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Vidéo de la leçon : Incertitude de mesure et résolution Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à définir les incertitudes de mesure de natures aléatoires ou basées sur la résolution des instruments de mesure, et nous montrerons comment ces incertitudes affectent les valeurs mesurées.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à définir les incertitudes de mesure de natures aléatoires ou basées sur la résolution des instruments de mesure, et nous montrerons comment ces incertitudes affectent les valeurs mesurées.

Commençons tout d’abord par définir le terme de « résolution ». On utilise souvent ce terme pour décrire des images. Ici, la résolution de l’image à gauche est faible, tandis que celle de l’image à droite est élevée. La résolution d’une image décrit la façon dont cette image est divisée en pixels.

Ce terme a le même sens lorsqu’on l’utilise pour des instruments de mesure. Ces deux règles sont graduées avec différentes unités, l’une en centimètres et l’autre en millimètres. Elles permettent toutes les deux de mesurer la même longueur maximale mais elles ont des résolutions différentes. La résolution est définie comme la finesse avec laquelle un instrument de mesure peut être lu. Ainsi, selon cette définition, cette règle graduée en millimètres a une résolution plus élevée que celle graduée en centimètres.

On va pouvoir constater la différence de résolution lorsque l’on va mesurer la longueur d’un objet. Sur notre règle en centimètres, la longueur de cet objet correspond à ce point sur cette règle. Et puisque la règle est graduée en centimètres, on relève donc la longueur de cet objet au centimètre près. Par conséquent, il nous faut choisir le centimètre qui correspond à la longueur la plus proche. Même si cette longueur est quasiment à mi-chemin entre un et deux centimètres, on observe qu’elle est un peu plus proche de deux. Et par conséquent, on relèvera la longueur de l’objet mesuré avec cette règle comme étant de deux centimètres.

Sur notre règle en millimètres, la mesure de la longueur du même objet est effectuée de façon légèrement différente. Au repère le plus proche sur cette règle, la longueur de notre objet est de 16 millimètres. On pourrait donc relever cette valeur comme étant la longueur de l’objet. Mais aussi, puisqu’un centimètre est égal à 10 millimètres, on pourrait l’écrire comme 1,6 centimètres. Une différence entre ces deux longueurs mesurées est que celle-ci, 1,6 centimètres, est plus précise. On a pu effectuer cette mesure de longueur plus précise grâce à la règle ayant une résolution plus élevée.

Cependant, on remarque que la longueur réelle de l’objet n’est pas exactement l’une de ces deux longueurs mesurées. On peut clairement voir cela sur notre règle graduée en centimètres. C’est également le cas avec notre règle graduée en millimètres. Les longueurs mesurées indiquées sont des approximations de la longueur réelle de cet objet, limitées par la résolution de nos instruments de mesure. On dit alors qu’il y a une certaine incertitude dans chacune de ces mesures. L’incertitude est définie comme l’intervalle dans lequel la valeur réelle d’une mesure s’inscrit.

Pour mieux comprendre cela, regardons à nouveau la mesure effectuée avec la règle graduée en centimètre. Comme la longueur de l’objet était plus proche de deux centimètres que de tout autre entier, on a relevé la longueur mesurée comme étant de deux centimètres. Mais cela signifie que notre objet pourrait avoir une longueur supérieure à 1,5 centimètre et une longueur inférieure à 2,5 centimètres si la règle était suffisamment longue. On relèvera malgré tout la même valeur de deux centimètres. Cet intervalle de 1,5 à 2,5 centimètres est l’intervalle sur lequel la vraie valeur de notre mesure se situe.

Il existe une façon assez courante d’indiquer cet intervalle, associé au résultat mesuré. Pour une règle graduée comme celle-ci, on dira que la longueur de cet objet est de deux plus ou moins 0,5 centimètres. La longueur réelle de cet objet pourrait alors être de deux plus 0,5 centimètres soit 2,5 centimètres ici, ou la longueur pourrait être de deux moins 0,5 centimètres soit 1,5 centimètres. Cela se trouve ici sur notre règle. À l’écrit, on dit que la longueur de notre objet est de deux centimètres plus ou moins 0,5 centimètres. 0,5 centimètre correspond à l’incertitude de cette mesure.

