Vidéo : Dérivation des fonctions trigonométriques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les dérivées des fonctions trigonométriques et à leur appliquer les règles de dérivation.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à dériver les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente. Nous allons commencer par examiner comment nous pourrions trouver la dérivée des fonctions sinus et cosinus en utilisant la dérivation par rapport aux principes de base avant d’utiliser la règle du quotient pour trouver la dérivée de la fonction tangente. Nous examinerons ensuite quelques exemples d’application de ces dérivées et des suites qu’elles forment.

À ce stade, vous devez vous sentir à l’aise de dériver les fonctions polynomiales et d’appliquer le processus de dérivation par rapport aux principes de base. Rappelez-vous, cela signifie que nous pouvons trouver la dérivée d’une fonction 𝑓 en utilisant la formule suivante. C’est la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 sur ℎ. Et c’est aux points où la limite existe.

Nous allons commencer par utiliser cette définition pour nous aider à trouver la dérivée du sin de 𝑥. Nous allons également avoir besoin de connaître certaines limites standard. Bien qu’il soit possible d’obtenir ces informations, nous allons simplement les rappeler pour les besoins de cette vidéo. Et pendant que nous les considérons, nous devons noter que, pour qu’elles soient vraies, nous avons besoin que tous les angles soient exprimés en radians. Ceux-ci disent que la limite lorsque ℎ tend vers zéro du sin ℎ sur ℎ est égale à un. Et la limite lorsque ℎ tend vers zéro du cos de ℎ moins un sur ℎ est égale à zéro. Maintenant que nous avons rappelé les informations requises pour ce processus, voyons à quoi il ressemble.

Dériver 𝑓 de 𝑥 est égal au sin 𝑥 à partir de la définition.

Pour dériver depuis la définition, nous utilisons la formule 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la limite que ℎ tend vers zéro 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout sur ℎ. Nous avons déjà dit que 𝑓 de 𝑥 est égal au sin 𝑥. Et cela signifie alors que 𝑓 de 𝑥 plus ℎ qui est ce dont nous avons besoin pour notre formule est le sin de 𝑥 plus ℎ. Nous pouvons maintenant écrire la dérivée de notre fonction de 𝑥 comme la limite lorsque ℎ tend vers zéro de sin de 𝑥 plus ℎ moins le sin de 𝑥 le tout sur ℎ.

Remarquez pour l’instant que nous ne pouvons encore rien évaluer. Nous allons donc avoir besoin de simplifier l’expression sin de 𝑥 plus ℎ moins le sin de 𝑥 sur ℎ. Et nous faisons cela en rappelant la formule d’addition pour le sinus. Cela nous dit que le sin de 𝐴 plus 𝐵 est égal au sin de 𝐴 fois cos de 𝐵 moins de cos 𝐴 fois sin de 𝐵. On peut donc dire que le sin de 𝑥 plus ℎ est égal à sin 𝑥 cos ℎ moins cos 𝑥 sin ℎ. Et cela signifie que nous allons évaluer le sin 𝑥 cos ℎ moins cos 𝑥 sin ℎ moins le sin 𝑥 sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro.

Mais nous ne pouvons toujours pas évaluer cela. Nous allons donc manipuler quelque peu l’expression. Pour ce faire, nous factorisons le sin 𝑥. Et nous obtenons le sin 𝑥 de cos ℎ moins un moins cos 𝑥 sin ℎ sur ℎ. Maintenant, nous avons ces deux résultats standard. La limite lorsque ℎ tend vers zéro du sin ℎ sur ℎ est égale à un. Et lorsque ℎ tend vers zéro pour l’expression cos ℎ moins un sur ℎ, nous obtenons zéro. Et rappelez-vous, ce sont pour les valeurs en radians. Et maintenant, nous cherchons à séparer notre expression. Nous obtenons sin 𝑥 cos ℎ moins un sur ℎ moins cos 𝑥 sin ℎ sur ℎ. Et bien sûr, le sin 𝑥 et cos de 𝑥 sont indépendants de ℎ. Et cela signifie que sin 𝑥 fois cos ℎ moins un sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro tend vers sin 𝑥 fois zéro. Et lorsque ℎ tend vers zéro cos de 𝑥 fois sin ℎ sur ℎ tend vers cos de 𝑥 fois un.

