq options données seul le graphique de l’option (E) représente une fonction dont l’ensemble de définition est égal à son ensemble image.

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