On peut suivre la même méthode avec l’autre règle. On a vu qu’au millimètre près, la longueur de notre objet est de 16 millimètres, ou 1,6 centimètres. Cela signifie cependant que notre objet peut mesurer toute valeur comprise entre 15 millimètres et demi, et 16 et demi. L’incertitude ici est donc de 0,5 millimètres, ce qui est égal à 0,05 centimètres. On relève alors la longueur de notre objet comme étant de 1,6 plus ou moins 0,05 centimètres. Cela signifie que l’objet mesure entre 1,6 plus 0,05 soit 1,65 centimètres, et 1,6 moins 0,05 soit 1,55 centimètres. Dans ce cas, l’incertitude de notre mesure est de 0,05 centimètres. Cela nous indique l’intervalle dans lequel la vraie mesure de cet objet se trouve.

On notera que l’incertitude de notre mesure avec la règle en millimètres est plus petite que l’incertitude de notre mesure avec la règle en centimètres. Ainsi, on déduit que la mesure à l’aide de la règle en millimètres est plus précise. En général, une mesure plus précise est une mesure possédant une plus petite incertitude. Il est intéressant de noter qu’une certaine incertitude est toujours présente pour toutes les mesures.

Même si on mesurait la longueur de notre objet en utilisant une règle graduée, disons, au micromètre près, cette mesure aurait toujours une certaine incertitude. On relèverait la longueur de notre objet au micromètre près, ce qui impliquerait une incertitude de mesure, ou une erreur, pouvant atteindre un demi-micromètre. Pour toute mesure, l’incertitude est une caractéristique inévitable. Il est donc dans notre intérêt de rendre les incertitudes aussi petites que possible.

L’incertitude que l’on a étudiée jusqu’à présent est appelée l’incertitude de mesure. Comme on l’a vu, elle est causée par les limites de résolution des instruments de mesure. Cependant, il ne s’agit pas du seul type d’incertitude. Supposons que l’on souhaite mesurer la masse d’une assiette avec une balance. Dans cette assiette, on met une poudre très absorbante. Supposons également que l’on ait mesuré au préalable la masse de cette poudre comme étant de 571,3 grammes. Si on laisser passer 24 heures et que l’on effectue une autre mesure, on pourrait alors obtenir un résultat très légèrement différent. Cette différence pourrait s’expliquer par la poudre sur la balance ayant absorbé une certaine quantité d’eau de l’atmosphère.

Un peu plus tard, lors d’un jour particulièrement sec, on pourrait de nouveau effectuer une mesure de la masse et trouver ce résultat. Au cours du temps, la masse mesurée de cette poudre peut changer très légèrement. Cela conduit à avoir une certaine incertitude sur la masse de la poudre, mais ce n’est pas une incertitude de mesure. Cette incertitude s’appelle plutôt une incertitude aléatoire. On peut quantifier l’incertitude aléatoire d’une mesure en prenant la valeur maximale mesurée, dans ce cas, qui serait de 571,4 grammes, et en soustrayant la valeur minimale mesurée, dans ce cas, de 571,1 grammes. Si on prend cette différence et qu’on la divise par deux, on obtient l’incertitude aléatoire de cette mesure.

On constate ainsi que la seule façon de savoir si une mesure comporte une incertitude aléatoire est d’effectuer plusieurs mesures. Lorsque les valeurs mesurées pour une même quantité diffèrent, l’incertitude résultante est appelée incertitude aléatoire. On notera que ces trois mesures ont été effectuées à l’aide d’une balance pouvant mesurer au dixième de gramme près. On peut alors dire que l’incertitude de mesure de la balance, ou son incertitude absolue, est de 0,05 grammes. Afin de reporter ces valeurs mesurées, on peut utiliser cette incertitude absolue écrite ici. On pourrait également rapporter cette incertitude en pourcentage. Sous forme d’équation, le pourcentage d’incertitude est égal à l’incertitude absolue divisée par la valeur mesurée multipliée par 100 pour cent.

