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Vidéo de question : Calcul des puissances d’expressions impliquant des racines cubiques de l’unité Mathématiques

Trouver la valeur de (2 + 2𝜔 - 𝜔²) ⁶ où 𝜔 est une racine cubique de l’unité.

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Transcription de vidéo

Trouvez la valeur de deux plus deux 𝜔 moins 𝜔 au carré à la puissance six où 𝜔 est une racine cubique de l’unité.

Ce symbole n’est pas un 𝑤 ici. C’est la lettre grecque 𝜔. Elle représente la racine cubique de un. Et tandis que l’une des solutions est 𝑤 égal à un, elle a également deux autres solutions non réelles, et les trois vérifient 𝑤 au cube égal à un.

Il y a une autre propriété importante que nous devons connaître lorsqu’il s’agit de cette racine de l’unité. Et c’est que un plus 𝜔 plus 𝜔 au carré est égal à zéro. La première chose que nous voulons faire lors du calcul de cette expression est de voir si nous pouvons simplifier ou factoriser ce qui se trouve à l’intérieur des parenthèses.

Nous remarquons que deux de ces termes ont un facteur de deux. Si nous retirons ce facteur de deux, il nous restera deux fois un plus 𝜔 moins 𝜔 au carré à la puissance six. Et quand on voit un plus 𝜔, cela devrait nous rappeler cette propriété que nous connaissons déjà. Un plus 𝜔 est égal à moins 𝜔 au carré. Au lieu de un plus 𝜔, nous pouvons remplacer moins 𝜔 au carré. Nous aurons alors deux fois moins 𝜔 au carré moins 𝜔 au carré à la puissance six.

Si nous multiplions deux fois moins 𝜔 au carré, nous obtiendrons moins deux 𝜔 au carré. Puis, nous devons soustraire 𝜔 au carré. Lorsque nous traitons des variables qui ont la même base à la même puissance, nous pouvons combiner leurs coefficients. Et cela signifie que nous pouvons combiner moins deux et moins un pour former moins trois 𝜔 au carré à la puissance six. À ce stade, nous voulons distribuer cette sixième puissance à moins trois et à 𝜔 au carré, moins trois à la puissance six et 𝜔 au carré à la puissance six.

Nous devrons nous rappeler la règle de la puissance à la puissance. 𝑥 puissance 𝑎 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑏. Cela signifie que nous aurons affaire à 𝜔 à la puissance deux fois à la puissance six, 𝜔 à la puissance 12. Moins trois à la puissance six est égal à 729. Maintenant, nous avons 729 fois 𝜔 à la puissance 12. Mais nous savons que 𝜔 au cube est égal à un. Et nous pourrions écrire 𝜔 à la puissance 12 comme 𝜔 au cube par elle-même fois quatre fois. C’est ce qui se passe lorsque vous multipliez des puissances avec la même base. Vous finissez par ajouter les exposants.

𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑏 égale 𝑥 puissance 𝑎 plus 𝑏. 𝜔 à la puissance 12 est égal à 𝜔 au cube fois 𝜔 au cube fois 𝜔 au cube fois 𝜔 au cube, ce que nous pourrions réécrire comme étant 𝜔 au cube à la puissance quatre. Maintenant, nous aurons 729 fois 𝜔 au cube à la puissance quatre. Mais nous savons que 𝜔 au cube est égal à un, et que un à la puissance quatre est toujours égal à un. 729 fois un est égal à 729. Ainsi, la solution finale de cette expression est 729.

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