Vidéo : Problèmes de valeur initiale

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer une solution spécifique à une équation différentielle à variables séparables étant donné une valeur initiale.

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Problèmes de valeur initiale

Dans cette vidéo, nous nous entraînerons à trouver une solution spécifique à une équation différentielle à variables séparables lorsqu’une valeur initiale est donnée.

Pour commencer, nous nous rappelons la définition d’une équation différentielle à variables séparables. Il s’agit de toute équation différentielle qui peut être écrite sous la forme d𝑦 par d𝑥 égale 𝑔 de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑦. Si l’on observe le membre droit de cette équation, si l’on ne peut l’exprimer comme une fonction de 𝑥 seulement multipliée par une fonction de 𝑦 seulement, alors elle n’est pas classée comme une équation différentielle à variables séparables. Pour trouver des solutions à ce type d’équations, nous pouvons utiliser la méthode suivante.

Ici, nous divisons les deux côtés par la fonction 𝑓 de 𝑦. Pour rendre notre notation plus facile à suivre, nous pouvons définir une nouvelle fonction ℎ de 𝑦, qui est égale à un sur 𝑓 de 𝑦. Aussi, une petite note rapide, quand 𝑓 de 𝑦 est égale à zéro, nous devrons diviser par zéro. Et donc, la solution sera perdue. Mais nous ne nous en inquiéterons pas trop pendant la vidéo.

Bon, notre prochaine étape sera d’intégrer les deux membres de notre équation par rapport à 𝑥. Le membre gauche de l’équation pourrait nous sembler un peu étrange. Mais une chose que nous pourrions reconnaître est que la règle de dérivation en chaîne peut être appliquée pour nous donner que d𝑦 par d𝑥, d𝑥 égale d𝑦. Nous pouvons utiliser ceci pour nous donner l’équation que l’intégrale de ℎ de 𝑦 par rapport à 𝑦 est égale à l’intégrale de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Soit dit en passant, revenons un peu en arrière. Vous verrez souvent cette méthode représentée de la manière suivante. Au stade où nous avions ℎ de 𝑦 d𝑦 par d𝑥 est égale à 𝑔 de 𝑥, nous traiterions d𝑦 par d𝑥 d’une manière similaire à une fraction, nous permettant de donner la formule équivalente ℎ de 𝑦 d𝑦 égale 𝑔 de 𝑥 d𝑥.

Nous allons maintenant intégrer les deux parties. Et avec un peu de chance, vous devriez voir que nous sommes arrivés au même stade. Vous devez toujours être conscient que ces étapes illustrées à droite doivent être traitées comme un raccourci pour la méthode que nous avons montrée en premier. Vous la voyez souvent parce qu’elle utilise moins de lignes de travail. Mais soyez toujours conscient des étapes plus rigoureuses qui se déroulent en arrière-plan. Par exemple, dans notre sténo, nous avons intégré de façon ambiguë les deux membres de notre équation. Alors que plus rigoureusement, nous intégrons les deux parties par rapport à 𝑥. Et le résultat est une intégrale au membre gauche par rapport à 𝑦.

Ok, arrangeons et continuons avec notre méthode. Par l’intégration de ℎ de 𝑦 par rapport à 𝑦 et de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥, nous obtenons 𝐻 majuscule de 𝑦 plus une constante, que nous allons appeler 𝑐 un, égal 𝐺 majuscule de 𝑥 plus une constante, que nous allons appeler 𝑐 deux. Et c’est là que 𝐻 majuscule et 𝐺 majuscule sont respectivement les primitives de ℎ minuscule et de 𝑔 minuscule. Nous devrions maintenant prêter attention à ces deux termes 𝑐, qui sont des constantes d’intégration. Étant donné qu’il s’agit de constantes, nous pouvons simplifier d’abord en soustrayant 𝑐 un aux deux côtés et ensuite en redéfinissant 𝑐 deux moins 𝑐 un pour être une nouvelle constante, que nous appellerons 𝑐 trois.