Nous voyons donc que la dérivée de sin 𝑥 par rapport à 𝑥 est sin 𝑥 fois zéro plus cos 𝑥 fois un. Eh bien, c’est tout simplement cos de 𝑥. Nous voyons donc que 𝑓 prime de 𝑥 ou la dérivée de sin 𝑥 est cos de 𝑥.

C’est un résultat qui devrait être appris par cœur. Mais il est également important que vous soyez en mesure de suivre le processus pour dériver le sin 𝑥 depuis la définition. Nous allons chercher à répéter ce processus pour le cos de 𝑥.

Étant donné 𝑦 égal à cos de 𝑥, détermine d𝑦 sur d𝑥 avec la définition.

Étant donné que la formule de dérivation avec la définition est en notation fonctionnelle, nous commençons par poser 𝑓 de 𝑥 égale à cos de 𝑥. Et cela signifie que 𝑓 de 𝑥 plus ℎ est égal à cos de 𝑥 plus ℎ. Et ensuite, nous utilisons cette définition d’une dérivée et substituons ces valeurs dans notre fonction. Et nous obtenons la limite lorsque ℎ tend vers zéro de cos de 𝑥 plus ℎ moins cos de 𝑥 sur ℎ en tant que dérivée. Maintenant, nous ne pouvons pas encore évaluer cela.

Nous utilisons donc l’identité cos de 𝐴 plus 𝐵 est égal à cos 𝐴 cos 𝐵 moins sin 𝐴 sin 𝐵. Et cela signifie que nous pouvons écrire cos de 𝑥 plus ℎ sous la forme cos 𝑥 cos ℎ moins sin 𝑥 sin ℎ. Et nous voyons que la dérivée de notre fonction est donnée par la limite lorsque ℎ tend vers zéro de cos 𝑥 cos ℎ moins sin 𝑥 sin ℎ moins cos 𝑥 sur ℎ. Et puis nous avons remarqué que nous avons un facteur en commun. Nous pouvons factoriser cos de 𝑥. Et nous obtenons cos de 𝑥 fois cos ℎ moins un moins sin 𝑥 sin ℎ le tout sur ℎ.

Et puis nous rappelons le fait que, pour les valeurs en radian, la limite lorsque ℎ tend vers zéro du sin ℎ sur ℎ est égale à un. Et la limite lorsque ℎ tend vers zéro de cos ℎ moins un sur ℎ est égale à zéro. Et cela nous incite à diviser un peu l’expression. Nous l’écrivons comme étant cos 𝑥 fois cos ℎ moins un sur ℎ moins sin 𝑥 fois le sin ℎ sur ℎ. Et rappelez-vous, le sin 𝑥 et le cos de 𝑥 sont indépendants de ℎ. Et nous pouvons voir que la limite lorsque ℎ tend vers zéro de cos 𝑥 fois cos ℎ moins un sur ℎ est cos 𝑥 fois zéro. Et comme ℎ tend vers zéro, le sin 𝑥 fois le sin ℎ sur ℎ tend vers sin 𝑥 fois un. Et ainsi 𝑓 prime de 𝑥 est cos de 𝑥 fois zéro moins le sin de 𝑥 fois un qui, si nous revenons à la notation des limites nous montre que la dérivée d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins sin 𝑥 pour les valeurs en radians de 𝑥.

Ces deux exemples précédents nous ont montré que, pour un nombre réel 𝑥 donné en radians, la dérivée du sin 𝑥 par rapport à 𝑥 est cos de 𝑥. Et la dérivée de cos de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins sin 𝑥. Maintenant, ceux-ci forment en fait une suite telle que la dérivée du sin 𝑥 est cos 𝑥. La dérivée de cos 𝑥 est moins sin 𝑥. Lorsque nous dérivons moins sin 𝑥, nous obtenons moins cos 𝑥. Et quand nous dérivons moins cos 𝑥, nous revenons à sin 𝑥.

Et bien entendu, l’intégration étant l’inverse de la dérivation, nous pouvons inverser ce schéma lors de l’intégration. En généralisant pour les dérivées d’ordres supérieurs, on voit que pour les valeurs entières de 𝑘 les formules générales pour le sin de 𝑥 tiennent. Et nous avons des formules similaires pour la dérivée de cos de 𝑥. Et on peut les généraliser. Nous pourrions voir comment cela fonctionne en utilisant la règle de la chaîne. Mais en fait, juste pour les besoins de cette vidéo, nous allons énoncer les dérivées. La dérivée du sin 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égal à 𝑎 cos de 𝑎𝑥. Et la dérivée par rapport à 𝑥 de cos 𝑎𝑥 est moins 𝑎 sin 𝑎𝑥.

