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Vidéo de question : Déterminer la vitesse d’un objet glissant sur un plan incliné lisse lorsqu’il atteint le bas Mathématiques

Un corps a commencé à glisser sur un plan incliné, lisse et haut de 504 cm depuis son sommet. Calculez sa vitesse lorsqu'il atteint la base. On prendra 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Un objet initialement au repos glisse sur un plan incliné lisse de 504 centimètres de hauteur. Calculez sa vitesse lorsqu’il atteint le bas du plan incliné. On prendra 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Nous savons la différence de hauteur parcourue par l’objet, 504 centimètres, ℎ. Sachant que l’accélération de la pesanteur vaut 9,8 mètres par seconde au carré, nous cherchons à déterminer la vitesse de l’objet quand il arrive en bas de cette hauteur. Nous allons appeler cette vitesse 𝑣.

Nous pouvons commencer par faire un schéma représentant le mouvement de l’objet. Un objet glisse et traverse une distance verticale ℎ, dont la valeur est 504 centimètres selon l’énoncé. Il glisse sur une surface lisse. Donc, pas de perte d’énergie par frottements. Nous cherchons à déterminer la vitesse de l’objet 𝑣 après avoir parcouru cette distance. Et pour cela, nous pouvons rappeler le principe de conservation de l’énergie.

Ce principe dit que l’énergie initiale dans un système, 𝐸 indice 𝑖, est égale à l’énergie finale de ce même système. Nous pouvons aller plus loin en disant que la sommes de l’énergie potentielle et de l’énergie cinétique d’un système à l’instant initial est égale à la somme de ces deux énergies à l’instant final.

Dans notre exemple, l’instant initial correspond à l’instant où l’objet est en haut du plan et n’est pas encore en mouvement. Et l’instant final correspond à l’instant où l’objet est en bas du plan et qu’il se déplace avec une vitesse 𝑣. Si nous écrivons l’équation du bilan énergétique pour notre système, nous pouvons enlever certains termes qui sont nuls.

À l’instant initial, l’objet n’est pas en mouvement. Donc sa vitesse est nulle. Et par conséquent, son énergie cinétique est nulle. Et après la descente, lorsque l’objet est en bas de la hauteur ℎ, son énergie potentielle est égale à zéro.

L’équation se simplifie alors en l’énergie potentielle initiale de l’objet qui est égale à son énergie cinétique finale. En se rappelant que l’énergie potentielle gravitationnelle s’écrit mathématiquement 𝑚 fois 𝑔 fois ℎ et que l’énergie cinétique s’écrit un demi de 𝑚𝑣 carré, nous pouvons donc écrire que 𝑚𝑔ℎ, l’énergie potentielle initiale de l’objet, est égale à l’énergie cinétique finale, un demi de 𝑚𝑣 carré.

Comme la masse de l’objet est la même des deux côtés, elle se simplifie. Et en réorganisant l’équation pour déterminer la vitesse 𝑣, nous obtenons qu’elle est égale à la racine carrée de deux fois 𝑔 fois ℎ.

Les valeurs de 𝑔, l’accélération de la pesanteur et ℎ, la hauteur de la descente, sont toutes les deux données. Nous pouvons donc remplacer par les valeurs pour déterminer 𝑣. En faisant cela, il faut faire attention à bien convertir la hauteur ℎ en mètres.

En multipliant le numérateur et le dénominateur de cette expression par 100, puis en faisant passer le facteur 100 au numérateur sous la racine carrée, il devient 10000 et ensuite après calcul on obtient la racine carrée de 987840. En faisant sortir un quatre de la racine carrée, on simplifie avec le dénominateur qui devient 25. Et la valeur sous la racine carrée devient 61740.

Ce nombre est égal à 42 au carré fois 35. Nous pouvons donc faire passer le facteur 42 à l’extérieur de la racine carrée. Et cela nous donne une expression simplifiée de 𝑣 dont l’unité est le mètres par seconde. La vitesse de l’objet après avoir descendu une hauteur ℎ est égale à 42 racines carrées de 35 divisées par 25 mètres par seconde.

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