A ce stade, nous aurions trouvé la solution générale à notre équation différentielle. Il est probable qu’il s’agira d’une solution implicite. Rappelez-vous qu’une solution explicite est avec 𝑦 d’un côté de l’équation et une fonction de 𝑥 de l’autre côté. Une solution implicite ne prend pas cette forme. Les deux formes de solution sont valables. Mais nous essayons souvent d’exprimer notre réponse sous forme de solution explicite si possible. Maintenant, ici, nous avons dit que la solution générale a été trouvée parce que la constante 𝑐 trois peut prendre n’importe quelle valeur. Et toutes ces solutions seront des solutions à notre équation différentielle.

Imaginons le cas très simple où 𝐻 de 𝑦 est juste 𝑦 et 𝐺 de 𝑥 est juste 𝑥. Notre équation devient alors 𝑦 égale 𝑥 plus notre constante 𝑐 trois. Bien sûr, ce n’est que l’équation d’une droite. Puisque 𝑐 trois peut prendre n’importe quelle valeur, si nous considérons qu’elle égale zéro, nous aurions la droite d’équation 𝑦 égale 𝑥. Lorsque 𝑐 trois égale moins un, la droite 𝑦 égale 𝑥 moins un. Nous pourrions même prendre quelque chose comme 𝑐 trois égale 𝜋, ce qui nous donnerait 𝑦 égale 𝑥 plus 𝜋. Toutes ces droites et leurs équations correspondantes sont des solutions spécifiques à certaines équations différentielles. Nous les avons trouvées en utilisant la solution générale à cette équation différentielle. Et nous avons déjà montré la méthode pour trouver une solution générale à une équation différentielle.

Bon, donc sans juste choisir arbitrairement des chiffres pour notre constante, comment passer de la solution générale à la solution spécifique ? Comme dans le titre de cette vidéo, nous allons utiliser une valeur initiale, parfois appelée condition initiale. Voyons un exemple en utilisant notre solution générale 𝑦 égale 𝑥 plus une constante. Un exemple d’une valeur initiale qui pourrait nous être donnée serait 𝑦 de deux égale un. Cela nous dit que lorsque 𝑥 égale deux, 𝑦 égale un. Il s’ensuit donc que le point de coordonnées deux, un appartient à la droite de la solution spécifique correcte que nous recherchons.

Algébriquement, nous pouvons trouver l’équation de la solution spécifique correcte en remplaçant par les valeurs connues dans la solution générale. Quand 𝑥 égale deux, 𝑦 égale un. Bien sûr, un simple réarrangement nous donne que la constante 𝑐 trois égale moins un. En remplaçant cela dans notre solution générale, nous obtenons l’équation 𝑦 égale 𝑥 moins un. Une représentation visuelle de ce que nous avons fait ici est que nous avons envisagé le point de coordonnées deux, un. Et nous avons trouvé l’équation de la droite à laquelle il appartient. Cette droite est la solution spécifique qui correspond à la valeur initiale qui nous a été donnée.

Maintenant que nous comprenons notre méthode, allons voir un exemple.

Trouvez l’équation de la courbe qui passe par le point de coordonnées moins huit, un étant donné que le gradient de la tangente en tout point est égal à deux fois le carré de la coordonnée 𝑦.

Interprétons d’abord les informations données dans cette question. On nous parle du gradient à la tangente d’une courbe en n’importe quel point. Ce gradient peut être représenté par d𝑦 par d𝑥. On nous dit qu’il équivaut à deux fois le carré de la coordonnée 𝑦. En d’autres termes, il égale deux 𝑦 au carré. Ici, nous reconnaissons qu’on nous a donné une équation différentielle. De plus, on nous a donné une équation différentielle à variables séparables. Celle-ci peut être exprimée sous la forme d𝑦 par d𝑥 égale 𝑔 de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑦. Dans notre cas, nous allons poser 𝑔 de 𝑥 égale la constante deux et 𝑓 de 𝑦 égale 𝑦 au carré.