Ainsi, par exemple, supposons que l’on ait une valeur mesurée de 100 plus ou moins cinq centimètres. Ici, cinq centimètres est l’incertitude absolue de cette mesure. Par conséquent, pour trouver le pourcentage d’incertitude lié à cette mesure, on prend l’incertitude absolue, soit cinq centimètres, on la divise par la valeur mesurée de 100 centimètres, puis on multiplie cette fraction par 100 pour cent. Dans cette fraction, on voit que les unités de centimètres s’annulent, et cinq divisé par 100 est 0,05. Donc, le pourcentage d’incertitude de cette mesure est de cinq pour cent. Que l’on utilise une incertitude absolue ou un pourcentage d’incertitude, tous deux permettent d’indiquer correctement l’incertitude dans une mesure.

Revenons à nos trois valeurs mesurées, et disons que lorsque l’on a effectué cette mesure ici, la lecture de la balance ressemblait à ceci. On observe qu’il y a un zéro initial, puis 571,4 grammes. Même si le zéro est affiché sur la balance, il n’est pas utile. Il ne nous donne aucune information supplémentaire sur la masse mesurée. On dit alors que ce n’est pas un chiffre significatif ou pas une valeur significative. Les chiffres significatifs sont liés à la précision des mesures. Plus il y a de chiffres significatifs dans une mesure, plus cette mesure est précise.

Par exemple, supposons que l’on ait une balance ne pouvant mesurer qu’à 10 grammes près. Si on mesure la masse de notre poudre avec cette balance, on obtiendra un résultat de 570 grammes. Cette mesure a trois chiffres significatifs tandis que nos autres mesures en ont quatre. Ces autres mesures sont alors des mesures plus précises de la masse de la poudre. Chaque fois que l’on mesure une valeur numérique, il ne faut pas oublier de prendre en compte les chiffres significatifs et leurs règles. Car, comme on l’a vu, les chiffres significatifs indiquent en partie la précision des mesures.

Si on reprend l’exemple de la mesure de l’objet avec les règles graduées en centimètres et en millimètres. En utilisant la règle graduée en centimètres, on a mesuré la longueur de l’objet comme étant de deux centimètres. Cette mesure n’a qu’un chiffre significatif. Celle-ci, en revanche, en a deux. Cela nous donne une idée plus précise de la longueur réelle de l’objet. La mesure de toute grandeur s’exprime sous forme d’un résultat numérique. On pourrait très bien mesurer, disons, la masse d’un objet, la pression d’un gaz ou la vitesse d’une particule, etc. Ici, tout type de mesure est concerné. Une valeur mesurée a toujours au moins un chiffre significatif.

Souvent, cependant, il peut y avoir un ou plusieurs chiffres dans une valeur mesurée qui ne sont pas significatifs. La clé pour distinguer les chiffres non-significatifs est de rechercher les zéros au début ou à la fin d’un nombre. Quand un nombre est précédé de zéros, quand il commence d’abord par des zéros, comme celui-ci, ces zéros sont toujours non-significatifs. Quand un nombre a des zéros à la fin, comme celui-ci a un zéro de fin, cela peut être non significatif. Si un zéro de fin est situé après la virgule comme celui-ci, alors ce chiffre est en fait un chiffre significatif. Ce chiffre indique de manière significative la précision de cette mesure.

D’autre part, supposons que l’on ait un appareil de mesure capable de mesurer des longueurs à la dizaine de mètres près. Si on mesure la longueur d’un objet de 30 mètres en utilisant cet appareil, alors ce zéro de fin n’est pas significatif. On dira alors que cette valeur mesurée n’a qu’un chiffre significatif. Cependant, si on mesurait la longueur de l’objet en utilisant un appareil capable de mesurer au mètre près, alors le zéro serait significatif. Cela dépend de la résolution de l’appareil de mesure. En général, pour une valeur mesurée, les seuls chiffres qui peuvent être non significatifs sont les zéros de début et de fin. Les zéros au début sont toujours non-significatifs, et les zéros à a fin peuvent être significatifs, ou non. À part pour ces cas particuliers, tous les chiffres d’une valeur mesurée sont significatifs.

On dit alors que cette mesure comporte ici un, deux, trois, quatre chiffres significatifs. Cette mesure a ici un, deux chiffres significatifs car on ne compte pas les zéros au début. Cette troisième mesure a un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept et huit chiffres significatifs. Comme on l’a vu, ce zéro à la fin est significatif car il est après une virgule décimale. Ce n’est vraiment que lorsqu’il n’y a pas de virgule, comme ici, que la signification des zéros de fin est plus difficile à déterminer.

