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Vidéo de question : Déterminer l’angle entre deux vecteurs compte tenu de leur produit vectoriel Physique

La figure montre deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. La norme du produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est de 6,8. Calculez l’angle entre les deux vecteurs, 𝜃. Donnez votre réponse à 2 chiffres significatifs.

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Transcription de vidéo

La figure montre deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. La norme du produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est de 6,8. Calculez l’angle entre les deux vecteurs, 𝜃. Donnez votre réponse à deux chiffres significatifs.

Très bien, c’est donc une question sur les produits vectoriels. On nous donne un diagramme montrant deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁. Ce diagramme nous indique la longueur ou la norme de chacun des deux vecteurs. Dans la question, ils nous indiquent également l’a norme du produit vectoriel des deux vecteurs. On nous demande de calculer l’angle 𝜃 entre les deux vecteurs 𝐀 et 𝐁.

Nous connaissons donc la norme du produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁. Et nous connaissons les normes de chacun des vecteurs 𝐀 et 𝐁 individuellement. Nous devons utiliser ces informations pour calculer l’angle 𝜃 entre eux. Heureusement, il existe une équation qui relie toutes ces grandeurs. Nous allons considérer deux vecteurs généraux, que nous appellerons 𝐚 minuscule et 𝐛 minuscule. Nous utilisons les lettres minuscules pour distinguer le cas général de nos vecteurs spécifiques de la question.

Supposons que 𝐚 et 𝐛 ont un certain angle 𝜙 entre eux. Encore une fois, nous utilisons un caractère grec différent pour l’angle pour préciser que nous parlons d’un cas général plutôt que de notre angle spécifique 𝜃 de la question. La valeur du produit vectoriel de deux vecteurs généraux 𝐚 et 𝐛 peut être écrite comme la norme de 𝐚 multipliée par la norme de 𝐛 multipliée par le sinus de l’angle 𝜙 entre 𝐚 et 𝐛.

Alors, comment cela nous aide-t-il ? Eh bien, dans notre cas, nous connaissons la norme du produit vectoriel et nous connaissons les normes des deux vecteurs individuels. Et donc la seule chose que nous ne connaissons pas dans cette équation est la valeur de l’angle entre les vecteurs. Pour répondre à la question, nous devons réorganiser cette équation pour faire de l’angle le sujet. Prenons donc notre équation générale et commençons par diviser les deux côtés de l’équation par la norme du vecteur 𝐚 multipliée par la norme du vecteur 𝐛.

À la droite de cette équation, ces grandeurs sont annulées avec les grandeurs correspondantes au numérateur. Nous avons donc que la norme du produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛 divisée par la norme de 𝐚 fois la norme de 𝐛 est égale au sinus de l’angle entre 𝐚 et 𝐛. Puisque nous cherchons à faire de l’angle 𝜙 le sujet, il est logique d’échanger les côtés gauche et droit de cette équation. En faisant cela, nous pouvons dire que le sinus de l’angle 𝜙 est égal à la norme du produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛 divisé par la norme de 𝐚 fois la norme de 𝐛.

Enfin, pour faire de l’angle lui-même le sujet, nous devons prendre l’arcsinus (la fonction inverse du sinus) des deux côtés de l’équation. Ensuite, sur le côté gauche, l’arcsinus du sin de 𝜙 nous donne juste 𝜙. Et nous avons que l’angle 𝜙 entre deux vecteurs généraux 𝐚 et 𝐛 est donné par l’arcsinus de la norme du produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛 divisé par la norme de 𝐚 fois la norme de 𝐛.

Maintenant que nous avons cette expression, nous pouvons l’appliquer aux vecteurs 𝐀 majuscule et 𝐁 majuscule qui nous sont donnés dans la question. Nous devons calculer l’angle 𝜃 entre ces deux vecteurs. Nous savons que la norme du produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est de 6,8. Nous savons que la norme de 𝐀 est cinq, et nous savons que la norme de 𝐁 est quatre.

Le calcul de cette expression à l’intérieur de l’arcsinus nous donne 0,34. Puis en prenant l’arcsinus de 0,34, nous obtenons une valeur de 19,87687 et ainsi de suite avec plus de décimales. En revenant en arrière, nous constatons qu’on nous demande de donner notre réponse à deux chiffres significatifs. Et donc notre résultat s’arrondit à la hausse pour nous donner notre réponse à la question : à deux chiffres significatifs, l’angle 𝜃 entre les vecteurs 𝐀 et 𝐁 est égal à 20 degrés.

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