Étant donné une équation de cette forme, nous pouvons trouver la solution générale de la manière suivante. Nous divisons d’abord les deux membres de notre équation par 𝑓 de 𝑦. Dans notre cas, c’est 𝑦 au carré. Cela nous donne que un sur 𝑦 au carré d𝑦 par d𝑥 égale deux. Ensuite, nous pouvons intégrer les deux membres de notre équation par rapport à 𝑥. Maintenant, la règle de dérivation en chaîne nous dit que d𝑦 par d𝑥 d𝑥 est égal à d𝑦. Cela nous donne que l’intégrale de un sur 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 est égale à l’intégrale de deux par rapport à 𝑥. Soit dit en passant, vous voyez souvent des méthodes où avant l’intégration, d𝑦 par d𝑥 est traitée un peu comme une fraction. Les deux côtés sont multipliés par d𝑥.

Et l’énoncé équivalent est obtenu : un sur 𝑦 au carré d𝑦 égale deux d𝑥. Les deux côtés de l’équation sont alors intégrés. Et nous obtenons le même résultat qu’avant, mais avec moins de travail. Rappelez-vous toujours qu’il ne s’agit que d’un raccourci pour les étapes plus rigoureuses que nous avons montrées ici. Pour en revenir à notre méthode, un sur 𝑦 au carré peut être exprimée comme 𝑦 à la puissance moins deux. Vous pourriez être plus à l’aise d’effectuer l’intégration sous cette forme pour obtenir moins un sur 𝑦 plus la constante d’intégration 𝑐 un égale deux 𝑥 plus une autre constante d’intégration, 𝑐 deux.

D’habitude, on ne s’inquiète pas de mettre une constante des deux côtés de cette équation parce que nous définissons simplement une nouvelle constante, qui dans ce cas serait 𝑐 deux moins 𝑐 un. Et ça pourrait aller d’un côté de l’équation. Maintenant, à ce stade, nous avons trouvé la solution générale à notre équation différentielle. Et c’est sous la forme implicite, ce qui signifie que ce n’est pas sous la forme où 𝑦 égale une fonction de 𝑥. Nous avons trouvé la solution générale pour toutes les droites où le gradient de la tangente en tout point est égal à deux fois le carré de la coordonnée 𝑦.

On peut ensuite penser à convertir notre solution implicite en une solution explicite. Mais il s’avère que ce n’est pas nécessaire. En effet, la solution générale n’est pas notre destination finale. Nous cherchons plutôt une solution spécifique. Nous voulons la droite qui passe par le point de coordonnées moins huit, un. Cette information est une valeur initiale. Et nous trouverons la solution spécifique qui correspond de la manière suivante. Nous savons que si le point moins huit, un appartient à la droite, alors lorsque 𝑥 égale moins huit, 𝑦 doit être un. Nous pouvons remplacer par ces valeurs connues dans l’équation de notre solution générale. Nous effectuons ensuite une simplification. Et nous trouvons que notre constante 𝑐 trois est égale à 15.

Nous pouvons maintenant substituer cette valeur dans notre solution générale que nous allons transformer en solution spécifique. Moins un sur 𝑦 égale deux 𝑥 plus 15. Maintenant, si nous le voulions, nous pourrions convertir cette solution en une solution explicite en multipliant d’abord par moins un, puis en élevant les deux membres à la puissance moins un. En résumé, nous avons utilisé l’information donnée dans la question pour former une équation différentielle à variables séparables. La solution spécifique à cela qui passe par le point de coordonnées moins huit, un est 𝑦 égale moins un sur deux 𝑥 plus 15. Et voici la réponse à notre question.

Prenons maintenant un autre exemple pour nous entraîner sur cette forme de question.

Trouvez l’équation de la courbe qui passe par le point de coordonnées zéro, moins un, sachant que d𝑦 par d𝑥 égale six 𝑥 moins quatre divisé par quatre 𝑦 plus 13.