Une fois que l’on sait combien de chiffres significatifs se trouvent dans des valeurs mesurées, il est important de savoir comment combiner mathématiquement ces valeurs en les ajoutant, en les soustrayant, en les multipliant ou en les divisant. À titre d’exemple, disons que l’on souhaite ajouter ces deux nombres ici. Comme on l’a vu, le nombre du haut a un chiffre significatif et le nombre du bas en a deux. La règle pour combiner des valeurs ayant un nombre différent de chiffres significatifs est de compter le nombre de chiffres significatifs dans le nombre ayant le moins de chiffres significatifs, dans ce cas, il s’agit d’un chiffre significatif ici, et de donner notre réponse avec le même nombre de chiffres significatifs. Donc, si on ajoute deux à 1,6, on obtient 3,6.

Mais on remarque que cette réponse contient un, deux chiffres significatifs. On doit donner notre réponse finale avec un seul chiffre significatif. Ce que l’on fait alors, c’est que l’on arrondit ce résultat de sorte qu’il soit au chiffre significatif le plus proche. De cette façon, on dira que deux centimètres plus 1,6 centimètres font quatre centimètres. Cette règle permettant de combiner des valeurs ayant un nombre de chiffres significatifs différent est importante car elle nous empêche de donner notre réponse finale avec plus de précision que ce qui est impliqué par les valeurs initiales. Cette règle nous oblige à suivre les limites de précision de nos mesures réelles. À présent, voyons cela à travers un exemple.

Une distance de 115 mètres est mesurée au mètre près. Cette distance est parcourue en un temps de 12 secondes, mesuré à la seconde près. En arrondissant au bon nombre de chiffres significatifs, quelle est la vitesse moyenne de course ?

On a ici un cas où un coureur parcourt une distance, qu’on appelle 𝑑, de 115 mètres dans un temps, qu’on appelle 𝑡, de 12 secondes. La vitesse moyenne du coureur 𝑣 est donnée par la distance parcourue divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance. Cependant, lorsque l’on calcule la vitesse, on doit faire attention à tenir compte de la différence entre les chiffres significatifs de notre distance et de notre temps. La distance de 115 mètres a un, deux, trois chiffres significatifs. On peut aussi facilement déduire ceci puisqu’on nous dit que la distance est mesurée au mètre près, ce qui signifie que chaque mètre entier est significatif. De même, le temps est mesuré à la seconde près, ce qui signifie que ce temps de 12 secondes a un, deux chiffres significatifs.

Chaque fois que l’on combine des valeurs qui ont un nombre différent de chiffres significatifs, comme ces deux nombres ici, notre réponse finale ne conserve que le plus petit nombre de chiffres significatifs de l’une des valeurs impliquées. Dans ce cas, le plus petit nombre est deux, le nombre de chiffres significatifs du temps 𝑡. Lorsque l’on calcule cette fraction, la réponse exacte obtenue est de 9.583 mètres par seconde. Mais on ne doit conserver qu’un, deux chiffres significatifs dans cette réponse finale. Tous les chiffres non nuls sont significatifs. Cela signifie donc que ce chiffre est significatif, et celui-ci aussi. Pour arrondir à deux chiffres significatifs, on doit regarder ce chiffre, qui est supérieur ou égal à cinq. On va donc arrondir à la valeur supérieure. À deux chiffres significatifs près, la vitesse moyenne du coureur est de 9,6 mètres par seconde.

Récapitulons maintenant ce que l’on a appris dans cette leçon. Dans cette vidéo, on a appris que la résolution d’un instrument de mesure correspond à la finesse avec laquelle il peut être lu. Un instrument avec une résolution plus élevée permet d’obtenir des mesures plus précises. De plus, on a appris que l’incertitude absolue correspond à l’intervalle dans lequel une valeur mesurée est comprise. On a également appris qu’il existe un certain pourcentage d’incertitude qui est lié à l’incertitude absolue par cette équation.

Pour finir, on a étudié les chiffres significatifs et on a défini que ces chiffres permettent de contribuer à la précision de la mesure. On a appris à distinguer quels chiffres sont et ne sont pas significatifs dans une valeur mesurée. Et on a également appris à combiner des valeurs ayant des nombres différents de chiffres significatifs, afin de pouvoir effectuer des calculs. Ceci est un résumé de l’incertitude de mesure et de la résolution.

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