Mais qu’en est-il de la dérivée de la fonction tangente ? Eh bien, la dérivée de la fonction tangente repose sur deux informations. La première est l’identité tan 𝜃 est égal à sin 𝜃 sur cos 𝜃. La seconde est la règle du quotient. Et ceci est que, étant donné deux fonctions dérivables, 𝑢 et 𝑣, la dérivée d’un quotient 𝑢 sur 𝑣 est égal à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 carré. Appliquons cela à un exemple.

Évalue le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 est égal à tan cinq 𝑥 en 𝑥 est égal à 𝜋.

Rappelez-vous que lorsque l’on considère le taux de variation d’une fonction, nous sommes vraiment intéressés par sa dérivée. Nous allons, par conséquent, avoir besoin de faire la dérivée tan de cinq 𝑥 par rapport à 𝑥 puis évaluer la dérivée en 𝑥 est égale à 𝜋. Nous allons commencer par réécrire le tan de cinq 𝑥, en utilisant l’identité tan 𝜃 égale sin 𝜃 sur cos 𝜃. Et cela signifie tan de cinq 𝑥 est égal au sin cinq 𝑥 sur cos cinq 𝑥. Utilisons la règle du quotient pour évaluer la dérivée. Puisque le numérateur de notre fraction est le sin cinq 𝑥, on pose 𝑢 être égal au sin cinq 𝑥. Et on pose 𝑣 égal à cos de cinq 𝑥. Et cela signifie que la dérivée de 𝑢, la dérivée de sin cinq 𝑥, par rapport à 𝑥 est cinq cos cinq 𝑥. Et étant donné que la dérivée de cos de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins 𝑎 sin 𝑎𝑥, d𝑣 sur d𝑥 est moins cinq sin cinq 𝑥.

Substituons-les dans la formule. 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 est cos cinq 𝑥 fois cinq cos cinq 𝑥. Et 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 est un sin cinq 𝑥 fois moins cinq sin cinq 𝑥. Et bien sûr, tout cela sur 𝑣 carré et nous pouvons dire que c’est cos carré cinq 𝑥. Simplifier le numérateur nous donne cinq cos carré cinq 𝑥 plus cinq sin carré cinq 𝑥. Et ensuite, nous factorisons cinq au numérateur pour obtenir cinq fois le cos carré cinq 𝑥 plus le sin carré cinq 𝑥. Et nous faisons cela parce que nous savons que le sin carré 𝜃 plus cos carré 𝜃 est égal à un. Et si 𝑓 prime de 𝑥 est cinq sur cos carré cinq 𝑥.

Mais il y a encore une autre identité que nous pouvons utiliser. Un sur cos carré 𝜃 [cos 𝜃] est identique à sec carré 𝜃 [sec 𝜃], ce qui signifie que cinq sur cos carré 𝑥 va être la même que cinq sec carré cinq 𝑥. Rappelez-vous, nous cherchons à trouver le taux de variation lorsque 𝑥 est égal à 𝜋. Donc, nous substituons 𝜋 dans notre formule pour 𝑓 prime de 𝑥. Et nous obtenons 𝑓 prime de 𝜋 est de cinq sec carré cinq 𝜋 qui est simplement cinq. En fait, le résultat général de la dérivée de tan 𝑥 par rapport à 𝑥 est sec carré 𝑥. Et la dérivée de tan 𝑎𝑥 est 𝑎 sec carré 𝑎𝑥. Comme pour les dérivées du sinus et du cosinus, il est important de connaître ce résultat par cœur, mais aussi de le préparer au besoin.

Nous allons maintenant examiner un certain nombre d’exemples de l’application de ces dérivées.

Si 𝑦 est égal à 𝑥 à la puissance de cinq sin cinq 𝑥, détermine d𝑦 sur d𝑥.