Pour cette question, nous avons d’abord remarqué qu’on nous a donné une équation différentielle à variables séparables. C’est une équation qui peut être écrite sous la forme d𝑦 par d𝑥 égale 𝑔 de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑦. La résolution de cette équation différentielle à variables séparables nous donnera une solution générale, qui comportera une constante 𝑐. La question nous a aussi donné une valeur initiale, qui est le fait que la courbe doit passer par le point de coordonnées zéro, moins un. Nous pourrons utiliser ces informations pour réduire la solution générale que nous trouverons en une solution spécifique. Pour l’instant, travaillons sur la solution générale.

Pour l’instant, nous allons mettre de côté notre valeur initiale et simplement travailler à trouver la solution générale. Pour la trouver, nous allons d’abord exprimer notre équation différentielle sous la forme suivante, où nous avons une certaine fonction de 𝑦 d𝑦 par d𝑥 égale 𝑔 de 𝑥. Pour notre équation, nous pouvons faire cela en multipliant les deux côtés par quatre 𝑦 plus 13. Cela nous donne quatre 𝑦 plus 13 d𝑦 par d𝑥 égale moins six 𝑥 moins quatre. Ce que nous pouvons faire ensuite est de traiter d𝑦 par d𝑥 un peu comme une fraction. Si nous faisons semblant de multiplier les deux côtés par d𝑥, nous obtenons une formule équivalente à quatre 𝑦 plus 13 d𝑦 égal moins six 𝑥 moins quatre d𝑥.

L’étape suivante consiste à intégrer les deux membres de notre équation, ce qui nous donne une intégrale par rapport à 𝑦 au côté gauche et une intégrale par rapport à 𝑥 au côté droit. Maintenant, vous devriez toujours vous rappeler que ce que nous avons fait ici est essentiellement une ruse. d𝑦 par d𝑥 n’est pas vraiment une fraction et ne peut pas toujours être traité comme une. Cependant, nous l’avons fait ici pour nous éviter de travailler car cela nous donne une réponse équivalente. Pour en revenir à notre méthode, nous effectuons maintenant nos intégrations. Ce faisant, nous obtenons ce qui suit.

Maintenant, il est intéressant de noter que nos deux intégrales nous auraient en fait donné une constante. Cependant, nous pouvons simplement combiner ces deux constantes en un seul terme. Au lieu de 𝑐 un et 𝑐 deux, nous avons simplement 𝑐, qui est égale à 𝑐 un moins 𝑐 deux. Encore une fois, cela nous permet de réduire le travail inutile. Après quelques petites simplifications, nous sommes arrivés à la solution générale de notre équation différentielle. Cela signifie que nous avons trouvé une équation qui décrit toutes les droites pour lesquelles d𝑦 par d𝑥 égale moins six 𝑥 moins quatre divisé par quatre 𝑦 plus 13.

Cependant, nous devons trouver laquelle de ces droites passe par le point qui nous a été donné : zéro, moins un. Cette valeur initiale qui nous a été donnée nous permettra de trouver cette solution spécifique. Nous savons que si la droite passe par le point zéro, moins un, si 𝑥 égale zéro, alors 𝑦 doit être moins un. Nous pouvons ainsi prendre notre solution générale, substituer avec 𝑦 égale moins un et 𝑥 égale zéro, et résoudre ceci pour trouver la valeur de notre constante 𝑐. Avec un peu de travail, nous trouvons que la valeur de 𝑐 ici est moins 11. Nous pouvons maintenant substituer avec cette valeur de 𝑐 dans notre solution générale pour trouver la solution spécifique. C’est la solution spécifique à l’équation différentielle qui passe par le point zéro, moins un, qui est notre valeur initiale.

