Vidéo : Déterminer la longueur d’une tangente à un cercle à l’aide des propriétés de la tangente

Dans la figure montrée, 𝐴𝑍 = 7.5 cm, 𝐵𝑍 = 14.5 cm, and 𝐴𝐶 = 20 cm. Étant donné que tous les côtés du triangle 𝐴𝐵𝐶 sont tangents au cercle indiqué, déterminez la longueur de BC.

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Transcription de vidéo

Dans la figure donnée, 𝐴𝑍 est égal à 7.5 centimètres, 𝐵𝑍 est égal à 14.5 centimètres et 𝐴𝐶 est égal à 20 centimètres. Étant donné que tous les côtés du triangle 𝐴𝐵𝐶 sont tangents au cercle indiqué, déterminez la longueur de 𝐵𝐶.

Commençons par ajouter sur la figure la longueur donnée dans la question. Nous avons donc les longueurs de deux des côtés de ce triangle et nous cherchons à déterminer la longueur de 𝐵𝐶, qui est le troisième côté. Nous avons également reçu l’information clé selon laquelle les trois côtés du triangle 𝐴𝐵𝐶 sont tangents au cercle indiqué. Réfléchissons à ce que nous savons des longueurs de tangentes tirées de points extérieurs en cercles.

Voici une propriété importante. Si deux segments du même point extérieur sont tangents à un cercle, ils sont congruents. En pratique, cela signifie que les deux segments de droite tirés du point 𝐴 au cercle ont tous deux la même longueur. Il en va de même pour les segments tirés de 𝐵 et ceux tirés de 𝐶. Comment cela nous aiderait-il à répondre à la question ? Eh bien, rappelez-vous que nous voulons déterminer la longueur de 𝐵𝐶. Dans notre figure, nous devons donc connaître la longueur du segment rose et la longueur du segment vert.

En utilisant le résultat que nous venons de discuter, nous connaissons déjà la longueur du segment rose. C’est égal à 𝐵𝑍 qui est de 14.5 centimètres. Nous devons donc réfléchir à la manière dont nous allons calculer la longueur du segment vert. Et pour ce faire, je vais ajouter quelques étiquettes sur les deux autres côtés de ce triangle. Ainsi, tout comme nous avons le point 𝑍 du côté 𝐴𝐵, nous avons maintenant le point 𝑋 du côté 𝐴𝐶 et le point 𝑌 du côté 𝐵𝐶, qui sont les points où ces tangentes touchent le cercle.

Nous connaissons toute la longueur du côté 𝐴𝐶. Mais nous voulons savoir dans quelle mesure cela est dû à la partie orange 𝐴𝑋 et à la partie verte 𝑋𝐶. En appliquant à nouveau le même résultat, nous savons que le segment 𝐴𝑋 est superposable à 𝐴𝑍. Et par conséquent, il est égal à 7.5 centimètres. Le segment de droite 𝐶𝑋 peut donc être trouvé en soustrayant 𝐴𝑋 de la longueur de 𝐴𝐶 : 20 moins 7.5. Nous savons donc que 𝐶𝑋 est de 12.5 centimètres.

En appliquant notre résultat clé une troisième fois, nous savons que les deux segments tirés du point 𝐶 sont superposables. Et par conséquent, 𝐶𝑌 est superposable à 𝐶𝑋. 𝐶𝑌 est de 12.5 centimètres. Donc, notre dernière étape dans ce problème, nous devons déterminer la longueur de 𝐵𝐶 en additionnant les deux segments 𝐵𝑌 et 𝐶𝑌. Donc 𝐵𝐶 est égal à 14.5 plus 12.5. C’est égal à 27 centimètres.

Le résultat clé que nous avons appliqué trois fois dans cette question est que si deux segments du même point extérieur sont tangents à un cercle, ils sont superposables - ce qui signifie qu’ils sont égaux en longueur.

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