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Vidéo de question : Utiliser la formule de binôme de Newton Mathématiques

Utilisez la formule de binôme de Newton pour déterminer la forme développée de (𝑎 + 2𝑏) ⁴.

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Transcription de vidéo

Utilisez la formule de binôme de Newton pour déterminer la forme développée de 𝑎 plus deux 𝑏 à la puissance quatre.

La formule de binôme de Newton est un moyen rapide de trouver le développement de certains binômes en un exposant. Elle dit que 𝑥 plus 𝑦 à la puissance 𝑛 est la somme de 𝑘 égale zéro à 𝑛 de 𝑘 choix parmi 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins 𝑘 fois 𝑦 à la puissance 𝑘. Sous forme développée, c’est 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un parmi 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un fois 𝑦 plus deux parmi 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins deux fois 𝑦 au carré jusqu’à 𝑦 à la puissance 𝑛ième. Comparons la forme générale à notre forme développée.

Nous allons supposer 𝑥 égal à 𝑎, 𝑦 égal à deux 𝑏 et 𝑛 égal à quatre. Ensuite, nous voyons que le premier terme est 𝑎 à la puissance quatre. Ensuite, notre terme suivant est un parmi quatre fois 𝑎 à la puissance quatre moins un - eh bien, c’est 𝑎 à la puissance trois – fois deux 𝑏. Nous avons ensuite deux parmi quatre fois 𝑎 à la puissance quatre moins deux, donc 𝑎 au carré, fois deux 𝑏 au carré. Nous continuons ce schéma, en réduisant la puissance de 𝑎 d’une unité à chaque fois et en augmentant la puissance de deux 𝑏. Et donc, notre quatrième terme est trois parmi quatre fois 𝑎 fois deux 𝑏 au cube. Et notre dernier terme est de deux 𝑏 à la puissance quatre.

Maintenant, déterminons un parmi quatre, deux parmi quatre et trois parmi quatre. Nous disons que 𝑟 parmi 𝑛 est factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟, ce qui signifie que un parmi quatre est factorielle quatre sur factorielle de un fois factorielle de quatre moins un ou factorielle de trois. Mais bien sûr, factorielle quatre est quatre fois trois fois deux fois un. La factorielle de un est un. Et la factorielle de trois est trois fois deux fois un. Nous voyons que nous pouvons simplifier par trois, deux et un sur notre numérateur et notre dénominateur. Et donc, il nous reste quatre divisé par un, ce qui est simplement quatre. En fait, de manière très similaire, nous nous retrouvons avec trois parmi quatre, également valant quatre.

Mais qu’en est-il de deux parmi quatre ? Eh bien, c’est la factorielle de quatre sur factorielle de deux fois factorielle de quatre moins deux, ce qui est factorielle de deux. C’est quatre fois trois fois deux fois un sur deux fois un fois deux fois un. Eh bien, nous pouvons diviser par quatre sur notre numérateur et notre dénominateur. Et il nous reste trois fois deux fois un sur un fois un, ce qui est simplement six. Et donc, nous avons trouvé une partie de notre coefficient pour chaque terme. Nous allons maintenant déterminer les exposants individuels de deux 𝑏.

Ainsi, notre tout premier terme est 𝑎 à la puissance quatre, et notre deuxième terme devient quatre 𝑎 au cube fois deux 𝑏. Ensuite, nous distribuons notre exposant de deux sur tout le terme deux 𝑏. Et nous obtenons donc six 𝑎 au carré fois quatre 𝑏 au carré. Pour notre suivant terme, lorsque nous distribuons les trois sur deux 𝑏, nous obtenons deux au cube 𝑏 au cube, soit huit 𝑏 au cube. Et donc, ce terme est quatre 𝑎 fois huit 𝑏 au cube. Enfin, deux à la puissance quatre est 16. Donc, notre dernier terme est 16𝑏 à la puissance quatre. Il ne reste plus qu’à simplifier chaque terme.

Notre premier terme reste 𝑎 à la puissance quatre. Ensuite, quatre fois deux font huit. Donc, notre deuxième terme est huit 𝑎 au cube 𝑏. Six fois quatre, c’est 24. Donc, notre troisième terme est 24𝑎 carré 𝑏 carré. Ensuite, nous avons 32𝑎𝑏 au cube. Et notre dernier terme reste 16𝑏 à la puissance quatre. Et donc, nous avons utilisé la formule de binôme de Newton pour trouver la forme développée de 𝑎 plus deux 𝑏 à la puissance quatre. C’est 𝑎 à la puissance quatre plus huit 𝑎 au cube 𝑏 plus 24𝑎 au carré 𝑎 carré plus 32𝑎𝑏 au cube plus 16𝑏 à la puissance quatre. Maintenant, il est important de réaliser que cela ne se produit que pour des valeurs entières positives de 𝑛.

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