Vous remarquerez peut-être que la solution qui nous a été donnée est implicite, ce qui signifie qu’elle n’est pas sous la forme 𝑦 égale une fonction de 𝑥 seulement. D’habitude c’est une bonne idée d’essayer d’exprimer votre solution sous une forme explicite. Cependant, dans ce cas, ne vous inquiétez pas. Il n’est pas en fait possible de donner la réponse à ce problème sous la forme d’une seule équation explicite puisque nous avons plusieurs puissances de 𝑦 au côté gauche. Là encore, il n’y a pas lieu de s’inquiéter, car la forme implicite est une solution parfaitement valable. Et nous avons en effet répondu à notre question.

Voyons maintenant un dernier exemple de problème de valeur initiale.

Trouvez la solution de l’équation différentielle d𝑦 par d𝑥 plus neuf 𝑦 égale 63 sachant que 𝑦 zéro égale huit.

Pour ce type de questions, la première chose à faire est de vérifier si on nous a donné une équation différentielle à variables séparable. C’est une équation différentielle qui peut être écrite sous la forme d𝑦 par d𝑥 égale 𝑔 de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑦. Une formule équivalente à celle-ci serait un sur 𝑓 de 𝑦 d𝑦 par d𝑥 égale 𝑔 de 𝑥. Nous pourrions également décider de définir une autre fonction ℎ de 𝑦 pour rendre les notations un peu plus faciles, où ℎ de 𝑦 est égale à un sur 𝑓 de 𝑦.

Ici nous il faut être un peu prudent. Ce n’est pas parce que tous les termes 𝑦 dans notre équation sont à gauche que celle-ci est déjà sous cette forme. C’est parce que nous avons une addition ici. Considérons l’exemple suivant de l’équation différentielle d𝑦 par d𝑥 plus 𝑦 égale deux 𝑥. Bien qu’il puisse sembler que c’est une équation différentielle à variables séparables parce que nous avons 𝑦 à gauche et 𝑥 à droite. En fait, peu importe combien nous essayons, nous ne pouvons pas l’exprimer correctement. Cet exemple montre que certaines équations qui semblent devoir être à variables séparables ne le sont pas. Heureusement, nous n’avons pas affaire à l’un de ces cas. Cependant, notre équation exige un peu de manipulation avant de procéder.

Nous prenons notre équation et nous soustrayons neuf 𝑦 des deux côtés. Nous pouvons alors factoriser le côté droit puisque les deux termes ont un diviseur commun, neuf. Nous divisons ensuite les deux côtés par sept moins 𝑦. Cela nous donne l’équation suivante qui correspond bien à la forme que nous avons montrée ici. Bon, nous allons maintenant utiliser un petit truc. Nous pouvons traiter d𝑦 par d𝑥 un peu comme une fraction. Cela nous permet d’atteindre une autre forme d’équation : un sur sept moins 𝑦 d𝑦 égale neuf d𝑥. À partir de cette forme, nous pouvons alors intégrer les deux côtés de notre équation. Cela nous donne la valeur négative du logarithme naturel de la valeur absolue de sept moins 𝑦 égale neuf 𝑥 plus 𝑐, où 𝑐 est une constante. Bien sûr, nos deux intégrales nous auraient donné une constante d’intégration. Cependant, nous avons choisi de combiner ces deux éléments à droite en la constante que nous venons d’appeler 𝑐.

Ok, nous avons maintenant trouvé la solution générale à notre équation différentielle. Cependant, cette solution est implicite. Une solution explicite serait une solution sous la forme 𝑦 égale une fonction de 𝑥. Nous avons choisi d’utiliser 𝑢 ici pour éviter toute confusion avec ce 𝑓 dans notre définition. Pour faciliter le travail, essayons de convertir notre solution générale implicite en une solution générale explicite. La première chose que nous pouvons faire est de multiplier les deux côtés par moins un. Comme nous n’avons pas encore défini notre constante, il importe peu que nous ayons plus 𝑐 ou moins 𝑐. Alors peut-être nous allons laisser cela comme plus 𝑐. Libérons de l’espace pour continuer.

