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Vidéo de question : Étude du mouvement d’un corps sur un plan incliné Mathématiques

Un corps de masse 25 kg a été placé sur un plan lisse et incliné d’un angle de 𝜃 par rapport à l’horizontale. Glissant sur la pente, le corps a parcouru 20 m en 10 secondes. Après cela, une force 𝐅 a commencé à agir sur le corps le long de la ligne de plus grande pente vers le haut du plan. En conséquence de cette force, le corps a commencé à accélérer uniformément à 308 cm/s² vers le haut du plan. Calculez sin 𝜃 et l’intensité de la force 𝐅. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Un corps de masse de 25 kilogrammes est posé sur un plan lisse incliné d’un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale. En glissant sur la pente, le corps parcourt 20 mètres en 10 secondes. Après cela, une force 𝐅 commence à agir sur le corps le long de la ligne de plus grande pente vers le haut du plan. En conséquence de cette force, le corps commence à accélérer uniformément à 308 centimètres par seconde carrée vers le haut du plan. Calculez le sin 𝜃 et la force 𝐅. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde carrée.

Commençons par tracer un schéma de ce scénario. Le schéma n’a pas besoin d’être à l’échelle, mais il doit être à peu près proportionnel afin qu’on puisse bien comprendre ce qui se passe. Voici notre plan lisse incliné d’un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale. Le fait qu’il soit lisse signifie simplement qu’il n’y a pas de force de frottement sur le corps.

On nous dit qu’un corps de masse 25 kilogrammes est sur le plan incliné. On peut donc dire qu’il exerce une force vers le bas sur le plan. On appelle cette force vers le bas le poids, et il est égal à la masse multipliée par l’accélération due à la pesanteur. Pour l’instant, on va appeler cela 25𝑔 en newtons. On nous dit ensuite qu’il glisse sur la pente. Et ce faisant, il parcourt 20 mètres en 10 secondes. Avec cela, on peut calculer l’accélération du corps. Commençons par calculer cette accélération.

Dans la direction parallèle au plan, on sait qu’il parcourt une distance ou fait un déplacement 20 mètres. Cela prend 𝑡 10 secondes pour le faire, et sa vitesse initiale, 𝑣 zéro, est nulle. On veut calculer l’accélération pour l’instant. Et donc, on utilise l’une de nos équations d’accélération constante. Celui dont on a besoin qui relie 𝑠, 𝑡, 𝑣 zéro et 𝑎 est 𝑠 est égal à 𝑣 zéro 𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. En substituant ce qu’on sait du mouvement de ce corps dans l’équation, on obtient 20 est égal à zéro plus un demi fois 𝑎 fois 10 au carré. Cela simplifie à 20 est égal à 50𝑎. Et si l’on divise par 50, on trouve que 𝑎 est 20 sur 50 ou simplement deux cinquièmes.

Et donc, on a calculé l’accélération du corps. Alors, pourquoi est-ce utile ? Eh bien, cela va nous permettre de calculer la valeur de sin 𝜃. On va utiliser l’équation 𝐅 égale 𝑚𝑎 et considérer la première partie du mouvement du corps. C’est-à-dire, la force est la masse multipliée par l’accélération. On connait la masse et on a calculé l’accélération du corps. Mais l’accélération de ce corps agit parallèlement au plan. Donc, on doit trouver la composante du poids qui agit dans cette direction.

On dessine un triangle rectangle. L’angle inclus est 𝜃. Et on veut trouver le côté opposé dans ce triangle, le côté que l’on a appelé 𝑥. Puisque on veut trouver le coté opposé et qu’on sait que l’hypoténuse est 25𝑔, on va utiliser le rapport du sinus. On peut dire pour ce triangle que sin 𝜃 est 𝑥 sur 25𝑔, ce qui signifie 𝑥 est égal à 25𝑔 sin 𝜃. C’est la composante du poids qui est parallèle au plan. Donc, on peut maintenant substituer cela dans la formule 𝐅 est égal à 𝑚𝑎. On obtient 25𝑔 sin 𝜃 sur le côté gauche. Et sur le côté droit, on a la masse fois l’accélération. Donc, c’est 25 fois deux cinquièmes. Alors, 25 fois les deux cinquièmes font 10.

Ainsi, notre prochain pas pour calculer la valeur de sin 𝜃 est de diviser par 25𝑔. sin 𝜃 est 10 divisé par 25𝑔. Et ensuite, on utilise le fait que 𝑔 est 9,8 mètres par seconde carrée. Et on trouve que sin 𝜃 est 10 divisé par 25 fois 9,8, ce qui nous donne deux sur 49. On a répondu à la première partie de cette question. On a déterminé que la valeur de sin 𝜃 est deux sur 49.

Ensuite, nous devons trouver la force 𝐅. Donc, on va refaire notre schéma pour mieux comprendre la deuxième partie du mouvement. Le poids reste comme ça, et en effet, on peut changer le côté opposé dans le triangle qu’on a dessiné pour être 25𝑔 sin 𝜃. Cela sera utile à l’avenir. On sait maintenant qu’on peut calculer la composante du poids qui est parallèle au plan incliné.

Ensuite on a cette force qui agit sur le corps le long de la pente du plan, donc elle est parallèle au plan. Il y a aussi une force de réaction normale du plan sur le corps, mais on n’en a pas vraiment besoin dans cette question. On nous dit que le corps accélère uniformément à 308 centimètres par seconde carrée. Alors, on doit convertir cela en mètres par seconde carrée. Et pour ce faire, on divise par 100. Et on trouve que l’accélération est de 3,08 mètres par seconde carrée.

On veut trouver la valeur de la force 𝐅, donc on va revenir à notre équation 𝐅 est égal à 𝑚𝑎. On connait la masse et l’accélération du corps, mais quelle est la force cette fois ? Eh bien, on doit considérer la somme des forces. Prenons le sens positif comme étant vers le haut du plan, et on a 𝐅 agissant dans ce sens. Ensuite, agissant dans le sens opposé, on a 25𝑔 sin 𝜃. Ainsi, la somme des forces agissant sur le corps - en supposant que le sens vers le haut du plan soit positif - est 𝐅 moins 25𝑔 sin 𝜃. Cela est égal à la masse multipliée par l’accélération, donc cela est égale à 25 fois 3,08.

Remplaçons sin 𝜃 par deux sur 49 et on sait que 25 fois 3,08 est 77. Ensuite, si on substitue 𝑔 par 9,8, cela devient 25 fois 9,8 fois deux sur 49, c’est-à-dire 10. Et notre équation devient 𝐅 moins 10 est égale à 77, qu’on peut résoudre pour 𝐅 en ajoutant 10 aux deux côtés. Et quand on le fait, on obtient 𝐅 est égal à 87 ou 87 newtons. Ainsi, sin 𝜃 est deux sur 49, et la force 𝐅 est de 87 newtons.

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