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Vidéo de question : Résoudre un système d’équations linéaires et du second degré pour déterminer les points d’intersection de deux courbes données Mathématiques

Déterminez l’ensemble des points d’intersection des courbes d’équations 𝑥 + 𝑦 = 8 et 𝑥² + 𝑦² = 50.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble des points d’intersection des courbes d’équations 𝑥 plus 𝑦 égale huit et 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale 50.

Pour résoudre ce système à deux équations, il faut d’abord considérer l’équation linéaire 𝑥 plus 𝑦 égale huit. Modifions cette équation en soustrayant 𝑥 des deux côtés de l’équation, ce qui nous donne 𝑦 égale huit moins 𝑥. La prochaine étape consiste à remplacer cette nouvelle équation dans l’équation deux. Soit 𝑥 carré plus 𝑦 carré égale 50. Cela nous donne 𝑥 au carré plus huit moins 𝑥 au carré égale 50.

Nous pouvons développer huit moins 𝑥 le tout au carré en utilisant la méthode FOIL. La multiplication des premiers termes entre parenthèses nous donne 64. La multiplication des termes extérieurs nous donne moins huit 𝑥. La multiplication des termes intérieurs nous donne également moins huit 𝑥. Et enfin, en multipliant les derniers termes, nous obtenons 𝑥 au carré. Cela signifie que huit moins 𝑥, le tout au carré, est égal à 64 moins 16𝑥 plus 𝑥 carré.

En remplaçant cela dans l’équation, nous obtenons 𝑥 carré plus 64 moins 16𝑥 plus 𝑥 carré égale 50. En regroupant les termes similaires, nous obtenons deux 𝑥 carré moins 16𝑥 plus 64 égale 50. Et enfin, en soustrayant 50 des deux côtés de cette équation, cela nous donne deux 𝑥 carré moins 16𝑥 plus 14 égale zéro.

Avant d’essayer de factoriser cette équation du second degré, nous pouvons diviser par deux, car tous les coefficients sont pairs. La division par deux nous donne 𝑥 carré moins huit 𝑥 plus sept égale zéro. En factorisant ce polynôme du second degré, cela donne 𝑥 moins sept multiplié par 𝑥 moins un. Les deux valeurs de 𝑥 sont donc 𝑥 égale sept ou 𝑥 égale un.

Pour déterminer les valeurs correspondantes de 𝑦, il faut remplacer ces valeurs de 𝑥 dans l’équation un. Huit moins sept est égal à un. Et huit moins un est égal à sept. Les valeurs de 𝑦 sont donc 𝑦 égale un ou 𝑦 égale sept. Cela signifie que les deux points d’intersection des courbes 𝑥 plus 𝑦 égale huit et 𝑥 carré plus 𝑦 carré égale 50 sont sept, un et un, sept. Nous pourrions vérifier ces résultats en remplaçant les valeurs des coordonnées dans les équations.

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