Ce que nous faisons ensuite c’est de prendre l’exponentielle des deux membres, ce qui signifie élever 𝑒 à la puissance des deux membres de notre équation. Comme il s’agit de l’inverse de l’algorithme naturel au côté gauche de l’équation, il nous reste sept moins 𝑦. Ensuite, nous pouvons simplifier en soustrayant sept des deux membres et en multipliant ensuite par moins un. Cela nous donne 𝑦 égale moins 𝑒 à la puissance moins neuf 𝑥 plus 𝑐 plus sept. A ce stade, nous pourrions reconnaître que 𝑒 à la puissance moins neuf 𝑥 plus 𝑐 égale 𝑒 à la puissance moins neuf 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑐. Cela nous donne une autre façon de simplifier.

Nous avons ici moins 𝑒 à la puissance 𝑐. Mais comme 𝑐 est à présent une constante non définie, nous pouvons redéfinir une nouvelle constante. Disons 𝐶 majuscule, qui équivaut à moins 𝑒 à la puissance de notre précédente 𝑐 minuscule. Cela nous permet de dire que 𝑦 égale 𝐶 majuscule fois 𝑒 à la puissance moins neuf 𝑥 plus sept. Nous avons maintenant trouvé une solution générale implicite à notre équation différentielle. À ce stade, nous sommes prêts à utiliser le reste de l’information fournie par la question. Dans la question on nous dit que 𝑦 zéro égale huit ; cette information est notre valeur initiale et nous devons trouver la solution particulière à l’équation différentielle pour laquelle cela est vrai.

À partir de cet énoncé, nous savons que lorsque 𝑥 égale zéro, 𝑦 doit être huit. Une autre façon de dire cela serait que la courbe qui représente notre solution spécifique passera par le point de coordonnées zéro, huit. Nous pouvons substituer avec nos valeurs connues dans la solution générale pour trouver la valeur de 𝐶 majuscule pour notre solution spécifique. Puisque 𝑒 à la puissance zéro égale un, nous avons que huit égale 𝐶 fois un plus sept. Par conséquent, notre constante 𝐶 majuscule égale un. En remplaçant par cette valeur de 𝐶 dans notre solution générale, on obtient la solution spécifique à notre équation différentielle, qui correspond à la valeur initiale donnée par la question. L’équation qui représente notre solution spécifique est 𝑦 égale 𝑒 à la puissance moins neuf 𝑥 plus sept.

Bon, notre dernier exemple résolu, terminons la vidéo en passant en revue quelques points clés. Une équation différentielle à variables séparables peut être exprimée sous la forme d𝑦 par d𝑥 égale 𝑔 de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑦. Il existe également d’autres façons de l’exprimer, qui peuvent être plus utiles selon le problème. La solution générale à une équation différentielle à variables séparables peut être trouvée en utilisant des techniques d’intégration. Dans le cadre de cette méthode, vous voyez souvent d𝑦 par d𝑥 traitée un peu comme une fraction. Mais n’oubliez pas, ce n’est qu’un truc qui vous permet de faire moins de travail. La solution générale à une équation différentielle comportera une constante 𝑐.

Une valeur initiale, par exemple, 𝑦 de 𝑎 égale 𝑏, peut être utilisée pour trouver une solution spécifique à l’équation différentielle. Ceci peut être effectué en substituant avec 𝑥 égale 𝑎 et 𝑦 égale 𝑏 dans votre solution générale, et en résolvant ensuite pour déterminer la constante 𝑐. La remise de cette valeur de 𝑐 dans votre solution générale donnera lieu à une solution spécifique, en particulier une solution qui correspond à la condition initiale que vous avez utilisée.

Enfin, les solutions peuvent être explicites ou implicites. Les solutions explicites sont de la forme 𝑦 égale une certaine fonction 𝑥. Les solutions implicites ne sont pas de cette forme. C’est toujours une bonne idée d’essayer de donner une solution explicite à un problème. Mais parfois, c’est impossible. Ne vous inquiétez donc pas trop si vous ne pouvez pas le faire.

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