Ici, nous avons une fonction qui est le produit de deux fonctions dérivables. Nous pouvons donc utiliser la règle du produit pour nous aider à évaluer d𝑦 sur d𝑥. Ceci dit que, pour notre fonction 𝑦 est égale à 𝑢 fois 𝑣, la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous allons poser 𝑢 égal à 𝑥 à la puissance cinq et 𝑣 égal à sin cinq 𝑥. Nous commençons par évaluer la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. C’est cinq 𝑥 à la puissance quatre. De même, étant donné que la dérivée de sin 𝑎𝑥 est 𝑎 cos 𝑎𝑥, d𝑣 sur d𝑥 est égale à cinq cos cinq 𝑥.

Ensuite, nous substituons dans la formule. 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 est 𝑥 à la puissance cinq fois cinq cos cinq 𝑥. Et 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 est sin cinq 𝑥 fois cinq 𝑥 à la puissance quatre. Et ainsi d𝑦 sur d𝑥, dans ce cas, équivaut à cinq 𝑥 à la puissance cinq fois cos cinq 𝑥 plus cinq 𝑥 à la puissance quatre fois le sin cinq 𝑥.

Nous allons examiner un dernier exemple qui implique une manipulation de l’expression qui nous est donnée.

Si 𝑦 est égal à deux sin sept 𝑥 plus deux cos sept 𝑥 carré, trouve d𝑦 sur d𝑥.

Il y a plusieurs façons de répondre à cette question. Nous pourrions remarquer que 𝑦 est une fonction composée. C’est le carré de deux sin sept 𝑥 plus deux cos sept 𝑥. Et nous pourrions utiliser la règle de la chaîne pour évaluer sa dérivée. Nous pourrions également l’écrire en tant que produit de deux fonctions et utiliser la règle du produit. Alternativement, nous pouvons simplifier cela en utilisant des identités trigonométriques connues. Nous allons utiliser cette troisième méthode. Et nous commencerons par factoriser deux des parenthèses. Cela nous donne 𝑦 est égale à deux au carré fois sin sept 𝑥, plus cos sept 𝑥 au carré.

Ensuite, nous cherchons à distribuer les parenthèses. Le premier terme multipliant dans chaque parenthèse nous donne le sin carré sept 𝑥. Les termes extérieurs multipliant nous donne sin sept 𝑥 fois cos sept 𝑥. Les termes intérieurs multipliant nous donne cos sept 𝑥 sin sept 𝑥. Et puis on multiplie les deux derniers termes dans chaque parenthèse. Et nous obtenons cos carré sept 𝑥. Maintenant, nous pouvons en fait simplifier un peu. Nous savons que sin au carré 𝑥 plus cos carré 𝑥 est égal à un. Cela signifie que sin carré sept 𝑥 plus cos au carré sept 𝑥 doit également être égal à un. Et donc nous remplaçons ceci par un et nous collectons des termes similaires. Et nous voyons que 𝑦 est égale à quatre fois un plus deux sin sept 𝑥 cos sept 𝑥.

Pouvez-vous repérer une autre identité ici ? Nous devons utiliser l’inverse de la formule de l’angle double pour sin. C’est sin deux 𝐴 est égal à deux sin 𝐴 cos 𝐴. Et nous allons poser 𝐴 est égal à sept 𝑥. Et nous voyons que 𝑦 est égal à quatre fois un plus sin 14𝑥 ou quatre plus quatre sin 14𝑥. Et nous pouvons maintenant dériver cela assez facilement. La dérivée du sin 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑎 cos 𝑎𝑥. Nous utilisons également la règle des constantes multiples qui nous permet de prendre des constantes en dehors de la dérivée et de nous concentrer sur la dérivation de la fonction de 𝑥 elle-même. La dérivée de quatre est zéro. Donc d𝑦 sur d𝑥 est égal à quatre fois 14 cos de 14𝑥, ce qui correspond à 56 cos de 14𝑥.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons appliquer notre compréhension des dérivées aux fonctions trigonométriques. Nous apprenons également que le calcul relatif aux fonctions trigonométriques peut être appliqué lorsque les angles sont exprimés en radians. Et on a vu que les dérivées des sinus, cosinus et de fonctions tangentes sont la dérivée de sin 𝑎𝑥 est 𝑎 cos 𝑎𝑥, la dérivée de cos 𝑎𝑥 est moins 𝑎 sin 𝑎𝑥, et la dérivée de tan 𝑎𝑥 est 𝑎 sec au carré 𝑎𝑥.

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